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LOGO 数学模型数学模型 DVDDVD在在线租租赁问题数学模型数学模型 华东理工大学数学系理工大学数学系 鲁习文文1 问题提出提出 1 问题分析分析 2 假假设条件条件 3 模型建立与求解模型建立与求解 4 模型模型评价价 5 DVDDVD在在线租租赁问题数学模型数学模型 DVD 在在 线 租租 赁 问 题 数数 学学 模模 型型 2 DVD 在在 线 租租 赁 问 题 数数 学学 模模 型型 随着信息随着信息时代的到来代的到来,电子商子商务已成已成为一个重要的商一个重要的商业途径。在途径。在线DVDDVD租租赁就就是其中一种典型的是其中一种典型的经营方式，但在方式，但在实际的的经营过程中程中还是存在很多是存在很多问题。下面我。下面我们从复从复杂的的现实情况中考情况中考虑一个典型的情景。一个典型的情景。鉴于于业务量的考量的考虑，网站有必要采用会，网站有必要采用会员制度，制度，顾客需客需缴纳一定数量的月一定数量的月费成成为会会员。会会员对哪些哪些DVDDVD有有兴趣，只要在趣，只要在线提交提交订单，网站就能立即了解他，网站就能立即了解他们的需求，的需求，并通并通过快快递的方式尽可能的方式尽可能满足要求。会足要求。会员提交的提交的订单内容包括他内容包括他对哪几哪几张DVDDVD感感兴趣，趣，对不同的不同的DVDDVD的偏的偏爱度，用数字表示。度，用数字表示。这些些DVDDVD是基于其偏是基于其偏爱程度排序的。程度排序的。网站会根据手网站会根据手头现有的有的DVDDVD数量和会数量和会员的的订单进行分行分发。每个会每个会员每个月租每个月租赁次数不得超次数不得超过2 2次，每次次，每次获得得3 3张DVDDVD。会。会员看完看完3 3张DVDDVD之后，只需要将之后，只需要将DVDDVD放放进网站提供的信封里寄回（网站提供的信封里寄回（邮费由网站承担），就可以由网站承担），就可以继续下次租下次租赁。问题提出提出 3 DVD 在在 线 租租 赁 问 题 数数 学学 模模 型型 为深入研究网站的深入研究网站的经营策略，我策略，我们从以下几个角度由浅入深得从以下几个角度由浅入深得进行考察：行考察：1 1）至少准）至少准备多少多少张，才能保，才能保证希望看到希望看到该DVDDVD的会的会员中中 至少至少50%50%在一个月内能在一个月内能够看到？若要求保看到？若要求保证在三个月在三个月 内至少内至少95%95%的会的会员能能够看到呢？看到呢？1 1、由于、由于DVDDVD的更新速度很快，网站必的更新速度很快，网站必须时常更新常更新现有有产品，因此在品，因此在现有有会会员中随机抽取中随机抽取10001000个会个会员进行行调查，以得知愿意，以得知愿意观看不同看不同DVDDVD的人数的人数（表（表1.11.1给出了其中出了其中5 5种种DVDDVD的数据）。的数据）。虽然网站然网站规定每位会定每位会员每月只能借每月只能借两次两次DVDDVD，但从，但从历史数据史数据显示，示，60%60%的会的会员每月租每月租赁DVDDVD两次，而另外的两次，而另外的40%40%只租一次。只租一次。现在我在我们假假设网站网站现有有1010万个会万个会员，并已，并已经知道会知道会员对DVDDVD的需求，以及会的需求，以及会员每月每月订DVDDVD的的规律。律。问题是是应该至少准至少准备多少多少张，才能保才能保证希望看到希望看到该DVDDVD的会的会员中至少中至少50%50%在一个月内能在一个月内能够看到？如果要看到？如果要求保求保证在三个月内至少在三个月内至少95%95%的会的会员能能够看到呢？看到呢？DVD名称名称DVD1DVD2DVD3DVD4DVD5愿意愿意观看的人数看的人数200100502510表表1.1 1.1 对10001000个会个会员调查的部分的部分结果果 问题提出提出 4 DVD 在在 线 租租 赁 问 题 数数 学学 模模 型型 为深入研究网站的深入研究网站的经营策略，我策略，我们从以下几个角度由浅入深得从以下几个角度由浅入深得进行考察：行考察：1 1）至少准）至少准备多少多少张，才能保，才能保证希望看到希望看到该DVDDVD的会的会员中中 至少至少50%50%在一个月内能在一个月内能够看到？若要求保看到？若要求保证在三个月在三个月 内至少内至少95%95%的会的会员能能够看到呢？看到呢？