中考复习备考之教材例习题变式.doc

中考复习备考之教材例题、习题变式举例
朱海卿
纵观近几年襄樊市中考数学试题，可以发现很多都来源于课本中的例题和习题，有的是原题，有的是对课本中的例题和习题变式而得，真可谓是“万变不离其宗”。因而在数学中考总复习中应把教材放在第一位，下面就课本中的例题和习题的变式进行一些浅析。
一、 规律探索题
例1：(七上 P126T10)两条直线相交，有一个交点，三条直线相交，最多有多少个交点？四条直线呢？你能发现什么规律吗？

A
A
A
C
C
C
B
B
B
D
D
E
O
O
O
变式1（08襄樊）如图,在锐角∠AOB内部,画1条射线,可得3个锐角;画2条不同射线,可得6个锐角;画3条不同射线,可得10个锐角……照此规律,画10条不同射线,可得锐角________个

变式2：一条线段上的一点把这条线段变成三条线段，两个点变成六条线段，问四个点把这条线段变成 条线段，10个点把这条线段变成 条线段。

例2（八上 P168T9）观察下图并填表：
梯形个数
1
2
3
4
5
6
…
n
图形周长
5a
8a
11a
14a

a
a
2a

变式：可把图中的梯形变成等边三角形、矩形、正方形或平行四边形均可。如，如图所示，已知等边三角形ABC的边长为，按图中所示的规律，用2009个这样的三角形镶嵌而成的四边形的周长是 。

C
A
B
┅┅

例3：（八上 P168T10）10个棱长为a的正方体摆成如图的形状，这个图形的表面积是多少？

变式:已知如图，正方体的棱长为a，则第10个图形的表面积为 ，第n个图形的表面积为 。

例4：（九上 P81 T7）（1）中的梯形符合什么条件时，可以经过旋转和轴对称形成（2）中的图案？
（3）
（1）
（2）
变式：如图3，是用形状、大小完全相同的等腰梯形密铺成的图案，则这个图案中的等腰梯形的底角（指钝角）是                度．

例5：（八下 P116）实验与探究《巧拼正方形》图1
变式1：如上图，已知这两个正方形的边长均为1，则它们重叠部分的面积为 。
变式2：把上面的正方形改为等腰直角三角形或正多边形，结果又如何？
例6（八上 P186）阅读与思考《杨辉三角》
1
1
1
1
1
1
1
2
3
3
……

变式：（06福建）我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如下图），此图揭示了（为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律．
例如：
，它只有一项，系数为1；
，它有两项，系数分别为1，1，系数和为2；
，它有三项，系数分别为1，2，1，系数和为4；
，它有四项，系数分别为1，3，3，1，系数和为8；
……
根据以上规律，解答下列问题：
（1）展开式共有　　　　项，系数分别为　　　　　　　；
（2）展开式共有　　　　项，系数和为　　　　　　．
例7：（八上 P203）数学活动（有关日历问题）
变式：如图是2009年某月的日历，在图中任圈5个数，若中间一个数为a则它们的和为 ，若这5个数的和为100，则a= .
日
一
二
三
四
五
六
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31

例8：（八上 P201T10）观察下列式子：
2×4+1=9=32； 6×8+1=49=72； 14×16+1=225=152。
你得到了什么结论？你能证明这个结论吗？
变式：观察下列式子：
2×4+1=9=32； 4×6+1=25=52 ；6×8+1=49=72； 8×10+1=81=92…
则第n个式子为 .
例9、（八下 P29）阅读与思考《容器中的水能倒完吗》
变式：（08湛江）先观察下列等式，然后用你发现的规律解答下列问题．
； ； ┅┅
(1) 计算 ．
（2）探究 ．（用含有的式子表示）
（3）若 的值为，求的值．
有上面例子可看出，对于有图形找规律题，可把课本中的图形换成其他图形就可以得到一道很好的中考题;课本中的阅读与活动也可以作为找规律题的素材。
二、 几何的证明与计算
例1：测河宽的几种方法
C
A
B
D
E
A
B
C
D
E
（八上 P101T1）用三角形全等 （九下 P50T例4 P50T2）用三角形相似

