成都市城乡居民消费差异的数学模型研究2.doc

2010年西南交通大学数学建模竞赛参赛论文论文题目：成都市城乡居民消费差异的数学模型研究2010年5月成都市城乡居民消费差异的数学模型研究摘 要本文主要运用统计回归模型，主成分分析法，时间序列预测模型等，建立了消费行为的数学模型，分析了成都市城乡居民消费差异的变化，并找出了影响消费差异的主要因素，然后对未来三年的消费结构比例变动作出了合理的预测，最后对缩小消费差异提出了合理化建议。第一问本文将消费行为刻画为函数映射关系。首先，在古典经济学中的凯恩斯消费函数的基础上，建立了人均收入与人均消费总额的一元线性回归模型，得到凯恩斯消费函数，各项统计检验指标均较为满意。然后，考虑到当期消费水平受前一期消费水平，物价指数等多因素的影响，于是，增加前一期消费水平，物价指数两个变量，建立修正凯恩斯消费函数模型，并对消费水平进行多元线性回归。求解结果表明改进后模型的各项统计检验指标均比原模型更优。第二问结合主成分分析法和多元回归模型研究城乡消费差异。首先，定义消费差异中的两类差异指标：水平差异和结构差异的指标，得出历年消费差异的指标值。然后，通过主成分分析法，将各个影响因素综合成两个主成分，并对主成分和差异指标值作多元线性回归，得到各因素与差异指标值的主成分回归模型。最后，根据模型中各因素的标准化回归系数的绝对值，作为因素对差异指标的影响大小，对影响因素作出排序，进而得出结论：拉大差异的主要因素为城乡生产总值差距，缩小差异的主要因素为财政支出。第三问中，利用上一问的模型分别对消费水平和消费结构的差异做了定量的统计分析，分析表明近几年城乡消费水平的差异仍在进一步扩大，而消费结构的差异出现一定的波动性，值得注意的是，自2004年以来，结构上的差距在逐年缩小。第四问本文采用时间序列模型对各类消费品的消费额比例作出预测。本文先以农村交通和通讯消费类为例，由散点图分析出该类消费额比例总体呈线性上升趋势。接着，根据序列趋势，建立时间序列模型，并用趋势移动平均法求解未来序列的预测模型，给出2008-2010年的农村交通类消费的比例预测值，分别为15.1%，16.3%和17.4%。后参照此模型，给出城市消费结构比例的预测，食品类消费比例小幅下降，居住类和家庭设备用品及服务类的消费比例有一定上升。城乡消费结构均有一定改善。本文主要运用MATLAB，SPSS等软件，对各模型进行求解。模型的特点是结合多种模型，多角度，有层次的建立一般模型和改进模型，在短时期内，本模型具备很好的实用性与推广性。最后，本文还总结了模型的不足与不合理处，并提出了改进建议。关键词：改进凯恩斯消费函数 多元回归模型 主成分回归法 时间序列预测模型1 问题重述2007年国家正式批准成都市设立全国统筹城乡综合配套改革试验区。“城乡统筹”就是以城带乡，逐步缩小城乡差距，使城市和农村协调发展，构建社会主义和谐社会，实现全面小康社会。但是目前成都市城乡二元结构的存在、城乡居民收入的不均衡现象都极大影响了成都市经济的一体化发展，这对进行城乡统筹的综合配套改革都有着极大的负面影响作用。请有选择的使用近年来成都市有关的统计数据（参见附件数据及参考网站），就当前成都市城乡居民消费差异回答如下问题：1、对有关数据进行分析，建立反映成都市城乡居民消费行为的数学模型。2、建立数学模型寻找影响成都市城乡居民消费差异的主要因素或指标。3、利用数学模型分析在近几年的时间内成都市城乡居民消费差异是扩大、缩小还是维持不变？4、消费结构是在一定的社会经济条件下，人们在消费过程中所消费的各种不同类型的消费资料(包括劳务)的比例关系。请从消费结构的角度出发，建立有关成都市城乡居民消费结构变动的数学模型，并根据此模型预测仿真未来三年时间内成都市城乡居民消费结构的变动情况。5、根据所建立的数学模型和结果，对缩小成都市城乡居民消费差距提出你们的合理化建议。