2 2）如何）如何对手中已有的手中已有的DVDDVD进行分配，以使所有会行分配，以使所有会员的的满 意度和达到最大。意度和达到最大。2 2、尽可能多的尽可能多的满满足会足会员员是是经营经营中的一大目中的一大目标标，但每个会，但每个会员对员对不同不同DVDDVD的的偏偏爱爱度是大相径庭的，度是大相径庭的，虽虽然他然他们们都都对该对该DVDDVD下了下了订单订单，但最后得到，但最后得到该张该张DVDDVD收到的效果差收到的效果差别别很大，所以很大，所以还要考要考虑会会员满意度的意度的问题。表。表1.21.2列出列出了网站了网站中中2020种种DVDDVD的的现现有有张张数和当前需要数和当前需要处处理的理的100100位会位会员员的在的在线订单线订单。如何如何对对手中已有的手中已有的DVDDVD进进行分配，以使所有会行分配，以使所有会员员的的满满意度和达到最大意度和达到最大？D001D001D020D020表示表示2020种种DVD,C0001DVD,C0001C0100C0100表示表示100100个会个会员，会，会员的在的在线订单用数字用数字1,2,1,2,表示，数字越小表示会表示，数字越小表示会员的偏的偏爱程度越高，数字程度越高，数字0 0表示表示对应的的DVDDVD当前不在会当前不在会员的在的在线订单中。中。表表1.2 1.2 现有有DVDDVD张数和当前需要数和当前需要处理的会理的会员的在的在线订单（表格格式示例）（表格格式示例）DVDDVD编号号D001D001D002D002D003D003D004D004DVDDVD现有数量有数量8 81 122221010会会员在在线订单C0001C00010 00 02 20 0C0002C00021 10 09 90 0C0003C00030 06 60 00 0C0004C00040 00 00 00 0C0005C00055 50 00 00 0 问题提出提出 5 DVD 在在 线 租租 赁 问 题 数数 学学 模模 型型 为深入研究网站的深入研究网站的经营策略，我策略，我们从以下几个角度由浅入深得从以下几个角度由浅入深得进行考察：行考察：1 1）至少准）至少准备多少多少张，才能保，才能保证希望看到希望看到该DVDDVD的会的会员中中 至少至少50%50%在一个月内能在一个月内能够看到？若要求保看到？若要求保证在三个月在三个月 内至少内至少95%95%的会的会员能能够看到呢？看到呢？2 2）如何）如何对手中已有的手中已有的DVDDVD进行分配，以使所有会行分配，以使所有会员的的满 意度和达到最大。意度和达到最大。3 3）作）作为网站网站经营管理管理员，如何决定每种，如何决定每种DVDDVD的的购买量，量，以及如何以及如何对这些些DVDDVD进行分配，才能使一个月内行分配，才能使一个月内95%95%的会的会员得到他想看的得到他想看的DVDDVD，并且，并且满意度最大呢？意度最大呢？问题提出提出 3 3、在在实际实际的的经营过经营过程中，不可能像程中，不可能像刚刚才才讨论讨论的两个的两个问题这问题这么么简单简单，我，我们们不可能将不可能将顾顾客的客的满满意率与他意率与他们们的的满满意度割裂开来分开研究，可以意度割裂开来分开研究，可以说说这这是两个是两个问题问题是相互是相互牵牵制的关系。假制的关系。假设设表表1.21.2中中DVDDVD现现有数量全部有数量全部为为0 0。作作为为网站网站经营经营管理人管理人员员，如何决定每种，如何决定每种DVDDVD的的购买购买量，以及如何量，以及如何对这对这些些DVDDVD进进行分配，才能使一个月内行分配，才能使一个月内95%95%的会的会员员得到他想看的得到他想看的DVDDVD，并且，并且满满意意度最大呢？只有弄清楚度最大呢？只有弄清楚这这个个问题问题，我，我们们才能初步的才能初步的对对DVDDVD在在线线租租赁问题赁问题有个有个认识认识。6 DVD 在在 线 租租 赁 问 题 数数 学学 模模 型型 问题问题一一类类似于似于“货货物存物存储问题储问题（Inventory problem）”，基本思路是跟踪，基本思路是跟踪DVDDVD在一个在一个月（三个月）内的流月（三个月）内的流动动情况，目情况，目标标是是计计算出算出DVDDVD的流的流转转次数，然后再次数，然后再结结合合满满意率要求意率要求得出所需准得出所需准备备的的DVDDVD数量。数量。