D
C
B
A
A
B
C
D
E
F
A
变式：请你设计一种测量河宽的方法，画出图形。如图小明发现河两岸有两棵大树A和B，且A B刚好与河岸垂直，他在C点看两棵大树两视线的夹角∠A CB=60°,他又向前走了100米到达D处看两棵大树两视线的夹角∠A DB=45°,于是他就得出了河的宽度。你知道他是怎么得来得吗？

例2:（八上 P111T6）如图,AD是△ABC的角平分线,DE⊥AC,DF⊥AB,垂足分别是E、F，AD与EF交于G。AD与EF垂直吗？
变式：如上图,AD是△ABC的角平分线,DE⊥AC,DF⊥AB,垂足分别是E、F，AD与EF交于G。
（1） AD与EF有什么关系？并证明你的结论。
D
C
B
A
E
（2） 若∠BAC=90°，则四边形AEDF是什么四边形？
（3） 若EF∥BC，则△ABC是什么三角形？
例3：（八上 P150T11）如图，△ABD和△AEC都是等边三角形，求证BE=DC
变式：点B、C、E在同一直线上，点A、D在直线CE的同侧，AB＝AC，EC＝ED，∠BAC＝∠CED，直线AE、BD交于点F。
(1)如图①，若∠BAC＝60°，则∠AFB＝_________；如图②，若∠BAC＝90°，则∠AFB＝_________；
(2)如图③，若∠BAC＝α，则∠AFB＝_________(用含α的式子表示)；
A
A
A
B
B
B
C
C
C
D
D
D
E
E
E
F
F
F
图①
图②
图③

(3)将图③中的△ABC绕点C旋转(点F不与点A、B重合)，得图④或图⑤。在图④中，∠AFB与∠α的数量关系是________________；在图⑤中，∠AFB与∠α的数量关系是________________。请你任选其中一个结论证明。

例4：（八上 P158T12）如图，在△ABC等边三角形的三边上，分别取点D、E、F，使AD=BE=CF。求证△DEF是等边三角形。
变式：可将上面的等边三角形改为正方形或其他的正多边形均可。
例5：（八下 P121T10）[矩形的折叠]如图，是矩形ABCD，AD=3cm，AB=4cm。把矩形沿直线AC折叠，点B落在E处，连接DE。四边形ACED是什么图形？为什么？它的面积是多少？周长呢？
A
B
C
D
F

E

变式：如图，把矩形纸片沿折叠，使点落在边上的点处，点落在点处．
（1）求证：；
（2）设，试猜想之间有何等量关系，并给予证明．
例6：（九上 P95T11）如图，A、P、B、C是⊙O上的四点，∠APC=∠CPB=60°，判断△ABC的形状并证明你的结论。
_
O
_
A
_
C
_
B
_
P
变式；如图已知△ABC是等边三角形，且CP是⊙O的直径。
（1） 试判断PA与PB的大小关系，并证明你的结论。
（2） 若⊙O的半径为1，试求四边形ACBP的面积。
例7、（九上 P104）探究切线长定理
B
P
A
O
H

变式1：（07 十堰）如图，PA是⊙O的切线，切点是A，过点A作AH⊥OP于点H，交⊙O于点B。求证PB是⊙O的切线。
B
D
C
A
O
变式2：如图，PA是⊙O的切线，切点是A，过点A作AH⊥OP于点H，交⊙O于点B。
（1） 试判断PB和⊙O的位置关系，并证明你的结论。
E
B
D
C
A
O