2 问题分析第一问，消费行为主要包括消费者的消费水平和消费结构，以及使消费行为产生或变动的原因和影响因素。消费行为可以看作是消费动机（或各类影响因素）到消费水平和消费结构的映射。据此建立消费函数模型并进行统计回归。第二问，城市居民与农村居民的消费差异主要体现在消费水平和消费结构两个方面。一般而言，消费差异与收入差异、地区经济发展水平差异等多种因素都有一定的关联性。现通过主成分分析找出主要因素，并对主要因素进行回归，用标准回归系数的绝对值来比较各因素的对消费差异的影响程度，从而寻找到影响消费差异的主要因素，再进一步分析各个因素的实际作用机制。第三问，根据问题一和问题二的分析，在影响城乡消费水平的各因素中，城乡产值差异、固定资产收益和可支配收入的差距为最显著的影响因素；消费结构的差异也受这五个因素的影响。现结合已建立的统计回归模型，分别对城乡居民的消费水平和消费结构的差异进行分析。第四问，认为消费结构是在一定的社会经济条件下，人们在消费过程中所消费的各种不同类型的消费资料(包括劳务)的比例关系，各种类型消费的比例是按时间顺序排列的、随时间变化且相互关联的数据序列，据此建立消费结构（各类消费在总消费支出中的比例）随时间变动的模型，并作出未来三年消费结构变动的预测仿真。3 模型假设1.消费行为主要受当期可支配收入、物价等因素共同作用，不考虑消费者的特定偏好和社会变动对消费行为的影响。2.消费品的物价指数能代表每一个消费者所消费商品的物价变动。3.城乡居民消费差异主要由可支配收入的差距、城乡生产总值的差异、当期物价、固定投资收益等因素影响。4.成都市统计局的相关统计数据均真实有效。4 符号说明当期消费总额 当期可支配收入前一期消费总额 当期消费品价格自发性消费总额 边际消费倾向5 问题一5.0 问题分析消费行为主要包括消费者的消费水平和消费结构，以及使消费行为产生或变动的原因和影响因素。如图，消费行为可以看作是消费动机（或各类影响因素）到消费水平和消费结构的映射。当期可支配收入；当期物价水平消费水平；消费结构；消费动机消费结果图5.1 消费行为示意图为了反映成都市城乡居民的消费行为，本节的论述主要分为三个部分：1根据1999-2007年的统计数据，从消费水平和消费结构两个角度全面反应成都市城乡居民的消费情况。2建立消费函数并对历年相关数据做统计回归，分析使成都市城乡居民的消费水平产生或变动的相关因素。3在消费函数的基础上，分析影响消费结构产生或变动的原因。5.1数据分析消费行为的变化主要体现为消费水平和消费结构的变化，利用图表可以清晰地反映1999-2007年成都市城乡居民的消费变动情况。（数据来源：成都市统计局）5.1.1 消费水平（1）城乡居民消费支出总量的变化消费支出总量是反应消费水平的重要指标之一。除去通货膨胀的影响，消费支出总量越高说明消费者的消费水平越高，越能够满足消费者的需求，是生活水平提高的表现。在表1统计数据中，城乡居民的消费支出是指其用于物质生活和精神生活方面的实际支出，不包括储蓄、固定资产投资等生产经营方面的支出。图5.2 1999-2007年成都市城乡居民消费支出总量（元）由图表可知，近几年伴随着成都市经济的发展，城乡居民的消费支出总量均有增长。其中，在2003-2007年之间，城镇居民的消费支出的平均增幅达11.55%，高于农村在同一时期的的消费支出平均增长率9.54%。（2）城乡居民平均消费倾向的变化平均消费倾向的变化，即消费支出占可支配收入比重变化。除去物价变动的影响，平均消费倾向的变化，从一定程度上可以反映出消费者在消费观念上的变动情况。平均消费倾向越高，说明消费者愿意将更多的可支配收入投入于消费，代表着消费水平的上升；反之，则说明消费者更多地将收入用于积累（储蓄、投资等），消费水平相对下降。其中，根据在表2的统计数据，城市居民家庭可支配收入是家庭总收入和扣除缴纳的所得税、个人缴纳的社会保障费以及记账补贴后的收入；农村居民可支配收入是指农村居民获得的经过初次分配与再分配后的收入，可用于农村居民的最终消费、非义务性支出以及储蓄。 