初三数学图形的认识、图形与证明（四）北师大版知识精讲.doc

初三数学图形的认识、图形与证明（四）北师大版
【本讲教育信息】
一. 教学内容：
图形的认识、图形与证明（四）
解直角三角形

二. 教学目标：
通过对解直角三角形基础知识的复习，解决中考中常见的问题

三. 教学重点、难点：
熟练地解决与解直角三角形相关的问题

四. 课堂教学：
中考导航

中考课程标准要求

【典型例题】
例1. 如图1所示是某立式家具（角书橱）的横断面，请你设计一个方案（角书橱高2米，房间高2.6米，所以不必从高度方面考虑方案的设计），按此方案，可使该家具通过图2中的长廊搬入房间，在图2中把你设计的方案画成草图，并说明按此方案可把家具搬入房间的理由。（注：搬运过程中不准拆卸家具，不准损坏墙壁）

解：设计方案草图（如图所示）：
说明：如图所示，作直线AB，延长DC交AB于E，由题意可知，△ACE是等腰直角三角形，∴CE=0.5，DE=DC+CE=2。

作DH⊥AB于H，则DH=DE·sin∠HED

∴可按方案设计图将家具搬入房间。

例2. 如图所示，在小山的东侧A庄，有一热气球，由于受西风的影响，以每分钟35米的速度沿着与水平方向成75°角的方向飞行，40分钟时到达C处，此时气球上的人发现气球与山顶P点及小山西侧的B庄在一条直线上，同时测得B庄的俯角为30°，又在A庄测得山顶P的仰角为45°，求A庄与B庄的距离及山高（保留准确值）。

解：过点A作

在Rt△ABD中，∠B=30°
∴AB=2AD=1400米
又过点P作PE⊥AB，垂足为E
则

答：A庄与B庄的距离是米，山高是米。

例3. 如图所示，小明面对黑板坐在凳子上，若把黑板看作矩形，其上的一个字看作点E，过点E的该矩形的高为BC，把小明的眼睛看作点A。推测得：BC=ABsin∠BAC，视线AC要与水平线平行，测得AB与AC的夹角为25°，视线AE与AC的夹角为20°。
求AC和AE的长（精确到0.1m）
（参考数据：，，）

解：（1）在
（2）在Rt△ACE中，

例4. 如图所示，在观测点E测得小山上铁塔顶A的仰角为60°，铁塔底部B的仰角为45°，已知塔高AB=20m，观测点E到地面的距离EF=35m，求小山BD的高。（精确到）

解：如图所示，过点E作EG⊥AD于点G。

由已知，得∠AEG=60°，∠BEG=45°
在Rt△BEG中，BG=EG
在Rt△AEG中

答：小山BD的高约为62.3m。

例5. 某校教学楼后面紧邻着一个土坡，坡上面是一块平地，如图所示，BC//AD，斜坡AB长22m，坡角∠BAD=68°，为了防止山体滑坡，保障安全，学校决定对该土坡进行改造。经地质人员勘测，当坡角不超过50°时，可确保山体不滑坡。
（1）求改造前坡顶与地面的距离BE的长（精确到0.1m）；
（2）为确保安全，学校计划改造时保持坡脚A不动，坡顶B沿BC削进到F点处，问BF至少是多少米（精确到0.1m）？

（参考数据：sin68°=0.9272，cos68°=0.3746，tan68°=2.4751，sin50°=0.7660，cos50°=0.6428，tan50°=1.1918）
解：（1）作BE⊥AD，E为垂足
则BE=AB·sin68°=22sin68°=20.40≈20.4（m）
（2）作

即BF至少是8.9m

【模拟试题】（答题时间：40分钟）
一. 选择题
1. 如图所示，△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，D是AC中点，则cot∠DBC=（ ）
A. B. C. D.