问题问题二二类类似于似于“分配分配问题”或或“指派指派问题（Assignment problem）”，我，我们们可以可以对对偏偏爱爱度度进进行适当的行适当的处处理以理以满满足我足我们们的要求。的要求。0-10-1规规划是划是处处理理该问题的最佳方法，因此的最佳方法，因此如何使用如何使用这一方法将是研究一方法将是研究问题二的关二的关键。问题问题三看似是三看似是问题问题一与一与问题问题二的二的结结合合（存（存贮+分配），但分配），但实际要复要复杂得多。他得多。他综合合考考虑一个月内一个月内DVDDVD的的购买购买、分配方案，是一个多目、分配方案，是一个多目标线标线性性规规划。从划。从经济经济效益看，在效益看，在保保证证95%95%以上会以上会员员一个月内看到想看的一个月内看到想看的DVDDVD的情况下，希望的情况下，希望购买购买尽量少的尽量少的DVDDVD，从社，从社会效会效应应看，看，则则要尽可能多地考要尽可能多地考虑让总虑让总的的满满意度最大。意度最大。这时这时，可以将多目，可以将多目标变为单标变为单目目标规标规划，以求得一个划，以求得一个经济经济与社会效益的与社会效益的综综合最合最优优。由。由于于问题问题三三牵牵涉到两次分配，而涉到两次分配，而对对会会员满员满意率的理解又有多种解意率的理解又有多种解释释，因此目，因此目标标及及约约束束函数会和函数会和问题问题一、一、问题问题二有很大差二有很大差别别。而而问题三的模型又可从当前三的模型又可从当前满意度最大和一意度最大和一段段时间内内满意度最大两个角度来考意度最大两个角度来考虑。问题分析分析 71.1.对10001000名会名会员的的调查足以反映足以反映1010万名会万名会员对于各种于各种DVDDVD的需求及喜好的需求及喜好2.2.所有会所有会员提交提交订单的的时间是随机的是随机的3.3.一个月的天数一个月的天数为3030天天4.4.会会员中有中有60%60%的会的会员每月租每月租赁DVDDVD两次，两次，40%40%的会的会员每月租每月租赁DVDDVD一次一次5.5.会会员只有在需要再次租只有在需要再次租赁DVDDVD时，才会将上次租，才会将上次租赁的的DVDDVD归还6.6.会会员临近两次借的近两次借的DVDDVD种种类不会重复不会重复7.7.每位会每位会员每月至少租每月至少租赁1 1次次8.8.会会员本次提交后没得到本次提交后没得到该DVDDVD，则他下次仍要看他下次仍要看该DVDDVD，且偏，且偏爱度不度不变9.9.每每类租租赁出的出的DVDDVD有有60%60%在每月租在每月租赁2 2次的会次的会员中，中，40%40%在每月租在每月租赁1 1次的会次的会员中中10.10.公司收到公司收到订单时不知道此会不知道此会员在一个月内会借一次或两次在一个月内会借一次或两次 DVD 在在 线 租租 赁 问 题 数数 学学 模模 型型 假假设条件条件 在在实际建模中建模中还会遇到其他会遇到其他问题，比如，比如问题一中可以淡化会一中可以淡化会员每次借三每次借三张的的条件，即会条件，即会员每次借的每次借的DVDDVD数量不固定；数量不固定；问题二中不考二中不考虑多次分配的多次分配的问题；问题三中三中对顾客客满意率的不同理解。因此，我意率的不同理解。因此，我们将在以下的将在以下的讨论具体具体问题时再再给出。出。8 DVD 在在 线 租租 赁 问 题 数数 学学 模模 型型 模型建立与数模型建立与数值求解求解 ：第：第 时间节点上第点上第 种种DVDDVD的可分配量的可分配量 ：所有会：所有会员中愿意中愿意观看第看第 种种DVDDVD的人的概率的人的概率 ：所有会：所有会员中每月借中每月借2 2次的人的概率次的人的概率 ：需要：需要满足的会足的会员比例比例 ：会：会员总数数 ：所考：所考虑的的时间跨度，即月份数跨度，即月份数 ：第：第 个会个会员对第第 种种DVDDVD的偏的偏爱程度程度 ：第：第 个会个会员对第第 种种DVDDVD的的满意度意度 ：分配：分配变量，量，表示第表示第 个会个会员得到第得到第 种种DVDDVD，否，否则为0 0 ：网站第：网站第 种种DVDDVD的的现有数量有数量其余特殊的其余特殊的变量将在后面的量将在后面的讨论中具体中具体说明明参数与参数与变量量说明明9 DVD 在在 线 租租 赁 问 题 数数 学学 模模 型型 模型建立与数模型建立与数值求解求解 问题一的模型与求解一的模型与求解 问题一是一是简化的情形，在制定方案化的情形，在制定方案时，暂时不考不考虑每个会每个会员每次最多借每次最多借3 3张DVDDVD的限制，也不考的限制，也不考虑各种各种DVDDVD间产生的影响及数量生的影响及数量间的横向的横向联系，系，单独考独考虑每种每种DVDDVD的准的准备量。