Matlab在物理学中的应用--光的衍射.doc

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第二章 数理探究试验
光的干涉和衍射
一、实验目的
① 学习用用模拟实验方法探究光的干涉和衍射问题.
② 进一步熟悉MATLAB编程.
二、实验内容和要求
1. 双缝干涉模拟实验
杨氏双缝干涉实验是利用分波前法获得相干光束的典型例子. 如图2.24所示，单色光通过两个窄缝s1，s2射向屏幕，相当于位置不同的两个同频率同相位光源向屏幕照射的叠合，由于到达屏幕各点的距离（光程）不同引起相位差，叠合的结果是在有的点加强，在有的点抵消，造成干涉现象.

图2.24 双缝干涉示意图
考虑两个相干光源到屏幕上任意点P的距离差为
（2.19）
引起的相位差为

设两束相干光在屏幕上P点产生的幅度相同，均为A0，则夹角为φ的两个矢量A0的合成矢量的幅度为
A=2A0 cos(φ/2)
光强B正比于振幅的平方，故P点光强为
B=4B0cos2(φ/2) （2.20）
运行sy211.m程序得到干涉条纹如图2.27所示.
clear all %sy211.m
lam=500e-9; %输入波长
a=2e-3; D=1;
ym=5*lam*D/a; xs=ym; %设定光屏的范围
n=101;ys=linspace(-ym,ym,n); % 把光屏的y方向分成101点
for i=1:n
r1=sqrt((ys(i)-a/2).^2+D^2);
r2=sqrt((ys(i)+a/2).^2+D^2);
phi=2*pi*(r2-r1)/lam;
B(i,:)=4*cos(phi/2).^2;
end
N=255; % 确定用的灰度等级为255级
Br=(B/4.0)*N; %使最大光强对应于最大灰度级（白色）
subplot(1,2,1)
image(xs,ys,Br); %画干涉条纹
colormap(gray(N));
subplot(1,2,2)
plot(B,ys) %画出光强变化曲线
图2.25中左图是光屏上的干涉条纹，右图是光屏上沿y轴方向光强的变化曲线. 从图中也不难看出，干涉条纹是以点o所对应的水平线为对称，沿上下两侧交替，等距离排列，相邻亮条纹中心间距为2.5×10－4m.
-1.5
-1
-0.5
x10-3
0
0.5
1
1.5
-0.4
-0.2
0
0.4
0.2
-1.5
0
1
2
3
4
-1
0.5
1
1.5
x10-3
-0.5
0

图2.25 单色光的干涉条纹
这与理论推导和实验结果基本一致.
下面我们从理论上加以推导，由上面的式（2.19）可得

考虑到a，y很小，（r1+r2）=2D，所以

这样就得到点P处于亮条纹中心的条件为
（2.21）
因此，亮条纹是等间距的，相邻条纹间距为.
问题2.39：推导出点P处于暗条纹中心的条件并与模拟结果相比较，看是否一致？
考虑到纯粹的单色光不易获得，通常都有一定的光谱宽度，这种光的非单色性对光的干涉会产生何种效应，下面我们用MATLAB计算并仿真这一问题.
非单色光的波长不是常数，必须对不同波长的光分别处理再叠加起来. 我们假定光源的光谱宽度为中心波长的±10%，并且在该区域均匀分布. 近似取11根谱线，相位差的计算表达式求出的将是不同谱线的11个不同相位. 计算光强时应把这11根谱线产生的光强叠加并取平均值，即

将程序sy211.m中的9，10两句换成以下4句，由此构成的程序就可仿真非单色光的干涉问题.
N1=11;dL=linspace(-0.1,0.1,N1); %设光谱相对宽度±10%，
lam1=lam*(1+dL'); %分11根谱线，波长为一个数组
Phi1=2*pi*(r2-r1)./ lam1; %从距离差计算各波长的相位差
B(i, :)=sum(4*cos(Phi1/2).^2)/N1; %叠加各波长并影响计算光强
运行修改后的程序得到的干涉条纹如图2.26所示. 可以看出，光的非单色性导致干涉现象的减弱，光谱很宽的光将不能形成干涉.

