黄章进图形学第四章 几何对象与变换.pdf

高级计算机图形学高级计算机图形学中国科学技术大学计算机学院黄章进zhuang第四章几何对象与变换第四章之第一节几何基本内容介绍几何要素标量向量点给出这些要素间的与坐标无关的数学运算定义基本的几何图元线段多边形坐标系二维坐标系三维坐标系（右手系）三维坐标系（左手系）基本几何要素几何研究n维空间中对象之间的关系在计算机图形学中，我们对三维空间中的对象感兴趣希望得到一个几何形状的最小集合，根据这个集合可以建立起更复杂的对象需要三个几何要素标量向量点与坐标无关的几何在初等解析几何的学习中，主要应用的是直角坐标系点在空间中的位置是p=(x,y,z)通过对这些坐标进行代数操作导出结果这种方法不是基于物理的从物理的角度来讲，点的存在性是与坐标系的具体位置无关的绝大多数几何结果是不依赖于坐标系的欧氏几何：两个三角形全等是指它们有两个对应边和夹角相等标量在几何中需要三个基本元素标量、向量、点标量可以定义为集合中的成员，集合中具有两种运算(加法和乘法)，运算遵从一些基本的公理(结合律、交换律、逆)例：实数或复数全体，通常的加法与乘法标量自身没有几何属性为什么需要向量？(2,2)(5,3)(4,6)圆心?CAD中的问题：给定不共线三个点，那么过这三点的唯一圆的圆心在哪里？不使用向量分析工具可以给出答案答案设顶点为Vi=(xi,yi),i=0,1,2.并且三角形为逆时针方向。定义Xi=xi-x0,Yi=yi y0三角形的面积为外心(x,y)和半径为Lij表示Vi和Vj的距离221121YXYXA=)4/()()(41)(41122010210222010220121020ALLLrLXLXAyyLYLYAxx=+=+=为什么需要向量？视平面场景：树与照相机照相机需要在视平面上形成一幅图像表示这棵树。视平面上哪些点需要被激活？透视投影需要利用向量来构造为什么需要向量？北斗七星的当前位置及移动方向箭头末尾的位置表示五万年后各星的位置向量物理定义：向量是具有如下两条性质的量方向大小或长度:|v|例：力速度有向线段这也是图形学中最重要的例子可以对应到其它类型上用小写字母表示v向量运算每个向量都有逆同样长度但是指向相反的方向每个向量都可以与标量相乘有一个零向量零长度，方向不定两个向量的和为向量三角形法则v-vvvuwv=u+wu=v-w(线性)向量空间处理向量的数学系统运算一：向量-向量加法 w=u+v封闭性：u,v V,u+v V交换律：u+v=v+u结合律：u+(v+w)=(u+v)+w零向量0：u V,u+0=u 加法逆元-u：u+（-u)=0(线性)向量空间运算二：标量-向量乘法 u=v分配律：(u+v)=u+v(+)u=u+u在向量空间中，表达式 v=u+2w 3r有意义向量空间例子：有向线段、实数的n元组向量没有位置下述向量是相等的因为它们具有相同的方向与长度对几何而言只有向量空间是不够的还需要点点空间中的位置。数学上，点没有大小和形状。用大写字母表示点与向量之间可进行的运算点与点相减得到一个向量等价地，点与向量相加得到新点QPvv=P QP=v+Q有意义：P+3v,P-2C+3v无意义：P+3Q-v仿射空间点加上向量构造的空间运算：向量与向量的加法 向量标量与向量的乘法 向量点与向量的加法 点标量与标量的运算 标量上述运算均是与坐标无关的对于任意点，定义1 P=P0 P=0(零向量)向量与点的线性组合给定n个向量v1,v2,vn,以及n个标量1,2,n,则由归纳法可以证明v=1v1+2v2+nvn也是向量，称为这组向量的线性组合给定n个点P1,P2,Pn,以及n个标量1,2,n,则P=1P1+2P2+nPn是什么？所给的定义需要与坐标无关点的线性组合固定坐标系，取定其中的两点，那么P1+P2是什么？当P1为原点时，P1+P2等于P2当P1与 P2关于原点对称时，P1+P2为原点所以P1+P2的位置与坐标系有关组合系数不能是任意数点的特殊线性组合由归纳法，从“点 点向量”和“标量向量向量”可知当组合系数和1+2+n=0时，点的线性组合为向量 P1+P2=P1+(P2 P1)=点向量点实际上，P1+P2表示两点的中点，这是与坐标无关的定义当1+2+n=1 时，点的线性组合为点，称为给定点的仿射组合除此之外，其它形式的线性组合没有与坐标无关的意义直线考虑具有下述形式的所有点P()=P0+d即所有过P0点，与P0连线平行于向量d的点P0P()d参数形式上述定义直线的形式称为参数形式比其它形式更一般和稳定可以推广到曲线和曲面二维形式显式：y=mx+h隐式：ax+by+c=0参数形式：x()=x0+(1 )x1y()=y0+(1 )y1射线与线段如果限定 0,那么P()就是从P0出发，方向为 d 的射线如果采用两点定义向量d,那么P()=P0+(P1 P0)=(1 )P0+P1当 0 1，那么就会得到连接P0与P1两点的线段dP0P1P()=1=0两点线性插值给定两点A,B，那么它们的仿射组合P(t)=(1 t)A+t B就定义了过这两点的一条直线线性插值在艺术和计算机动画有许多有趣的应用关键帧多边形的变形给定两个有同样数目顶点的折线，那么利用线性插值可以给出从第一个折线到第二个折线的平滑过渡男人女人名人脸Elizabath TaylorJohn F.Kennedy外插外插线性插值凸体一个对象为凸的当且仅当在对象中任何两点的连接线段也在该对象内凸非凸仿射凸组合考虑“和”式P=1P1+2P2+nPn当1+2+n=1时上述和式有意义，此时结果就称为点P1,P2,Pn的仿射和另外，如果i0，那么得到P1,P2,Pn的凸包(convex hull)凸包最小的包含P1,P2,Pn的凸体可以用“收缩包装”的方式得到曲线与曲面曲线是形式为P()的单参数定义的几何体，其中的函数为非线性曲面是由形式为P(,)的两个参数定义的几何体线性函数对应于平面和多边形平面平面是由一个点与两个不平行的向量或者三个不共线的点确定的u+vuvP(,)=R+u+vu+vuvP(,)=R+(Q R)+(S Q)RRSQ三角形QRT(,)PS()P与Q的凸组合当0,1时定义在三角形内的点S()与R的凸组合S()=P+(1-)QT(,)=S()+(1-)R向量的内积内积或点积：uv=|u|v|cos,为两个向量的夹角u v=0 u v|u|cos=u v/|v|是u在v上的正交投影向量的外积外积或叉积：u v为向量，其长度等于|u|v|sin,方向垂直于u,v所在的平面，并且保证u,v,u v 成为右手系，其中为两个向量的夹角。u v=0 u/v法向量每个平面都有一个垂直于自身的向量n在平面的点与二向量形式P(,)=R+u+v中，可以应用向量的外积得到n=u v等价形式：(P()-R)n=0nPuv