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秦安一中2011—2012学年度高三、补习班数学周考练（八）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），共150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共计60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设集合A=｛x∣1≤x≤2｝,B=｛x∣x≥α｝。若A⊆B，则α的取值范围是 （ ）
（A）α＜1 （B）α≤1 （C）α＜2 （D）α≤2
2．（理）当z =时，z100 + z50 + 1的值等于 （ ）
A．1 B．– 1 C．i D．– i
（文）已知全集U = {1，2，3，4，5，6，7}，A = {3，4，5}，B = {1，3，6}，则A∩(UB) 等于 （ ）
A．{4，5} B．{2，4，5，7} C．{1，6} D．{3}
3．函数y = x2 – 1 (x < 0)的反函数是 （ ）
A．y =（x < – 1） B．y = –（x < – 1）
C．y =（x > – 1） D．y = –（x > – 1）
4．函数f (x) =的图像相邻的两条对称轴之间的距离是 （ ）
A． B．5 C． D．
5．设等差数列{an}的前n项和为Sn，且a3 + a5 + a7 = 15，则S9等于 （ ）
A．18 B．36 C．45 D．60
6．已知P是以F1、F2为焦点的椭圆(a > b > 0)上的一点，若= 0，tan∠PF1F2 =，则此椭圆的离心率为 （ ）
A． B． C． D．
7．（理）、为两个确定的相交平面，a、b为一对异面直线，下列条件中能使a、b所成的角为定值的有 （ ）
（1）a∥，b （2）a⊥，b∥ （3）a⊥，b⊥
（4）a∥，b∥，且a与的距离等于b与的距离
A．0个 B．1个 C．2个 D．4个
（文）已知直线l、m、n及平面、，下列命题中的假命题是 （ ）
A．若l∥m，m∥n，则l∥n B．若l⊥，n∥，则l⊥n
C．若l∥，n∥，则l∥n D．若l⊥，∥，则l⊥
8．将边长为1的正方形ABCD沿对角线BD折起，使得点A到点的位置，且C = 1，则折起后二面角– DC – B的大小为 （ ）
A．arctan B． C．arctan D．
9．某医院为了支援汶川地震灾区的重建工作，要从4名男医生和3名女医生中选出3名医生前往灾区，
至少有一男一女的不同选派方法有
60种 30种 35种 210种
10．盒中有10只螺丝钉，其中有3只是坏的，现从盒中随机地抽取4只螺丝钉，那么等于 （ ）
A．恰有1只是坏的概率 B．4只全是好的概率
C．恰有2只是坏的概率 D．至多2只是坏的概率
11．（理）函数f (x)的定义域为R，导函数的
图像如图1所示，则函数f (x) （ ）
A．无极大值点，有四个极小值点
B．有三个极大值点，两个极小值点
C．有两个极大值点，两个极小值点
D．有四个极大值点，无极小值点
（文）已知f (x) = x3 – ax，x∈R，在x = 2处的
切线垂直于直线x + 9y – 1 = 0， 则a =（ ）
A．1 B．– 1 C．3 D．– 3
12．在中,角、、所对的边分别为、、，若，则角＝
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题；每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．
13．（理）若n∈N*，n < 100，且二项式的展开式中存在常数项，则所有满足条件的n值的和是________．
（文）在的展开式中常数项是_________．
14．与直线x+2y+3=0垂直，且与抛物线y = x2 相切的直线方程是 .. ．
15．已知向量，且，∥，则 。
16．若x≥0，y≥0，且，则的最小值是 。
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分10分）在△ABC中， a、b、c分别是角A、B、C的对边,＝（2a＋c，b）,＝(cosB，cosC)，且＝0．（1） 求∠B的大小；（2）若b＝，求a＋c的最大值．
18．（本小题满分12分）（理）从5名女生和2名男生中任选3人参加英语演讲比赛，设随机变量表示所选3人中男生的人数．
（1）求的分布列；
（2）求的数学期望；
（3）求“所选3人中男生人数≤1”的概率．
（文）一名学生在军训中练习射击项目，他射击一次，命中目标的概率是，若连续射击6次，且各次射击是否命中目标相互之间没有影响．
（1）求这名学生在第3次射击时，首次命中目标的概率；
（2）求这名学生在射击过程中，恰好命中目标3次的概率．
19．（本小题满分12分）
(理)已知数列的前项和为，且是与2的等差中项，数列中，，点在直线上。
（Ⅰ） 求数列的通项公式和；
（Ⅱ） 设，求数列的前n项和。
(文)已知数列的前项和为，点在直线上；数列满足，且，它的前9项和为153.