图2.26 非单色光的干涉条纹
2. 单缝衍射的模拟实验
一束单色平行光通过宽度可调的狭缝，射到其后的光屏上. 当缝宽足够小时，光屏上形成一系列亮暗相间的条纹，这是由于从同一个波前上发出的子波产生干涉的结果. 当光源到衍射屏的距离和光屏到衍射屏的距离都是无穷大时，即满足远场条件时，我们称这种衍射为夫琅禾费衍射. 所以夫琅禾费衍射中入射光和衍射光都是平行光. 为了模拟单缝衍射现象，我们把单缝看成一排等间隔光源，共NP个光源分布在A～B区间内，离A点间距为yp，则屏幕上任一点S处的光强为NP个光源照射结果的合成.
如图2.27所示，子波射线与入射方向的夹角称为衍射角，时，子波射线通过透镜后，必汇聚到O点，这个亮条纹对应的光强称为主极大. NP个光源在其他方向的射线到达S点的光程差，应等于它们到达平面AC的光程差，即，其中

ys为S点的纵坐标，则与A点光源位相差为

图2.27 单缝衍射的模拟实验
设单缝上NP个光源的振幅都为1，在x，y轴上的分量各为，合振幅的平方为：. 又光强正比于振幅的平方，所以相对于O点主极大光强也为

程序sy212.m模拟了单缝衍射现象，这里取波长λ=500nm，缝宽a=1mm，透镜焦距D=1m，运行结果如图2.28所示.
clear all %sy212.m
lam=500e-9;a=1e-3;D=1;
ymax=3*lam*D/a; %屏幕范围（沿y向）
Ny=51; %屏幕上的点数（沿y向）
ys=linspace(-ymax,ymax,Ny);
NP=51;
yP=linspace(0,a,NP); %把单缝分成NP个光源
for i=1:Ny %对屏幕上y向各点作循环
SinPhi=ys(i)/D;
图2.28 单缝衍射条纹
alpha=2*pi*yP*SinPhi/lam;
SumCos=sum(cos(alpha));
SumSin=sum(sin(alpha));
B(i,:)=(SumCos^2+SumSin^2)/NP^2;
end
N=255; % 确定用的灰度等级为255级
%使最大光强对应于最大灰度级（白色）Br=B/max(B)*N;
subplot(1,2,1)
%画衍射条纹，用灰度级颜色图
image(ymax,ys,Br);
colormap(gray(N));
subplot(1,2,2)
%画屏幕上光强曲线
plot(B,ys,'*',B,ys);grid;
分析图2.28中的衍射条纹，我们可以看出所有亮暗条纹都平行于单缝，O点光强为最大，这都和理论推导结果相一致.
问题2.40： 从理论上讲，中央亮条纹的半角宽和第一条暗条纹的衍射角都应等于λ/a，各次极大角宽都等于中央亮条纹的半角宽，图2.28模拟的衍射条纹符合这个结论吗？
3. 光栅衍射的模拟实验
有大量等宽度、等间距的平行狭缝组成的光学系统称为衍射光栅. 单缝宽度a和刻痕宽度b之和称为光栅常数d，d=a+b. 光栅衍射条纹是单缝衍射和缝间干涉的共同结果.
设光栅有N条狭缝，透镜焦距为D，理论分析可以得到，光屏上P点的夫琅禾费衍射光强IP/I0分布为

式中

运行程序sy213.m得到衍射条纹如图2.29所示.
clear all %sy213.m
lam=632.8e-9; N=2;
a=2e-4; D=5;d=5*a;
ym=1.89*lam*D/a;xs=ym; %设定光屏的范围
n=1001;ys=linspace(-ym,ym,n); % y方向分成1001点
for i=1:n
Sinphi=ys(i)/D;
alpha=pi*a*Sinphi/lam;
beta=pi*d*Sinphi/lam;
B(i, :)=(sin(alpha)./alpha).^2.*(sin(N*beta)./sin(beta)).^2 ;
B1=B/max(B); %将最大光强设为1
end
NC=255;
Br=B/max(B)*NC;
subplot(1,2,1)
image(xs,ys,Br); %画衍射条纹
colormap(gray(NC))
subplot(1,2,2)
plot(B1,ys) %画出沿y向的相对光强变化曲线
问题2.41：程序sy213.m中d=5a，观察图2.29衍射条纹，看有无缺级现象，为什么？改变sy213.m中的波长、缝宽、光栅常数值，看衍射条纹有何变化？试加以解释.

图2.29 光栅衍射条纹