量。如上所述，我如上所述，我们称每个月只租称每个月只租赁一次一次DVDDVD的会的会员为1 1类会会员，每个月租，每个月租赁两次两次的会的会员为2 2类会会员。虽然借一次和两次的会然借一次和两次的会员并不固定，但其占并不固定，但其占总体会体会员的比例的比例是一定的。由于每个月租是一定的。由于每个月租赁两次两次DVDDVD的会的会员的不确定性，无法的不确定性，无法预知每种知每种DVDDVD到底会到底会借借给哪哪类会会员。因此，在制定。因此，在制定购买方案方案时我我们分分别考考虑悲悲观情况估情况估计及均及均值估估计两种方式。两种方式。问题一包含两个部分，一是至少准一包含两个部分，一是至少准备多少多少张DVDDVD，才能保，才能保证希望看到希望看到该DVDDVD的的会会员中至少中至少50%50%在一个月内能看到；二是至少准在一个月内能看到；二是至少准备多少多少张DVDDVD，才能保，才能保证在三个月在三个月内至少内至少95%95%的会的会员能能够看到看到该DVDDVD。我。我们分分别称上述两种情况称上述两种情况为“一月情况一月情况”和和“三月情况三月情况”。“三月情况三月情况”是是“一月情况一月情况”的延的延续。10 DVD 在在 线 租租 赁 问 题 数数 学学 模模 型型 模型建立与数模型建立与数值求解求解 问题一：悲一：悲观情况情况估估计一个月一个月 假假设DVD1DVD1其其购买量量为 ，从表，从表1 1可以可以认为想看想看DVD1DVD1的有的有2 2万人，而会万人，而会员一个月一个月借借1 1次或借次或借2 2次是随机的，次是随机的，这就可能出就可能出现极端的情况，即第一次分配极端的情况，即第一次分配时正好所有正好所有1 1类会会员都分配到了都分配到了DVD1DVD1，我，我们把把这种情况称种情况称为悲悲观情况。情况。则 的一部分首先被会的一部分首先被会员总数数40%40%的的1 1类会会员借走了，而且在借走了，而且在该月不会月不会归还。那么，。那么，为了保了保证至少有至少有50%50%的会的会员在一个月内能看到在一个月内能看到该DVDDVD，则DVD1DVD1总的的购买量量应满足：足：同理，同理，设 为愿意看第愿意看第 种种DVDDVD的人的概率，的人的概率，可从表可从表1 1中将愿意看中将愿意看该DVDDVD的的人数除以人数除以总人数可人数可获，则5 5种种DVDDVD的的购买量量为:DVDDVD名称名称DVD1DVD1DVD2DVD2DVD3DVD3DVD4DVD4DVD5DVD5购买量量9000900045004500225022501125112545045011 DVD 在在 线 租租 赁 问 题 数数 学学 模模 型型 模型建立与数模型建立与数值求解求解 问题一：悲一：悲观情况情况估估计三个月三个月 从从“一月情况一月情况”，我，我们可以推广到可以推广到“三月情况三月情况”。如果。如果 ，则每次分配都将只能由每月借一次的会每次分配都将只能由每月借一次的会员的到的到DVDDVD，这样三个月中三个月中DVD1DVD1的流的流动量就量就仅为 ，为了保了保证至少有至少有50%50%的会的会员在一个月内能看到在一个月内能看到该DVDDVD，那么此，那么此时DVD1DVD1总的的购买量量应该满足足 同理，同理，对于其余于其余4 4种种DVDDVD的的购买量有，量有，为保保证三个月内至少三个月内至少95%95%的会的会员看到他想看的看到他想看的DVDDVD，每种，每种DVDDVD的的购买量量为：DVDDVD名称名称DVD1DVD1DVD2DVD2DVD3DVD3DVD4DVD4DVD5DVD5购买量量63346334316731671584158479279231731712 DVD 在在 线 租租 赁 问 题 数数 学学 模模 型型 模型建立与数模型建立与数值求解求解 问题一：一：均均值情况估情况估计 现实中，每天都会有中，每天都会有订单提交，也有提交，也有DVDDVD归还，而且都是服从参数，而且都是服从参数为 的普的普哇松分布。考哇松分布。考虑平均情况，平均情况，认为：60%60%的会的会员1515天天归还DVDDVD，40%40%的会的会员一个月一个月归还，即，即对于每于每张DVDDVD有有60%60%的可能的可能1515天流通一次，天流通一次，40%40%的可能的可能3030天流天流动一次。