图5.3 1999-2007年成都市城乡居民的平均消费倾向（%）由图5.2可知，1999-2007年成都市城乡居民的平均消费倾向比较稳定，城市居民的平均消费倾向为81.10%，农村居民为72.67%。2005年以来，城市平均消费倾向下降，农村上升，说明农村的消费意愿、消费水平有所上升，但城市平均消费倾向仍高于农村。5.1.2 消费结构在一定的社会经济条件下，消费结构式消费不同类型的消费资料的比例关系。城乡居民的消费类型主要包括食品、衣着、家庭设备用品及服务、医疗保健、交通和通讯、娱乐教育文化服务、居住、杂项商品和服务八大类。（1）07年城乡居民消费结构 2007年农村居民消费结构 2007年城市居民消费结构图5.4 2007年成都市城乡居民消费结构从图中分析，城乡居民消费结构中，食品消费所占比重最大，分别为39%和46%。食品支出在总消费支出的比重，即为恩格尔系数。国际上常常用恩格尔系数来衡量一个国家和地区人民生活水平的状况。根据联合国粮农组织提出的标准，恩格尔系数在59%以上为贫困，50-59%为温饱，40-50%为小康，30-40%为富裕，低于30%为最富裕。说明我市居民整体生活消费水平已步入小康阶段。除食品消费外，成都市城市居民消费结构中，比重排名前三的消费类型为交通和通讯、娱乐文教服务和衣着；农村为交通和通讯、居住、衣着。由此体现出了城市和农村居民在不同消费方向上的倾向。 (2) 1999-2007年消费结构变化以农村居民消费情况为例，伴随着经济的增长，消费结构出现了明显的变化。 1999年 2007年 图5.5 1999年与2007年成都市农村居民消费结构对比由图可知，相对于1999年，2007年成都市农村居民的食品消费占总支出的比重下降了8%，在交通和通讯方面的支出增加了10%，衣着类的支出也上升了2%。整体看来，居民消费结构有了一定的改善，生活水平逐渐步入小康。（3）各消费类型的变动情况随着经济的发展、收入的增长，不同消费类型占消费支出中的比重和各消费类型的消费支出总量都呈现不同的变化。以城市文教服务类的消费支出为例，此类消费支出比重比较稳定，介于0.12-0.14之间，而支出总量逐年攀升且03年以后增幅较大。 图5.6 成都市城市居民文教服务类支出总量（元）和比重的变化以交通和通讯类消费为例，消费比重和总量在06年以前几乎同比例上升，但在2005年以后，此类消费总量和比重均有一定的下降。图5.7 成都市城市居民文教服务类支出总量（元）和比重的变化以上两例说明，消费支出所占比重和消费支出的总量，在不同类型的消费支出中呈现不同的变化。5.2模型建立：消费水平函数上节利用统计数据，反映了成都市城乡居民的消费行为在消费水平和消费结构方面的情况。本节将主要通过建立消费函数，并根据1998-2007年的消费相关数据进行统计回归，分析使成都市城乡居民的消费行为产生或变动的相关因素。5.2.1 凯恩斯消费函数凯恩斯认为，消费是由收入唯一决定的，消费与收入之间存在着稳定的函数关系。消费主要由两部分构成，一部分是自发性消费，即消费者维持生存的基本消费；另一部分是引致性消费，即消费者在满足自身的生存基础上，随着当期收入的增长而增加的消费额，这一部分的消费由当期收入和边际消费倾向共同决定。边际消费倾向表示每增加一单位收入而增加的消费，于是有 ， 根据这一理论假设，可以建立如下消费函数模型： （1）其中表示当期人均消费总额，表示当期可支配收入，为大致服从均值为0的正态分布的随机误差项。 5.2.2 修正凯恩斯消费函数凯恩斯建立的消费函数模型假设人均消费总额是由当期收入决定的。根据经济学家杜森贝利的观点，消费存在消费惯性，同时物价的涨落也与消费水平相关，即前一期消费总额和当期物价均对当期消费总额有一定的作用。因而在凯恩斯消费函数模型的基础上，引入这两个变量，以描述其对当期消费的影响。