（2） 若⊙O的半径为2，PH=3，求tan∠BPO的值。
（此题变式可与相识三角形、解直角三角形等知识相结合。）

例8、（九上 P94 T4）如图，OA⊥BC，∠AOB=50°，试确定的大小。
变式：如图所示，是⊙O的一条弦，，垂足为，交⊙O于点，点在⊙O上．
A
B
O
T
（1）若，求的度数；
（2）若，，求的长．
例9、（九上 P103T1）如图，是⊙O的直径，∠ABT=45°,AT=AB,求证PB是⊙O的切线。
A
B
O
C
Ⅰ
Ⅱ
变式1：如图，是⊙O的直径，∠BAC=45°,AB=AC.
(1) 求证BC是⊙O的切线。
(2) 设图中Ⅰ、Ⅱ两部分的面积分别为a、b，⊙O的面积为S，请直接写出S与a、b的关系式。
B

A
A
B
O
O
D
D
E
E
C
C
(图①)
(图②)
变式2：（06襄樊）已知：AB是⊙O的直径，点C是⊙O的交点，点E是AC上一点，AB=2。
(1)如图①，点D是BC的中点，当DE也AC满足什么关系时，DE是⊙O的切线？请说明理由；
(2)如图②，AC是⊙O的切线，点E是AC的中点DE∥AB；①求的值；②求阴影部分的面积。

图1
例10、（九上 P111T11）如图，AB、BC、CD分别与⊙O相切于E、F、G，且AB∥CD，BO=6 cm，CO=8 cm，求BC的长。

变式1、如图1，AB、BC、CD分别与⊙O切于E、F、G，且AB∥CD．连接OB、OC，延长CO交⊙O于点M，过点M作MN∥OB交CD于N．
A
B
D
C
E
O
⑴求证：MN是⊙O的切线；
⑵当0B=6cm，OC=8cm时，求⊙O的半径及MN的长．
变式2、如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，⊙O为内切圆，E为切点，
A
BA
CA
EA
FA
GA
DA
HA
KA
（Ⅰ）求的度数；
（Ⅱ）若cm，cm，求OE的长．

例11、（九下 P73T13）如图，△ABC是一块锐角三角形材料，边BC=120cm，高AD=80cm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，求这个正方形零件的边长是多少？
变式：锐角△ABC中，BC=6，S△ABC =12，两动点M，N分别在边AB、AC上滑动，且