假一次。假设所有会所有会员在每个月的某天（不妨在每个月的某天（不妨为1 1号）提交号）提交订单，那些，那些2 2类会会员也集中在也集中在1515号号归还并提交下一份并提交下一份订单，则可以可以发现上述的上述的简化是普哇松分布的平均情况。因此，化是普哇松分布的平均情况。因此，在在处理理时可以不考可以不考虑每个会每个会员的具体租的具体租赁、归还的的时间，而只考，而只考虑每个月两次的每个月两次的分配方案，即分配方案，即1 1号和号和1515号的分配方案。号的分配方案。同同时，在，在DVDDVD租租赁出去后，出去后，对于某种于某种DVDDVD，是均匀的分布在，是均匀的分布在1 1类会会员和和2 2类会会员中，即在中，即在1515号，号，该DVDDVD将有将有60%60%归还。我我们用下用下图表示租表示租赁情况，每情况，每块代表代表长度度为1515天的天的时段，上方的箭段，上方的箭头表示表示该时刻借出的数量，下方表示刻借出的数量，下方表示归还的数量。的数量。则初始初始时刻刻 有有 张可用于分配。可用于分配。第二次第二次 第四次第四次 第六次第六次 第一次租第一次租赁 第三次第三次 第五次第五次 时间13 DVD 在在 线 租租 赁 问 题 数数 学学 模模 型型 模型建立与数模型建立与数值求解求解 问题一：一：均均值情况估情况估计一月一月 对于于“一月情况一月情况”，仅观察上察上图中的前两段。在分配中的前两段。在分配时，每，每张DVDDVD都有都有60%60%的的可能被分配可能被分配给一月个借一月个借2 2次的会次的会员，40%40%的可能分配的可能分配给每月借每月借1 1次的。在初始次的。在初始时刻刻会将所有会将所有DVDDVD借出，因此借出，因此 即表示网站即表示网站对 的的购买量，而量，而问题目目标则是要求出是要求出 的最小的最小值，以达到效益的最，以达到效益的最优。由假由假设可知，第可知，第1 1个月月中有个月月中有 的的 归还，另外，另外40%40%仍在会仍在会员中，中，这时网站可将网站可将 的的 借出。借出。则 与与 有如下关系：有如下关系：这样就可以就可以计算算 在一个月中的流通量在一个月中的流通量 即一个月内即一个月内DVDDVD的的流通量流通量为月初月初购买量的量的1.61.6倍，称倍，称这个个“1.6”1.6”为“一月流通系数一月流通系数”。那么。那么DVDDVD一一个月最小个月最小购买量可通量可通过以下公式来以下公式来计算：算：14 DVD 在在 线 租租 赁 问 题 数数 学学 模模 型型 模型建立与数模型建立与数值求解求解 问题一：一：均均值情况估情况估计一月一月 由表由表1 1得到得到10001000人中愿意人中愿意观看每种看每种DVDDVD的概率分的概率分别为：由于由于这10001000人人为1010万人的子万人的子样本，本，也可表示也可表示1010万人中愿意万人中愿意观看每种看每种DVDDVD的概率。的概率。则 表示表示1010万人中愿意万人中愿意观看第看第 种种DVDDVD的人。的人。经计算，算，各种各种DVDDVD的最少月初的最少月初购买量量为：总的最少的最少购买量量S=12033S=12033DVDDVD名称名称DVD1DVD1DVD2DVD2DVD3DVD3DVD4DVD4DVD5DVD5购买量量62506250312531251563156378278231331315 DVD 在在 线 租租 赁 问 题 数数 学学 模模 型型 模型建立与数模型建立与数值求解求解 问题一：一：均均值情况估情况估计三月三月 该情况需要考情况需要考虑6 6个个时段，而且各个段，而且各个时段段节点互相影响。在点互相影响。在“一月情况一月情况”中中已已经知道知道 与与 之之间的关系：的关系：在第在第3 3个个时间点，会有点，会有 张DVDDVD归还。观察察 张DVDDVD的的组成，第成，第1 1个个时间点有点有40%40%的的DVDDVD分配分配给了了1 1类会会员，则在第在第3 3个个时间点点归还，数量，数量为 。而。而对于第于第2 2个个时间点中收回的部分点中收回的部分DVDDVD同同样有有60%60%的可能分配的可能分配给2 2类会会员，40%40%的可能分配的可能分配给1 1类会会员，因此在第，因此在第3 3个个时间点，会有点，会有60%60%的人的人归还，数量，数量为 。