多边形及镶嵌.doc

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多边形及其内角和 镶嵌
多边形及其内角和
认识 多边形及相关概念
理解 多边形内角和与外角和定理的推导方法
理解正多边形铺满地面的条件及图形特征
掌握 灵活运用多边形内角和与外角和定理
解决有关问题
多边形内角和的计算方法知识点1多边形的相关概念
多边形
内 角
外 角
对角线
凸多边形 画出多边形的任何一条边所在直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，那么 这个多边形叫做凸多边形，否则叫做凹多边形
正多边形 各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形

知识点一 多边形的相关概念

例1 一个正六边形的对角线的条数是
A．6 B_8 C．9 D．12
变式练习：
1．一个多边形共有20条对角线，则多边形的边数是
A．6 B．7 C．8 D．9

知识点2多边形的内角和定理
内 容
例2 若一个多边形内角和为1 800° , 试求这个多边形的边数．

变式练习：
2 根据以下信息，你能知道小华设计的图案是几边形吗?少加的那个内角是多少度?

小华：我在世博会专栏里设计了一个多边形的图案，其内角和为1125°．小明，我求的埘吗?
小明：小华，我觉得你求的不对呀!我给你检查一下．1噢!你少加了一个内角的度数．

知识点3多边形的外角和定理
内 容
推导过程
应 用
(1)已知外角度数求正多边形的边数；
(2)已知正多边形边数求外角度数
例3 如果正多边形的一个外角是72°，那么它的边数是______________________．

变式练习：
3-有一个正多边形，它的一个外角等于相邻内角的，试求这个正多边形的边数．

知识点4 镶 嵌
定义 用形状相同或不同的平面多边形把平面的一部分既无缝隙又不重叠地全部覆盖，通常把这类问题叫做平面镶嵌或密铺

条件 当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个周角时．就能拼成一个平面图形
例4 如图7．3—3，能用来铺设地板的图形个数是
A．2 B．3 C．4 D．5

典型例题

类型1 正多边形内角和的综合应用
例5 （吉林长春中考）在平面内，有一条公共边的正六边形和正方形，按图7．3—5的位置摆放，则∠ a等于_____________度．

类型2 多边形内角和定理与外角和定理的综合应用
例6 某多边形的内角和与外角和的总度数为2 160°, 求此多边形的边数．

类型3实际应用问题

例7 如图7．3—6，小亮从A点出发前进10 m，向右转15°，再前进10 m，又向右转15°，这样一直走下 去，他第一次回到出发点A时，一共走了_____________ m ．

类型4可转化为多边形内角和的图形问题
例8 如图7．3— 7，求∠ A+∠ B+∠ C+∠D+∠ E+∠ F+∠ G的度数．

变式练习：
4．如图7．3-9，求证∠ A+∠ B+∠ C+∠ D+∠ E+∠ F=360°．

类型5三角形内、外角和定理在探究开放性 问题中的应用
例9 已知六边形ABCDEF，如图7．3— 10，它的每个内角都相等，且AB=1，BC=CD=DE=9，求这个六边形的周长．

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1． 如图7．3—16，在四边形ABCD中，∠ ADC与∠ BCD的平分线相交于点P，且∠ A=70°，
∠ B=80°，求∠ P的度数．

2．用相同边长的正三角形和正六边形进行镶嵌，若每一个顶点周围有m个正三角形、n个正六边形，则m，n满足的关系是 ( )
A．2m+3n=12 B．m+n=8 C．2m+n=6 D．m+2n=6
3．从十边形的一个顶点可引_____________条对角线，并将十边形分成个三角形．

4．如图7．3—17，图形是五角星和它的变形．
(1)图7．3—17①中是一个五角星，求∠ A+∠ B+∠ C+∠ D+∠ E
(2)图7．3 17①中的点A向下移到BE上时，如图7．3 17②五个角的和(即∠ CAD+∠ B+∠ C+∠ D+∠ E)有无变化?说明你的结论的正确性；
(3)把图7．3—17②中的点C向上移到BD上时，如图7．3一17③， 五个角的和(即∠ CAD+∠ B+∠ ACE+∠ D+∠ E)有无变化?说明你的结论的正确性．

本章综合
考点1探索三角形的个数
例1 观察下列图形，则第n个图形中，三角形的个数是多少个？

考点2 三角形的内角和定理及外角性质的应用
例2 (云南玉溪中考) 平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系 。
(1) AB平行于CD．如图①，点P在AB，CD外部时，由AB∥CD，有∠ B=∠ BOD，又因为∠BOD是△POD的外角，故∠ BOD=∠ BPD+∠ D，得∠ BPD=∠ B－D．如图②，将点P移到AB，CD内部，以上结论是否成立?若不成立，则∠ BPD，∠ B，∠ D之间有何数量关系?请证明你的结论．

(2)在图②中，将直线AB绕点B逆时针方向旋转一定的角度交直线CD于点Q，如图③，则∠ BPD，∠ B，∠ D，∠ BQD之间有何数量关系？说明理由。

(2) 根据(2)的结论求图④中∠ A+∠ B十∠ C+∠ D十∠ E+∠ F的度数。

考点4平行线与三角形外角关系的应用

例6 如右图，AB∥CD，∠ A=60°，∠ C=25°，GH∥AE，则∠ l= _____________．

考点5多边形的内角和、外角和与边数之间的关系
例7 (北京中考)若一个正多边形的一个外角是40°，则这个正多边形的边数是
A．10 B．9 c．8 D．6

例8 (湖南株洲中考)已知一个n边形的内角和是1 080°，则n= _____________．

考点6方程思想

例9 如下图，△ABC中，∠ C=∠ ABC=2∠A．BD是AC边上的高，求∠ DBC的度数．

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