三角函数三(教师版).doc

专题复习二十三讲

第23讲 三角函数（三）
一、知识梳理：
正弦函数、余弦函数的性质：
（1）定义域：都是R
（2）值域：都是[-1，1]
对于，当时，取最大值1；当时，取最小值－1；对于，当时，取最大值1，当时，取最小值－1。

（3）周期性：①、的最小正周期都是2
②和的最小正周期都是
（4）奇偶性与对称性：
正弦函数是奇函数，对称中心是，对称轴是直线；余弦函数是偶函数，对称中心是，对称轴是直线
（5）单调性：
在区间上单调递增，在单调递减；在上单调递增，在区间上单调递减，。

（6）正切函数的图象和性质：
（1）定义域：。（2）值域是R，在上面定义域上无最大值也无最小值；（3）周期性：周期是（4）奇偶性与对称性：奇函数，对称中心是（5）单调性：正切函数在开区间内都是增函数。
要点释义：
(1)利用单调性处理不等关系
问题1. (08四川)设≤，若，则的取值范围是
（A） （B） （C） （D）

点拨：处理三角函数的问题,除于记住定义域、值域和最值、单调性、奇偶性、周期性之外，还要记对称轴、对称中心、正负区间．

，即，即，即；又由，得；综上，，即．选C．
（2）研究三角函数的性质
问题2.已知函数
（Ⅰ）求函数的最小正周期和图象的对称轴方程
（Ⅱ）求函数在区间上的值域
点拨:处理三角函数的图象与性质的问题关键是将解析式化为的形式;求三角函数的值域先考虑角的范围,再借助于图象.
解：（1）

,由
函数图象的对称轴方程为
（2）
因为在区间上单调递增，在区间上单调递减，
所以当时，取最大值 1 ，又 ，当时，取最小值。所以 函数 在区间上的值域为
二、基础检测：
1. 的最小正周期为，其中，则= ．
2. 是（ ）上的增函数
A． B． C． D．
解析：选B
3. 已知向量，，则的最大值为 ．
【解析】＝.
4.已知函数,则的值域是 ．
【解析】
画图可得的值域是
5．若函数，则是（D ）
A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为的奇函数
C．最小正周期为的偶函数 D．最小正周期为的偶函数
［剖析］,,且为偶函数.
6. （A＞0，ω＞0）在x＝1处取最大值，则 （ ）
A、一定是奇函数 　　　　B、一定是偶函数
C、一定是奇函数 　　　　D、一定是偶函数
解析:D ［∵（A＞0，ω＞0）在x＝1处取最大值∴在x＝0处取最大值， 即y轴是函数的对称轴 ∴函数是偶函数 ］
7. 设,β都是第二象限的角，且sin＜sinβ，则（ ）
A.tan＜tanβ B.cos＜cosβ C.tan＜tan D.cos＜cos
解析：取排除A，C，再取排除D，选B
8.已知函数对任意都有则等于（ ） A. 或 B. 或 C. D. 或
解析: 由，函数图象关于，是最大值或最小值选B
9.设函数，则（ 　 ）
A、在区间上是增函数 B、在区间上是减函数
C、在区间上是增函数 D、在区间上是减函数
【解题思路】作出图象,一目了然
［解析］函数的图象如下图

10. 若函数的最小正周期为1，则它的图像的一个对称中心为 （ ）
20070316
A．（－，0） B．（0，0） C．（－，0） D．（，0）
解析: 将代入得函数值为0，故选C

三、典例导悟：
11. 已知向量,，且
（1）求的取值范围；
（2）若，试求的取小值，并求此时的值。
解：
（1） 即 （2）

，的最小值为 －

12.设向量，，，函数.
(1) 求函数的最大值与单调递增区间；(2)求使不等式成立的的取值集合.
解：(1) .
∴当时，取得最大值.
由，得，
∴的单调递增区间为.
(2) 由，得.
由，得，则，
即.
∴使不等式成立的的取值集合为.
13.函数。
（1）求的周期；（2）解析式及在上的减区间；
（3）若，，求的值。
解：（1）
，（）所以，的周期。
（2）由，得。
又，令，得；令，得（舍去） ∴ 在上的减区间是。
（3）由，得，∴ ， ∴
又，∴
∴ ，∴
∴。
14.已知定义在区间上的函数y＝f（x）的图象关于直线对称，当时，函数f（x）＝sinx．
（1）求，的值；（2）求y＝f（x）的函数表达式；
（3）如果关于x的方程f（x）＝a有解，那么将方程在a取某一确定值时所求得的所有解的和记为Ma，求Ma的所有可能取值及相对应的a的取值范围．
解：（1），
y

π
o
x
1
（2）当时，
（8分）
（3）作函数f（x）的图象（如图），显然，若f（x）＝a有解，则
①，f（x）＝a有解，Ma＝
②，f（x）＝a有三解，Ma＝
③，f（x）＝a有四解，Ma＝
④a＝1，f（x）＝a有两解，Ma＝ （12分）

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