则第第3 3个个时间点收点收回的回的 来源于两个部分，分来源于两个部分，分别为第第1 1时间点借点借给“一一类会会员”的的DVDDVD以及第以及第2 2个个时间点借点借给“二二类会会员”的的DVDDVD。所以有。所以有 。三个月内。三个月内6 DVD6 DVD租出数如下：租出数如下：第一次：第一次：第二次：第二次：第三次：第三次：第四次：第四次：第五次：第五次：第六次：第六次：由此，可以得出一个通用的由此，可以得出一个通用的递推公式：推公式：16 DVD 在在 线 租租 赁 问 题 数数 学学 模模 型型 模型建立与数模型建立与数值求解求解 问题一：一：均均值情况估情况估计三月三月 通通过上面的上面的递推公式就可以建立与推公式就可以建立与“一月情况一月情况”相似的模型：相似的模型：经计算，各种算，各种DVDDVD的最少月初的最少月初购买量量为DVDDVD名称名称DVD1DVD1DVD2DVD2DVD3DVD3DVD4DVD4DVD5DVD5购买量量423242322116211610581058529529212212 总的最少的最少购买量量S=8147S=8147 由上面的由上面的递推公式可得推公式可得“三月情况三月情况”中中DVDDVD的流通量：的流通量：“4.49”4.49”为“三月流通系数三月流通系数”。17 DVD 在在 线 租租 赁 问 题 数数 学学 模模 型型 模型建立与数模型建立与数值求解求解 问题一：一：理理论证明明 事事实上，不必上，不必认为所有人都在所有人都在1 1号来借号来借DVDDVD。以。以DVD1DVD1为例，例，设某种某种DVDDVD一个月一个月内被看到内被看到1 1次的概率次的概率为0.40.4，被看到，被看到2 2次的概率次的概率为0.60.6，则其服从分布：其服从分布：为使想看使想看该DVDDVD的会的会员中至少中至少50%50%在一个月内能在一个月内能够看到，即要看到，即要 成立的概率尽可能大，不妨取：成立的概率尽可能大，不妨取：由于由于 是独立同分布的，且是独立同分布的，且 的数量很大，有中心极限定理知，的数量很大，有中心极限定理知，近似服近似服从正从正态分布。将其化分布。将其化为标准正准正态分布即分布即为：查表并求解得：表并求解得：同理也可推出其他解，由此同理也可推出其他解，由此证明了均明了均值情况下的估情况下的估计是完全可行的。是完全可行的。18 DVD 在在 线 租租 赁 问 题 数数 学学 模模 型型 模型建立与数模型建立与数值求解求解 问题一：一：一般情况推广一般情况推广 在上面的基在上面的基础中，我中，我们把模型推广到范把模型推广到范围更广的更广的现实经济生活中。假生活中。假设通通过问卷卷调查分析推算出任意客分析推算出任意客户群体的借群体的借阅分布情况，分布情况，设 为2 2类会会员的概率，的概率，为需要需要满足的会足的会员比例，比例，为所考所考虑的的时间跨度，即月份数，跨度，即月份数，为会会员总数，数，则可可得到下面更一般的得到下面更一般的带约束的束的线性性规划模型（划模型（这里人里人设DVDDVD种种类为5 5种）：种）：19 DVD 在在 线 租租 赁 问 题 数数 学学 模模 型型 模型建立与数模型建立与数值求解求解 问题二的模型与求解二的模型与求解 问题二是在二是在现有一定数量有一定数量DVDDVD的前提下，如何分配以使会的前提下，如何分配以使会员总的的满意度最大。意度最大。这与与“分配分配问题”或或“指派指派问题（Assignment problem）”有很多相同点。有很多相同点。我我们可以通可以通过一些一些变化来使求解化来使求解“分配分配问题”的模型能运用于的模型能运用于该问题。我我们把把问题二中二中“100100个会个会员对DVDDVD的需求的需求”理解理解为“需要完成的需要完成的100100项任任务”，“2020种种DVDDVD数量数量”理解理解为“有有 个人可以承担个人可以承担这些任些任务”，“会会员对于不同于不同DVDDVD的偏的偏爱度度”理解理解为“不同人去完成不同工作的效率不同人去完成不同工作的效率”，通，通过类比就能把分配比就能把分配问题的模型运用到的模型运用到问题二中了。二中了。分配分配问题最常用的方法是最常用的方法是0-10-1型整数型整数规划。在具体使用前，划。在具体使用前，还需要将每个会需要将每个会员对不同不同DVDDVD的偏的偏爱度度转化化为满意度。因意度。因为我我们的目的目标是是总体体满意度最大。意度最大。