高二数学期末练习一答案.doc

高二数学期末综合练习一
一、填空题
1.命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是存在一个能被2整除的整数不是偶数
2.下列说法正确的是__(4)___________.
（1）．命题“若x2＝1，则x＝1”的否命题为：“若x2＝1，则x≠1”
（2）．“x＝1”是“x2－5x－6＝0”的必要不充分条件
（3）．命题“存在x∈R，使得x2＋x＋1＜0”的否定是：“对任意x∈R, 均有x2＋x＋1＜0”
（4）．命题“若x＝y，则sinx＝siny”的逆否命题为真命题
3. 已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“”是“”的_________________________.
4．圆与直线相切于点，则直线的方程为
5.设抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则p的值为8
6.若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则此三角形的面积是____1___；若满足上述约束条件，则的最大值是 2
7. 双曲线－＝1上一点P到双曲线右焦点的距离是4，那么点P到左准线的距离是____16____．
8.是两条不同直线，是两个不同平面，下列命题正确的__(2),(3),(4)（填序号）
(1)若则 (2)若,则
(3)若,则或 （4）若，则
9.已知F是抛物线y2＝x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点到y轴的距离为
10.若椭圆＋＝1的焦点在x轴上，过点作圆x2＋y2＝1的切线，切点分别为A，B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是______＋＝1__．
11.已知半径为4的球O中有一内接圆柱．当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与该圆柱的侧面积之差是____32π____．

12.已知区域： 则的最小值是 4 ；
若圆C：与区域有公共点，则实数的取值范围是 [-2,5] .
13.如图，正方体的棱线长为1，线段上有两个动点E，F，且，则下列结论中错误的是
（A）
（B）
（C）三棱锥的体积为定值
（D）

14.设双曲线的左准线与两条渐近线交于A，B两点，左焦点在以AB为直径的圆内，则该双曲线的离心率的取值范围为(1，)．
二、解答题
15. 已知直线l：y＝x＋b与抛物线C：x2＝4y相切于点A.
(1)求实数b的值；
(2)求以点A为圆心，且与抛物线C的准线相切的圆的方程．
【解答】 (1)由得x2－4x－4b＝0.(*)
因为直线l与抛物线C相切，
所以Δ＝(－4)2－4×(－4b)＝0.
解得b＝－1.
(2)由(1)可知b＝－1，故方程(*)即为x2－4x＋4＝0.
解得x＝2，代入x2＝4y，得y＝1，
故点A(2,1)．
因为圆A与抛物线C的准线相切，
所以圆A的半径r等于圆心A到抛物线的准线y＝－1的距离，即r＝|1－(－1)|＝2.
所以圆A的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4.
16.设：实数满足，其中，实数满足或
，则是的必要不充分条件，求的取值范围。
或
17..如图，在直三棱柱中，，，分别为，的中点，四边形是正方形．
（Ⅰ）求证：∥平面；
（Ⅱ）求证：平面．
证明：（Ⅰ）连结，与交于点，连结．
因为，分别为和的中点，
所以∥．
又平面，
平面，
所以∥平面． ……………………6分
（Ⅱ）在直三棱柱中，
平面，又平面，
所以．
因为，为中点，
所以．又，
所以平面．
又平面，
所以．
因为四边形为正方形，，分别为，的中点，
所以△≌△，．
所以．
所以．
又，
所以平面．
18. 已知椭圆的离心率为，且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形周长为．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设直线与椭圆交于两点，且以为直径的圆过椭圆的右顶点，
求面积的最大值．
解：（Ⅰ）因为椭圆上一点和它的两个焦点构成的三角形周长为，
所以， ……………1分
又椭圆的离心率为，即，所以， ………………2分
所以，. ………………4分
所以，椭圆的方程为. ………………5分
（Ⅱ）不妨设直线的方程.
由 消去得， ………………6分
设，，
则有，. ① ………………7分
因为以为直径的圆过点，所以 .
由 ，
得 . ………………8分
将代入上式，
得 .
将 ① 代入上式，解得 或（舍）. ………………10分
所以（此时直线经过定点，与椭圆有两个交点），
所以
. ……………12分
设，
则.
所以当时，取得最大值.

19. 已知等腰梯形PDCB中（如图1），PB=3，DC=1，PB=BC=，A为PB边上一点，且PA=1，将△PAD沿AD折起，使面PAD⊥面ABCD（如图2）.
（Ⅰ）证明：平面PAD⊥PCD；
（Ⅱ）试在棱PB上确定一点M，使截面AMC把几何体分成的两部分；
（Ⅲ）在M满足（Ⅱ）的情况下，判断直线PD是否平行面AMC.
（I）证明：依题意知：

…4分
（II）由（I）知平面ABCD
∴平面PAB⊥平面ABCD.
在PB上取一点M，作MN⊥AB，则MN⊥平面ABCD，
设MN=h
则

要使
即M为PB的中点.
（Ⅲ）连接BD交AC于O，因为AB//CD，AB=2，CD=1，由相似三角形易得BO=2OD
∴O不是BD的中心……………………10分
又∵M为PB的中点
∴在△PBD中，OM与PD不平行
∴OM所以直线与PD所在直线相交
又OM平面AMC
∴直线PD与平面AMC不平行.……………………15分
20.已知在△ABC中，点A、B的坐标分别为(－2,0)和(2,0)，点C在x轴上方．
(1) 若点C的坐标为(2,3)，求以A、B为焦点且经过点C的椭圆的方程；
(2) 若∠ACB＝45°，求△ABC的外接圆的方程；
(3) 若在给定直线y＝x＋t上任取一点P，从点P向(2)中圆引一条切线，切点为Q.问是否存在一个定点M，恒有PM＝PQ？请说明理由．
. 解：(1) 因为AC＝5，BC＝3，所以椭圆的长轴长2a＝AC＋BC＝8.(3分)
又c＝2，所以b＝2，故所求椭圆的方程为＋＝1.(5分)
(2) 因为＝2R，所以2R＝4，即R＝2.(7分)
又圆心在AB的垂直平分线上，故可设圆心为(0，s)(s＞0)，
则由4＋s2＝8，解得s＝2，所以△ABC的外接圆的方程为x2＋(y－2)2＝8.(10分)
(3) 假设存在这样的点M(m，n)，设点P的坐标为(x，x＋t)，
因为恒有PM＝PQ，所以(x－m)2＋(x＋t－n)2＝x2＋(x＋t－2)2－8，
即(2m＋2n－4)x－(m2＋n2－2nt＋4t＋4)＝0对x∈R恒成立．(13分)
从而，消去m，得n2－(t＋2)n＋(2t＋4)＝0(*)，
因为方程(*)的判别式为Δ＝t2－4t－12，所以
① 当－2＜t＜6时，因为方程(*)无实数解，所以不存在这样的点M；(14分)
② 当t≥6或t≤－2时，因为方程(*)有实数解，且此时直线y＝x＋t与圆相离或相切，故此时这样的点M存在．(16分)