2. 如图所示，在△ABC中，D、E分别是边AC、BC上的点，若△ADB≌△EDB≌△EDC，则∠C的度数为（ ）
A. 15° B. 20° C. 25° D. 30°

3. 如果等腰三角形的底角为30°，腰长为6cm，那么这个三角形的面积为（ ）
A. B.
C. D.
4. 如图所示，已知正方形ABCD的边长为2，如果将线段BD绕着点B旋转后，点D落在CB的延长线上的D’处，那么tan∠BAD’=（ ）
A. 1 B.
C. D.

二. 填空题
1. 如图所示是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图，根据图中标出的尺寸（单位：mm）计算两圆孔中心A和B的距离为_____________。

2. 一个三角形的三边长均满足方程，则此三角形的周长为：_________。
3. 如图所示，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD是∠BAC的平分线，已知AB=，那么AD=_____________。

4. 如图所示，为了测量河对岸的旗杆AB的高度，在点C处测得旗杆顶端A的仰角为30°，沿CB方向前进5米到达D处，在D处测得旗杆顶端A的仰角为45°，则旗杆AB的高度是_____________米。

5. 如图所示，两建筑物AB和CD的水平距离为30米，从A点测得D点的俯角为30°，测得C点的俯角为60°，则建筑物CD的高为_____________米。

三. 解答题
1. 广场上有一个充满氢气的气球P，被广告条拽着悬在空中，甲乙二人分别站在E、F处，他们看气球的仰角分别是30°、45°，E点与F点的高度差AB为1m，水平距离CD为5m，FD的高度为0.5m，请问此气球有多高？（结果保留到0.1m）

2. 一条东西走向的高速公路上有两个加油站A、B，在A的北偏东45°方向还有一个加油站C，C到高速公路的最短距离是30km，B、C间的距离是60km。想要经过C修一条笔直的公路与高速公路相交，使两路交叉口P到B、C的距离相等，请求出交叉口P与加油站A的距离。（结果可保留根号）
3. 武当山风景管理区，为提高游客到某景点的安全性，决定将到达该景点的步行台阶进行改善，把倾角由44°减至32°，已知原台阶AB的长为5m（BC所在地面为水平面）。
（1）改善后的台阶会加长多少？（精确到0.01m）
（2）改善后的台阶多占多长一段地面？（精确到0.01m）

（参考数据：，，）
4. 如图所示，“五一”期间在某商贸大厦上从点A到点B悬挂了一条宣传条幅，小明和小雯的家正好住在商贸大厦对面的家属楼上。小明在四楼D点测得条幅端点A的仰角为30°，测得条幅端点B的俯角为45°；小雯在三楼C点测得条幅端点A的仰角为45°，测得条幅端点B的俯角为30°。若设楼层高度CD为3m，请你根据小明和小雯测得的数据求出条幅AB的长。（结果精确到个位，参考数据）

5. 邵阳市某大型超市为方便顾客购物，准备在一至二楼之间安装电梯，如图所示，楼顶与地面平行，要使身高2m以下的人在笔直站立的情况下搭乘电梯时，在B处不碰到头部，请你帮该超市设计，电梯与一楼地面的夹角α最小为多少度？

试题答案
一. 选择题
1. B 2. D 3. B 4. B

二. 填空题
1. 100mm 2. 9，10，11，12
3. 4 4.
5. 20

三. 解答题
1. 解：设AP=hm

∴气球的高度为PA+AB+FD=8.2+1+0.5=9.7米
2. 解：分两种情况：
（1）如图1所示，在Rt△BDC中，∠B=30°
在Rt△CDP中，∠CPD=60°

在Rt△ADC中，AD=DC=30
AP=AD+DP=

图1
（2）如图2所示
同（1）可求得
故交叉口P与加油站A的距离为

图2
3. 解：（1）如图所示，在Rt△ABC中

即改善后的台阶会加长1.55m。

（2）如图所示，在Rt△ABC中，

即改善后的台阶多占1.96米长的一段地面。
4. 解：过D作DM⊥AB于M，过C作CN⊥AB于N
则：
设，则
由题意：
在Rt△ADM中，DM=AM·cot30°=
在Rt△ANC中，

解之得，

5. 解：连结BC，过点B作BE⊥AD于E，BE交AC于点F。
在

答：（略）

用心 爱心 专心