从表从表1.21.2中可以看到：会中可以看到：会员的在的在线订单用数字用数字1,2,1,2,表示，数字越小表示会表示，数字越小表示会员的偏的偏爱程度越高，数字程度越高，数字0 0表示表示对应的的DVDDVD当前不在会当前不在会员的在的在线订单中。通中。通过观察察我我们用一个大于用一个大于9 9的固定数的固定数值来减偏来减偏爱数数,把把这个差个差值作作为满意度。意度。20 DVD 在在 线 租租 赁 问 题 数数 学学 模模 型型 模型建立与数模型建立与数值求解求解 问题二二:参数定参数定义 1 1、设矩矩阵 为偏偏爱度矩度矩阵，矩，矩阵中的元素中的元素 为表表1.21.2中的偏中的偏爱数，表示第数，表示第 个会个会员对 的偏的偏爱数。数。越小表示会越小表示会员的的满意程度越高，意程度越高，为1 1时最高，最高，为0 0时表示表示客客户没有下没有下订单。于是就得到了偏。于是就得到了偏爱度矩度矩阵 2 2、设矩矩阵 为满意度矩意度矩阵，矩，矩阵中的元素中的元素 为满意度，表示第意度，表示第 个会个会员对第第 的的满意度。意度。可通可通过如下算法如下算法获得：得：3 3、令、令 为分配分配变量，量，表示第表示第 个会个会员得到得到 ；表示表示 未分配未分配给第第 个会个会员。由此得到我。由此得到我们要求的分配矩要求的分配矩阵通通过过矩矩阵阵 就能就能应应用用0-10-1规规划划进进行求解行求解。4 4、令、令 表示表示 的的现有数量，有数量，则有数量矩有数量矩阵5 5、令、令 表示所有会表示所有会员满意度的意度的总和，我和，我们的目的目标就是求出其最大就是求出其最大值。21 DVD 在在 线 租租 赁 问 题 数数 学学 模模 型型 模型建立与数模型建立与数值求解求解 问题二二:模型建立模型建立 1.1.因因为为表表1.21.2中的数字中的数字0 0意意义义特殊，不直接与特殊，不直接与满满意度意度产产生关系。生关系。0 0代表代表该该DVDDVD没有出没有出现现在在订单订单中，即会中，即会员员不需要看不需要看该该DVDDVD。从分配。从分配费费用考用考虑虑，避免把，避免把该该DVDDVD分配分配给给会会员员。根据根据 的定的定义义，不妨，不妨认为认为：，则则 时时，也等于也等于0 0，即避免了上述情况的，即避免了上述情况的发发生。生。2.2.由于一次最多只能借由于一次最多只能借3 3张张，那么就有：，那么就有：，又，又 分配分配给给各会各会员员的数量肯定不超的数量肯定不超过现过现有数量有数量 ，所以：，所以：。由以上分析可得由以上分析可得问题二的模型：二的模型：用用LINGO LINGO 数学数学软软件件实现对实现对此此题题0-10-1规规划模型的求解。划模型的求解。22 DVD 在在 线 租租 赁 问 题 数数 学学 模模 型型 模型建立与数模型建立与数值求解求解 问题二二:模型改模型改进-约束条件改束条件改进 根据上述模型的求解，我根据上述模型的求解，我们发现们发现又些会又些会员员没有分配到没有分配到3 3张张DVDDVD，即他，即他们们的需要的需要没能被没能被满满足。从网站的社会效益考足。从网站的社会效益考虑虑，这样这样的情况会的情况会导导致网站客致网站客户户的流失。所以的流失。所以希望在希望在满满足所有会足所有会员员都能借到都能借到3 3张张DVDDVD的前提下，再通的前提下，再通过过会会员总满员总满意度最大来决定意度最大来决定分配方案。分配方案。这这就需要就需要对对上面的模型做一些改上面的模型做一些改进进。我我们们可以将可以将 改改为 ，则得到模型得到模型23 DVD 在在 线 租租 赁 问 题 数数 学学 模模 型型 模型建立与数模型建立与数值求解求解 问题二二:模型改模型改进-约束条件改束条件改进 以上修改，以上修改，约束条件加束条件加强了，可能了，可能导致模型无可行解。事致模型无可行解。事实通通过LINGO LINGO 程序程序也也发现该模型无解。因模型无解。因为约束条件中束条件中规定了不能分配定了不能分配给会会员不要的不要的DVDDVD，而会，而会员每次都被分到每次都被分到3 3张，则网站至少有网站至少有300300张DVDDVD，而，而现仅有有303303张，只比最低限度多，只比最低限度多3 3张，则当某当某DVDDVD需求需求较大大时就会供不就会供不应求。所以要放求。所以要放宽条件条件1 1，才能找到最，才能找到最优解。解。最最优值在第在第165165次迭代后得到次迭代后得到Z=2024Z=2024。以上两个模型的。