限时集训(五十二)-几何概型.doc

限时集训(五十二)　几 何 概 型

(限时：60分钟　满分：110分)

一、填空题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)
1．取一根长度为4 m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得的两段都不少于1 m的概率是________．

2．(2012·无锡模拟)如图所示，矩形ABCD中，点E为边CD的中点．若在矩形ABCD内部随机取一个点Q，则点Q取自△ABE内部的概率等于________．
3．(2012·昆山模拟)已知P是△ABC所在平面内一点，PB―→＋＋2＝0，现将一粒黄豆随机撒在△ABC内，则黄豆落在△PBC内的概率是________．
4．在区间[－5,5]内随机地取出一个数a，则恰好使1是关于x的不等式2x2＋ax－a2<0的一个解的概率为________．
5．在区间(0，π]上随机取一个数x，则事件“sin x＋cos x≤1”发生的概率为________．
6．(2013·徐州检测)在区间(0,1)上任取两个数，则两个数之和小于的概率是________．
7．(2012·木渎质检)在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1内任取一点P，则点P到点A的距离小于等于a的概率为________．
8．在面积为S的△ABC的边AB上任取一点P，则△PBC的面积大于的概率是________．
9．(2013·海门模拟)在边长为2的正三角形ABC内任取一点P，则使点P到三个顶点的距离至少有一个小于1的概率是________．
10．两人约定在下午3点和4点之间会面，要求先去的等后去的不超过小时，否则先去的可以离开，则两人会面的概率为________．
二、解答题(本大题共4小题，共60分)
11．(满分14分)(2012·江阴模拟)如右图所示，在单位圆O的某一直径上随机地取一点Q，求过点Q且与该直径垂直的弦长长度不超过1的概率．

12．(满分14分)(2013·广东深圳)已知复数z＝x＋yi(x，y∈R)在复平面上对应的点为M.
(1)设集合P＝{－4，－3，－2,0}，Q＝{0,1,2}，从集合P中随机抽取一个数作为x，从集合Q中随机抽取一个数作为y，求复数z为纯虚数的概率；
(2)设x∈[0,3]，y∈[0,4]，求点M落在不等式组：所表示的平面区域内的概率．

13.(满分16分)(2012·镇江模拟)设关于x的一元二次方程x2＋2ax＋b2＝0.
(1)若a是从0,1,2,3四个数中任取的一个数，b是从0,1,2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率；
(2)若a是从区间[0,3]任取的一个数，b是从区间[0,2]任取的一个数，求上述方程有实根的概率．

14．(满分16分)将长为1的棒任意地折成三段，求三段的长度都不超过a的概率．

答案

[限时集训(五十二)]
1．解析：把绳子4等分，当剪断点位于中间两部分时，两段绳子都不少于1 m，故所求概率为P＝＝.
答案：
2．解析：因为S△ABE＝|AB|·|BC|，S矩形＝|AB|·|BC|，则点Q取自△ABE内部的概率P＝＝.
答案：
3．解析：由题意可知，点P位于BC边的中线的中点处．记黄豆落在△PBC内为事件D，则P(D)＝＝.
答案：
4．解析：由已知得2＋a－a2<0，解得a>2或a<－1.故当a∈[－5，－1)∪(2,5]时，1是关于x的不等式2x2＋ax－a2<0的一个解．
故所求概率为P＝＝＝0.7.
答案：0.7
5．解析：由sin x＋cos x≤1得
sin≤，当x∈(0，π)时，
解得≤x≤π，所以所求概率为P＝＝.
答案：
6．解析：

设这两个数是x，y，则试验所有的基本事件构成的区域是确定的平面区域，所求事件包含的基本事件是由
确定的平面区域，如图所示阴影部分的面积是1－×2＝，所以两个数之和小于的概率是.
答案：
7．解析：满足条件的点在半径为a的球内，所以所求概率为P＝＝.
答案：
8．解析：要使S△PBC>S△ABC，只需PB>AB.故所求概率为P＝＝.
答案：
9．解析：以A、B、C为圆心，以1为半径作圆，与△ABC交出三个扇形，当P落在其内时符合要求．故P＝
＝.
答案：π
10.解析：利用几何概型知识，结合线性规划可求出答案，如图．
|x－y|≤⇔
－≤x－y≤，
x∈[0,1]，y∈[0,1]，设阴影部分的面积为d，可知d＝，整个正方形的面积为D，可知D＝1，则所求概率P＝＝.
答案：
11．解：弦长不超过1，即OQ≥，
而Q点在直径AB上是随机的，事件A＝{弦长超过1}．
由几何概型的概率公式得P(A)＝＝.故弦长不超过1的概率为
1－P(A)＝1－.
所求弦长不超过1的概率为1－.
12．解：(1)记“复数z为纯虚数”为事件A.
∵组成复数z的所有情况共有12个：
－4，－4＋i，－4＋2i，－3，－3＋i，－3＋2i，－2，－2＋i，－2＋2i,0，i,2i，
且每种情况出现的可能性相等，属于古典概型，
其中事件A包含的基本事件共2个：i,2i，
∴所求事件的概率为P(A)＝＝.

(2)依条件可知，点M均匀地分布在平面区域内，属于几何概型，该平面区域的图形为右图中矩形OABC围成的区域，面积为S＝3×4＝12.而所求事件构成的平面区域为，
其图形如图中的三角形OAD(阴影部分)．又直线x＋2y－3＝0与x轴、y轴的交点分别为A(3,0)、D，
则三角形OAD的面积为S1＝×3×＝.
故所求事件的概率为P＝＝＝.
13．解：设事件A为“方程a2＋2ax＋b2＝0有实根”．
当a>0，b>0时，方程x2＋2ax＋b2＝0有实根的充要条件为a≥b.
(1)基本事件共12个：
(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值．事件A中包含9个基本事件，事件A发生的概率为
P(A)＝＝.
(2)试验的全部结果所构成的区域为{(a，b)|0≤a≤3,0≤b≤2}．
构成事件A的区域为{(a，b)|0≤a≤3，
0≤b≤2，a≥b}，
所以所求的概率为＝.

14．解：设第一段的长度为x，第二段的长度为y，第三段的长度为1－x－y，则基本事件组所对应的几何区域可表示为O＝{(x，y)|0<x<1,0<y<1,0<x＋y<1}，此区域面积为.
事件“三段的长度都不超过a”所对应的几何区域可表示为A＝{(x，y)|(x，y)∈O，x<a，y<a，1－x－y<a}．
即图中六边形区域，此区域面积：当≤a≤时，为，此时事件“三段的长度都不超过a”的概率为P＝＝(3a－1)2；
当≤a≤1时，为－，此时事件“三段的长度都不超过a”的概率为P＝1－3(1－a)2.
综上，P＝