MN∥BC，以MN为边向下作正方形MPQN，设其边长为x，正方形MPQN与△ABC公共部分的面积为y（）

（1）△ABC中边BC上高AD= ；
（2）当x= 时，PQ 恰好落在边BC上（如图1）；
C
A
B
（3）当PQ在△ABC外部时（如图2），求y关于x的函数关系式（注名x的取值范围），并求出x为何值时y最大，最大值是多少？
例12、（九下 P92例4）热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为，看这栋高楼底部的俯角为，热气球与高楼的水平距离为120m，这栋高楼有多高？（结果精确到0.1 m）
变式：（08 天津）热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为，看这栋高楼底部的俯角为，热气球与高楼的水平距离为66 m，这栋高楼有多高？（结果精确到0.1 m，参考数据：）
由此可见，对于几何问题只需要改变图形的位置或是穿插全等三角形、相似三角形、解直角三角形以及圆里面的有关知识，有时甚至只改变数据，就能够活灵活现的出现在中考试卷中。
三、 实际应用
例1、（七上 P95T95）探究1：某商店在一时间以每件60元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利25%，另一件亏损25%，卖这两件衣服总的是盈利还是亏损，或是不盈不亏？
变式：某人将甲、已两种股票同时抛出，其中甲种股票卖价1200元，赢利20%，已种股票卖价也是1200元，但亏损20%，此人此次交易是盈利还是亏损，或是不盈不亏？
例2、（七上 P148T9）把一些书分给几个学生，如果每人分3本，那么余8本；如果前面的每个学生分5本，那么最后一人就分不到3本。这些书有多少本？学生有多少人？
变式：（08 襄樊）“六一”儿童节前夕,某消防队官兵了解到汶川地震灾区一帐篷小学的小朋友喜欢奥运福娃,就特意买了一些,送给这个小学的西欧啊朋友做为节日礼物.如果每班分10套,那么欲5套;如果前面的每个班级分13套,那么最后一个班级虽然分有福娃,但不足4套.问:该小学有多少个班级?奥运福娃共有多少套?
例3、（七上 P137）问题：甲、已两商店以同样的价格出售同样的商品，并且有各自推出不同的优惠方案：在甲店累计购买100元商品后，再购买的商品按原价的90%收费；在已店累计购买50元商品后，再购买的商品按原价的95%收费。顾客怎样选择商店购物能获得更大优惠？
变式：甲、已两商店以同样的价格出售同样的商品，并且有各自推出不同的优惠方案：在甲店累计购买100元商品后，再购买的商品按原价的90%收费；在已店累计购买50元商品后，再购买的商品按原价的95%收费。设某种商品的原价为x元，在甲店购买需付甲y甲元，在甲店购买需付甲y已元。
（1） 分别写出y甲、y已与x之间的函数关系式。
（2） 某人购买该种商品原价超过100元，请你帮忙给他选择合理的商店。
例4、（八上 P33例6）[调度问题]A城有肥料200吨，B城有肥料300吨，现要把这些肥料全部运往C、D两乡。从A城往C、D两乡运肥料的费用分别为每吨20元和25元；从B城往C、D两乡运肥料的费用分别为每吨20元和25元，现C乡需要肥料240吨，D乡需要肥料260吨，怎样调运总运费最少？
变式：为支持四川抗震救灾，襄樊市A、B、C三地现在分别有赈灾物资100吨，、100吨、80吨，需要全部运往四川重灾地区的D、E两县。根据灾区的情况，这批赈灾物资运往D县的数量比运往E县的数量的2倍少20吨。
（1）求这批赈灾物资运往D、E两县的数量各是多少？
（2）若要求C地运往D县的赈灾物资为60吨，A地运往D的赈灾物资为x吨（x为整数），B地运往D县的赈灾物资数量小于A地运往D县的赈灾物资数量的2倍。其余的赈灾物资全部运往E县，且B地运往E县的赈灾物资数量不超过25吨。则A、B两地的赈灾物资运往D、E两县的方案有几种？请你写出具体的运送方案；
（3）已知A、B、C三地的赈灾物资运往D、E两县的费用如下表：

A地
B地
C地
运往D县的费用（元/吨）
220
200
200
运往E县的费用（元/吨）
250
220
210
为即使将这批赈灾物资运往D、E两县，某公司主动承担运送这批赈灾物资的总费用，在（2）问的要求下，该公司承担运送这批赈灾物资的总费用最多是多少？
例5、（八下 P68 T11）市镇府计划建设一项水利工程，工程需要运送的的土石方总量为106米3，某运输公司承办了该项工程运送土石方的任务。
（1） 运输公司平均每天的运输量V(单位：米3/天)与完成运送任务所需的时间T(单位：天)之间具有怎样的函数关系？
（2） 这个运输公司共有100辆卡车，每天一共可运送土石方104立方米，则公司完成全部运输任务需要多长时间？
（3） 当公司以问题（2）中的速度工作了40天后，由于工程进度的需要，剩下的所有运输任务必须在50天内完成，公司至少需要在增加多少辆卡车才能按时完成任务？
变式：惊闻5月12日四川汶川发生强烈地震后，唐家山又出现了堰塞湖。经预算治理某处堰塞湖需土石方106立方米，某军区派出1000辆卡车负责送土石方的任务，计划半个月完成这项任务，按计划进度工作了4天后，接到上级通知汛期提前了5天，因而剩下的任务必须在5之内完成任务，问每辆卡车每天至少要比原计划多运多少立方米土？
例6、（九上 P53 T4）某种植物的主干长出若干树木的分支，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出多少个小分支？
变式：经研究发现，每对老鼠每月可产若干对幼鼠。幼鼠2个月后发育成熟，每月又可产相同数目的幼鼠（即1月份的老鼠，3月份便可产幼鼠）。若1对老鼠在理想状态下4个月后变成65对。问每队老鼠每月可产多少对小鼠？