（1）求数列、的通项公式；
（2）设，数列的前项和为，求使不等式对一切都成立的最大正整数的值；
20．（本小题满分12分）
如图2所示，已知四棱锥P–ABCD的底面是直角梯形，∠ABC=∠BCD = 90°，AB = BC = PB = PC = 2CD，侧面PBC⊥底面ABCD．
（1）证明：PA⊥BD；
（2）求二面角P – BD – C的大小；
（3）求证：平面PAD⊥平面PAB．
21．（本小题满分12分）
已知中心在原点、焦点在x轴上的椭圆，其离心率，且经过抛物线的焦点。
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若过点B（2，0）的直线l与椭圆交于不同的亮点E、F(E在B、F之间)且 ，试求实数的取值范围。
22．（本小题满分12分）（理）已知函数f (x)的导数f¢(x)满足0<f¢(x)<1，常数a为方程f (x)=x
的实数根.(Ⅰ)若函数f (x)的定义域为M，对任意[a,b]ÍM，存在x0Î[a,b]，使等式
f (b)–f (a)=(b–a)f¢(x0)成立，求证：方程f (x)=x存在唯一的实数根a；
(Ⅱ) 求证：当x>a时，总有f (x)<x成立；
(Ⅲ)对任意x1、x2，若满足|x1–a|<2，|x2–a|<2，求证：|f (x1)–f (x2)|<4.
（文）已知函数的图像经过原点O，且在处取得极值，曲线在原点处的切线与直线的夹角为45°，且切线的倾斜角为钝角。
（I）求的解析式；
（II）若函数的图像与函数的图像恰有3个不同交点，求实数m的取值范围。
秦安一中2011—2012学年度高三、补习班数学周考练（八）参考答案
一、选择题
1．B
2．（理）D ∵(1 – i)2 = – 2i
∴z2 = – i，∴z100 + z50 + 1 = ( – i)50 + (– i)25 + 1 = – 1 – i + 1 = – i．
（文）A UB = {2，4，5，7}，A∩(UB) = {4，5}．
3．D 显然y = x2 – 1 (x < 0)的值域为(– 1，+)
∴反函数为y =．
4．D f (x) =cos+ sin
= 2(sincos+ cossin)
= 2sin
∴周期为T =
则相邻的对称轴间的距离为．
5．C ∵a3 + a5 + a7 = 3a5 = 3 (a1 + 4d) = 15
而S9 =× 9 = 9 (a1 + 4d)
∴
即S9 = 45．
6．D 由知PF1⊥PF2
∴
又知tan∠PF1F2 =
∴
而PF1 + PF2 = 2a，F1F2 = 2c
e =．
7．（理）B 由题意知（3）满足条件，∴有一个．
（文）C l和n可满足平行、相交、垂直等多种情况．
8．C 将BD折起后，如图所示作⊥CD于E，作EF∥BC，连，
∵EF⊥CD
又∵⊥CD，则∠F为所求
∵= 1，又= CD = 1
∴=
又E为CD中点，又EF∥BC
∴EFBC，∴EF =，又∵== 1
∴⊥BD，∴=
又+ EF2 =
∴⊥EF，∴tan∠．
9．B至少一男一女包含一男二女和二男一女的情况,则选派数,故选.
10．C 恰有1只坏的概率为P1 =，4个全是好的概率为P2 ==，恰有2只坏的概率为P3 =，至多2只坏的概率P4 =．
11．（理）C 由题图知= 0的x值有4个，再由极值定义判断可知C为答案
（文）C = 3x2 – a．切线斜率：k = 3× 22 – a = 12 – a，又切线与x + 9y – 1 = 0垂直
则k = 9，∴12 – a = 9，即a = 3．
12．由,得，
，，,故选.
二、填空题
13．（理）950
提示：Tr + 1 =
令3n – 5r = 0，得
再令r = 3k，k∈N*，∴n = 5k < 100
∴1≤k≤19，k∈N*
∴所有满足条件的n值的和是5 + 10 + 15 + … + 95 =× 19 = 950．
（文）7
14． 15．13、令，则由题得：，解得；
16．
三、解答题
17．解：（1）＝（2a＋c）cosB＋bcosC＝0，
由正弦定理 2sinAcosB＋sinCcosB＋sinBcosC＝0， (2分)
2sinAcosB＋sin(B＋C)＝0．
sinA(2cosB＋1)＝0． (4分)
∵A，B∈(0，π)，∴sinA≠0，cosB＝－，B＝． (6分)
（2）3＝a2＋c2－2accos＝(a＋c)2－ac， (8分)
(a＋c)2＝3＋ac≤3＋()2， (10分)
∴(a＋c)2≤4，a＋c≤2．
∴当且仅当a＝c时，(a＋c)max＝2． (12分)
18．（理）解：（1）可能取的值为0，1，2，
P(= k) =，k = 0，1，2
所以的分布列为
0
1
2
P
（2）由（1）得的数学期望为
E= 0 ×+ 1×+ 2 ×=
（3）由（1）知“所选3人中男生人数≤1”的概率为
P (≤1) = P (= 0) + P (= 1) =+=．
（文）解：（1）这名学生第一、二次射击未中目标，第三次击中目标的概率为