以上两个模型的结果是相同的，由于果是相同的，由于约束条件的放束条件的放宽，后一个模型的迭代次数，后一个模型的迭代次数较少，少，则在在说明每个会明每个会员一次能借到一次能借到3 3张DVDDVD不会影响会不会影响会员整体整体满意度，而且从模意度，而且从模拟结果看，改果看，改进后的后的对原有分配策略原有分配策略影响不大。影响不大。24 DVD 在在 线 租租 赁 问 题 数数 学学 模模 型型 模型建立与数模型建立与数值求解求解 问题二二:模型改模型改进-满意度定意度定义改改进 以上的以上的讨论都是基于用一个固定数去减会都是基于用一个固定数去减会员偏偏爱数作数作为满意度来分析的。但意度来分析的。但存在一定的不合理性。比如，当看到了最想看的存在一定的不合理性。比如，当看到了最想看的DVDDVD时，心理上，心理上满足是非常大的足是非常大的 ，但当，但当仅仅得到了第二想看的得到了第二想看的DVDDVD，那，那满足感会大打折扣，而如果足感会大打折扣，而如果仅得到了第三得到了第三想看得想看得DVDDVD，满足感会更低，但与足感会更低，但与仅获得第二想看的得第二想看的DVDDVD相比，也相比，也许失落感并不会失落感并不会如没有如没有获得第一想看的得第一想看的DVDDVD那么大。所以，如果只是那么大。所以，如果只是简单得把会得把会员订单中的中的DVDDVD进行了相同差行了相同差别的的处理，无法表示出会理，无法表示出会员的真的真实满意度差意度差别。所以我。所以我们想到了用偏想到了用偏爱数的倒数来表示会数的倒数来表示会员的的满意度，意度，对满意度矩意度矩阵 的元素的元素 重新定重新定义：把新定把新定义的的满意度代入上述模型中，并由意度代入上述模型中，并由LINGO LINGO 程序程序计算，最算，最优值在第在第5454次次迭代后得到迭代后得到Z=153.9984Z=153.9984。我。我们对分配策略的分析分配策略的分析发现，该结果与上一个模型相比果与上一个模型相比并没有太大的并没有太大的变动，这是因是因为两种两种满意度的定意度的定义其其实质是一是一样的。的。25 DVD 在在 线 租租 赁 问 题 数数 学学 模模 型型 模型建立与数模型建立与数值求解求解 问题三的模型与求解三的模型与求解 在在现实的网站的网站经营中需要中需要综合考合考虑问题一、二，一、二，这就需要我就需要我们进一步一步讨论问题三的模型，它需要考三的模型，它需要考虑两次分配方案，但我两次分配方案，但我们可以可以简化化为仅考考虑当前当前时间点下点下如何用最小的如何用最小的DVDDVD购买来来满足足95%95%的会的会员并找出最佳分配方案使会并找出最佳分配方案使会员总满意度最大。意度最大。那么如何将那么如何将这两个目两个目标同同时放入一个目放入一个目标函数呢，最函数呢，最简单的方法就是相加。的方法就是相加。由由问题二知道，目二知道，目标是使所有会是使所有会员满意度意度总和和 尽可能地大，而且每尽可能地大，而且每种种DVDDVD数量数量 是固定的，但是固定的，但问题三中三中DVDDVD的的购买量是自己定的，因此量是自己定的，因此设置一个新的置一个新的变量量 表示当前需要表示当前需要购买 的数量，的数量，则表示表示总的的购买数量，而且从盈利角数量，而且从盈利角度考度考虑总的的购买数量越小越好。所以我数量越小越好。所以我们可以将目可以将目标函数定如下：函数定如下：26 DVD 在在 线 租租 赁 问 题 数数 学学 模模 型型 模型建立与数模型建立与数值求解求解 问题三三:等等权情况情况（会会员总体体满意度与意度与DVDDVD购买量量权重相等重相等）针对“使一个月内使一个月内95%95%的会的会员得到想看的得到想看的DVD”DVD”的要求，可以参照的要求，可以参照问题一的一的处理方法，从表理方法，从表1.21.2中中统计出原意出原意观看看 的人数占全体会的人数占全体会员比例。比例。结果如下：果如下：由由问题一的流通量可得一的流通量可得 由于网站可自由决定其由于网站可自由决定其DVDDVD的的购买量，量，则有有DVD名称名称 DVD1DVD2DVD3DVD4DVD5DVD6DVD7DVD8DVD9DVD10愿意愿意观看人数看人数53374634374242484151占全体会占全体会员比例比例0.530.370.460.340.370.420.420.480.410.51DVD名称名称 DVD11DVD12DVD13DVD14DVD15DVD16DVD17DVD