例7、（九上 P53 T10）如图，要设计一幅宽20cm、长30cm的图案，其中有两横两竖的彩条，横竖彩条的宽度比为3：2，如果要使彩条所占面积是图案面积的四分之一，应如何设计彩条的宽度？
变式：如图，要在一块宽20m、长30m的矩形场地上修如图所示的两条小路，如果要使小路所占面积是整个面积的八分之一，试求x的值。
例8、（九上 P59 T11）某村为增加蔬菜的种植面积，一年中修建了一些蔬菜大棚。平均修建每公顷大棚要用的支架、塑料膜等材料的费用为27 000元，此外还要购置喷灌设备，这项费用（元）与大棚的面积（公顷）的平方成正比，比例系数为9 000。每公顷大棚的年平均效益为75 000元，这个村一年中由于修建蔬菜大棚而增加的收益（扣除修建费用后）为60 000元。
（1） 一年中这个村修建了多少公顷蔬菜大棚？
（2） 一年中修建2公顷大棚与修建10/3公顷大棚的效益有什么差别？
（3） 如果修建3公顷大棚收益如何？
（4） 修建大棚的面积越大收益也越大吗？
变式：某村为增加蔬菜的种植面积，一年中修建了一些蔬菜大棚。平均修建每公顷大棚要用的支架、塑料膜等材料的费用为27 000元，此外还要购置喷灌设备，这项费用（元）与大棚的面积x（公顷）的平方成正比，比例系数为9 000。每公顷大棚的年平均效益为75 000元，这个村一年中由于修建蔬菜大棚而增加的收益（扣除修建费用后）为y元。
(1) 写出y与x之间的函数关系式。
(2) 若这个村一年中由于修建蔬菜大棚而增加的收益（扣除修建费用后）为60 000元，则一年中这个村修建了多少公顷蔬菜大棚？
(3) 你认为该村修建多少公顷蔬菜大棚收益最大？最大效益是多少？
例9、（九下 P25探究1）某商品现在的售价为每件60元，已知商品的进价为每件40元，每星期可卖出300件。市场调查反映：如调整价格，每涨1元，每星期少卖10件；每降1元，每星期要多卖20件。如何定价才能使利润最大
变式：某商品的进价为每件30元，现在的售价为每件40元，每星期可卖出150件。市场调查反映：如果每件的售价每涨1元（售价每件不能高于45元），那么每星期少卖10件。设每件涨价元（为非负整数），每星期的销量为件．
⑴求与的函数关系式及自变量的取值范围；
⑵如何定价才能使每星期的利润最大且每星期的销量较大？每星期的最大利润是多少？
对于实际应用问题，往往只需要把课本中的题目添加一个新的背景（主要关注社会热点问题，如：新农村建设、纹川地震、北京奥运等），或是把方程、函数、不等式等知识有机的结合起来，并借助于图表、图象等不同的呈现形式，便可得出一道充满时代气息的中考试题。

四、 压轴题在课本中的闪现
例1、（八下 P133 T14）[动点问题]如图，四边形ABCD是直角梯形，∠B=90°，AB=8cm，AD=24cm，BC=26cm,点P从A出发，以1cm/s的速度向D运动，点Q从C同时出发，以3cm/s的速度向B运动。其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动。从运动开始，经过多少时间, 四边形PQCD成为平行四边形？成为等腰梯形？

变式：如图，四边形ABCD是直角梯形，∠B=90°，AB=4cm，AD=6cm，BC=8cm,点P从A出发，以1cm/s的速度向D运动，点Q从C同时出发，以2cm/s的速度向B运动。其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动。将直角梯形ABCD放在如图所示的平面直角坐标系中。
（1） 求过A、C、D三点的抛物线的解析式。
（2） 在运动过程中四边形PQCD能成为平行四边形吗？若能请求出此时直线PQ的解析式。
（3） 在运动过程中，线PQ能把直角梯形ABCD的面积平分吗？若能请求出运动时间t，若不能请说明理由。
例2、（八下 P126活动1） 折纸做60°、30°、15°的角[矩形的折叠]
变式1：已知如图，矩形OABC的长OA=，宽OC=1，将△AOC沿AC翻折得△APC。