P1 =
（2）这名学生恰好击中目标3次的概率为
P2 =．
19．(理)解：（Ⅰ）∵是与2的等差中项， ∴ ① ………2分
∴ ②
由①-②得 ………4分
再由 得
∴ ………6分
。
∴ ……8分
（Ⅱ）
①
。 ②
①-②得：，…… 10分
即：，
∴。 …………12分
(文) 答案：解析：（1）点在直线上，∴ 由求得 （2分）
由知数列为等差数列，求得 （4分）
（2） （6分）
∴ （8分）
由于 ∴单调递增 ∴ 得
∴ （12分）
20．解法一：（1）取BC中点O，连结AO交BD于点E，连结PO
∵PB = PC，∴PO⊥BC
又∵平面PBC⊥平面ABCD，平面PBC∩平面ABCD = BC
∴PO⊥平面ABCD
在直角梯形ABCD中
∵AB = BC = 2CD，易知Rt△ABO≌Rt△BCD
∴∠BEO =∠OAB +∠DBA =∠DBC +∠DBA = 90°
即AO⊥BD，由三垂线定理知PA⊥BD．
（2）连结PE，由PO⊥平面ABCD，AO⊥BD
得PE⊥BD
∴∠PEO为二面角P – BD – C的平面角
设AB = BC = PB = PC = 2CD = 2a
则PO =a，OE =
在Rt△PEO中，tan∠PEO =
∴二面角P – BD– C的大小为arctan
（3）取PB的中点为N，连结CN，则CN⊥PB
又∵AB⊥BC，BC是PB在面ABCD内的射影
∴AB⊥PB，又PB∩BC = B
∴AB⊥面PBC，∴平面PAB⊥平面PBC
∵CN⊥PB，面PAB∩面PBC = PB
∴CN⊥平面PAB
取PA的中点为M，连结DM、MN
则MN∥AB∥CD，∵MN =AB = CD
∴四边形MNCD为平行四边形
∴CN∥DM，∴DM⊥平面PAB
∴平面PAD⊥平面PAB．
解法二：（1）取BC中点为O
∵侧面PBC⊥底面ABCD，△PBC为等边三角形
∴PO⊥底面ABCD，以BC的中点O为坐标原点，以BC所在直线为x轴，过点O与AB平行的直线为y轴，直线OP为z轴，如图乙所示，建立空间直角坐标系．
不妨设CD = 1
则AB = BC = PB = PC = 2，PO =
∴A(1，– 2，0)，B (1，0，0)，D (– 1，– 1，0)，P (0，0，)
∴= (– 2，– 1，0)，= (1，– 2，–)
∵·= (– 2) × 1 + (– 1) × (– 2) + 0 × (–) = 0
∴⊥，∴PA⊥BD
（2）连结AO，设AO与BD相交于点E，连结PE
由· = 1 × (– 2) + (– 2) × (– 1) + 0 × 0 = 0
∴⊥，∴OA⊥BD
又∵EO为PE在平面ABCD内的射影，∴PE⊥BD
∴∠PEO为二面角P – BD – C的平面角
在Rt△BEO中，OE = OB · sin∠OBE =
∴在Rt△PEO中，tan∠PEO =
∴二面角P – BD – C的大小为arctan
（3）取PA的中点M，连结DM
则M，又∵
∴·=× 1 + 0 × (– 2) +
∴⊥，即DM⊥PA
又∵= (1，0，)
∴·=× 1 + 0 × 0 +
∴⊥，即DM⊥PB，∴DM⊥平面PAB
∴平面PAD⊥平面PAB．
21．答案：解析：（Ⅰ）设椭圆方程为则 ①
抛物线的焦点为
②
由①②解得
椭圆的标准方程为
（Ⅱ）方法一：设
又点E在B、F之间，则
故的取值范围是
方法二：如图，由题意知直线的斜率存在
设方程为 ①
将①代入，整理得
②
由②知
即的取值范围是
22．（理）解：（1）设f(x)=x有不同于a的实数根b，即f(b)=b，不妨设b>a，于是在a与b间必存在c，a<c<b，使得b–a=f(b)–f(a)=(b–a)f¢(c)∴f¢(c)=1，这与已知矛盾，∴方程f(x)=x存在唯一实数根a.
（2）令g(x)=x–f(x)∴g¢(x)= 1–f¢(x)>0
∴g(x)在定义域上为增函数
又g(a)=a–f(a)=0∴当x>a时，g(x)>g(a)=0
∴当x>a时，f(x)<x.
（3）不妨设x1<x2，∵0<f¢(x)<1∴f(x)在定义域上为增函数
由（2）知x–f(x) 在定义域上为增函数.∴x1–f(x1)<x2–f(x2)
∴0<f(x2)–f(x1)<x2–x1
即|f(x2)–f(x1)|<|x2–x1|
∵|x2–x1|£|x2–a|+|x1–a|<4
∴|f(x1)–f(x2)|<4.
(文) 解：（I）由的图像过原点得
在处取得极值
在原点处切线的斜率，且
又∵曲线在原点处的切线与直线的夹角为45°
由<1><2><3>可求得，
………………7分
（II）若函数的图像与函数的图像恰有3个不同的交点，即方程，亦即恰有3个不等实根。
是上述方程的一个根
∴方程有两个非零且不等实根
解得：，或，或
所以当实数时，函数的图像与函数的图像恰有3个不同交点。………………14分
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