（1）填空：∠PCB=____度，P点坐标为（ ， ）；
（2）若P，A两点在抛物线y=－x2+bx+c上，求b，c的值，并说明点C在此抛物线上；
（3）在（2）中的抛物线CP段（不包括C，P点）上，是否存在一点M，使得四边形MCAP的面积最大？若存在，求出这个最大值及此时M点的坐标；若不存在，请说明理由。
变式2：（08绍兴）将一矩形纸片放在平面直角坐标系中，，，．动点从点出发以每秒1个单位长的速度沿向终点运动，运动秒时，动点从点出发以相等的速度沿向终点运动．当其中一点到达终点时，另一点也停止运动．设点的运动时间为（秒）．
（1）用含的代数式表示；
（2）当时，如图1，将沿翻折，点恰好落在边上的点处，求点的坐标；

（3）连结，将沿翻折，得到，如图2．问：与能否平行？与能否垂直？若能，求出相应的值；若不能，说明理由．

例3、（八下 P122）观察与猜想《平面直角坐标系中的特殊四边形》，很多中考压轴题都是已这些基本的图形进行变式的。

1、（08福州）如图，以矩形OABC的顶点O为原点，OA所在的直线为x轴，OC所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．已知OA＝3，OC＝2，点E是AB的中点，在OA上取一点D，将△BDA沿BD翻折，使点A落在BC边上的点F处．
（1）直接写出点E、F的坐标；
（2）设顶点为F的抛物线交y轴正半轴于点P，且以点E、F、P为顶点的三角形是等腰三角形，求该抛物线的解析式；

（3）在x轴、y轴上是否分别存在点M、N，使得四边形MNFE的周长最小？如果存在，求出周长的最小值；如果不存在，请说明理由．

2、（08宜昌）如图1，已知四边形OABC中的三个顶点坐标为O（0，0），A（0，n），C（m，0），动点P从点O出发一次沿线段OA，AB，BC向点C移动，设移动路程为x，△OPC的面积S随着x的变化而变化的图像如图2所示，m，n是常数，m>1，n>0.
（1）请你确定n的值和点B的坐标；
（2）当动点P是经过点O、C的抛物线y=ax2＋bx＋c的顶点，且在双曲线y=上时，求这时四边形OABC的面积.

3、 如图，已知抛物线y=ax2+4ax+t（a>0）交x轴于A、B两点，交y轴于点C，抛物线的对称轴交x轴于点E，点B的坐标为（-1，0）．
（1）求抛物线的对称轴及点A的坐标；
（2）过点C作x轴的平行线交抛物线的对称轴于点P，你能判断四边形ABCP是什么四边形？并证明你的结论；
（3）连结CA与抛物线的对称轴交于点D，当∠APD=∠ACP时，求抛物线的解析式．

例4、（九上 P132 T14）如图，⊙O的直径AB=12cm，AM和BN的两条切线，DE切⊙O于E,交AM于D,交BN于C,设AD=x,BC=y,求y与x的函数关系式，画出它的图象。
变式：如图，点A在y轴上， OA=12cm,AM与以OA为直径的⊙B相切于点A，点C从原点出发以2cm/s的速度沿x的正半轴运动，同时点D以1cm/s的速度在直线AM上由点出A发向右运动，运动时间为t.

（1） 问t为何值时CD与⊙B相切？
（2） 在（1）的条件下求过点A、C、D的抛物线的解析式。
（3） 在（1）（2）的条件下，在（2）中的抛物线上是否存在一点P，过P作PQ⊥x轴于点Q，以O、P、Q为顶点的三角形是否能与以A、O、D的三角形相似？若能求出P点的坐标，若不能说明理由。
此类问题有一个基本的图形后，可把相似三角形、全等三角形、解直角三角形、函数、圆等有关知识有机结合，有时搀杂对称、折叠、旋转等图形变换便可成题。
在信息发达的时代，各种资料铺天盖地的今天，千万不要被冲花了眼，在中考总复习中，千万别忘了作为根本的教材。