此修正后的凯恩斯函数，既可以较好地体现消费函数在时间上的关联性，又可以表现出本期物价的变动对当期消费水平的影响，是对现实情况的合理刻画。（2）其中当期物价，使用几乎涵盖所有消费方向的八类消费品的价格指数代替，并以1998年的价格指数为100，进行指数化处理。均为待估计参数；为大致服从均值为0的正态分布的随机误差项。5.3消费水平函数的模型求解现以城市人均消费为例，分别对凯恩斯消费函数（1）和修正凯恩斯消费函数（2），采用统计回归方法，分别求解两个消费函数模型中的参数及各相关统计指标。5.3.1 算法流程Step 1 绘制当期可支配收入与当期消费总额的散点图。通过观察发现，当期可支配收入与当期消费消费水平基本线性正相关。图5.8 城市居民当期可支配收入与当期消费水平（元） Step2 利用MATLAB统计工具箱中的Regress命令，对凯恩斯消费函数（1）采用一元线性回归方法求解，以及检验统计指标并得到参数估计值，最终可得凯恩斯消费函数： （3）Step3 对修正凯恩斯消费函数（2）采用多元线性回归方法求解，得到检验统计指标并得到参数估计值，（4）5.3.2 结果分析通过对比参数估计后的凯恩斯消费函数（3）和修正凯恩斯消费函数（4）的检验统计指标凯恩斯消费函数0.9573156.7662修正后的凯恩斯函数0.976769.8584表5.1 两种消费函数检验统计指标对比我们可以发现，修正后的凯恩斯消费函数有较好的拟合度，能够更好地刻画当期收入、前一期消费总额和当期物价对当期消费的综合影响；另一方面也说明了这三种因素是决定总消费水平的主要因素。5.4 模型建立：消费结构函数根据4.3和4.4的分析，当期消费水平主要是由当期收入、前一期消费总额和当期物价共同决定的，并可知利用修正后的凯恩斯消费函数（4）能够较好地刻画三个变量与消费水平之间的相互关联性。消费结构是在一定的社会经济条件下，人们在消费过程中所消费的各种不同类型的消费资料(包括劳务)的比例关系。现在，把每一消费类型的消费总额，分别看作是消费总额中相互独立的各个分量，则可利用修正后的凯恩斯消费函数刻画函数中的三个因素，对每一消费类型的影响，并通过检验指标可知各因变量与各因素之间的相关程度。另外，根据统计文献对消费者消费类型的划分，成都市城乡居民的消费类型主要分为食品、衣着、家庭设备用品及服务、医疗保健、交通和通讯、娱乐教育文化服务、居住、杂项商品和服务八大类。于是，参照消费水平的函数模型，建立对每一消费类型修正后的凯恩斯消费函数模型：（5）其中代表第类消费品当期的人均消费总额；代表第类消费品前一期的人均消费总额；代表当期人均收入；代表第类消费品当期的价格指数；为第类消费品消费函数的待估参数。5.5 消费结构函数的模型求解接下来，我们就以城市居民消费结构为例，分别求解并分析八大类消费类型与当期收入、前一期消费总额和当期物价之间的关系。5.5.1 算法流程 Step1 数据处理。以1998年的价格指数为100，对1999-2007年历年各类消费品的价格、前一期消费总额进行指数化处理。当期可支配收入沿用统计数据。 Step2 利用MATLAB统计工具箱中的Regress命令求解，对修正后的凯恩斯消费函数采用多元回归方法求解参数，并得到相应的统计检验值。以食品为例，可分别得出相关系数值，和相关统计检验指标最终可得到食品消费类型的函数，即食品与当期收入、前一期食品消费总额和当期物价之间的关系：以此类推，可以得到其他七种消费类型的消费函数和相应的检验指标。5.5.2 结果分析如上分析，食品、衣着等八大类均与当期收入、前一期各类消费总额和当期物价之间有一定关联度。其中，函数拟合度值可作为因变量（各类消费品总额）与三个因素之间的关联程度的指标，并可将这种关联程度粗糙地划为三大类：若，则划为强关联，划为一般关联，则是弱关联。根据如上划分，l 强关联（三类）：食品、娱乐文教服务、衣着食品、娱乐文教服务和衣着的分别为、。这三类消费是城市居民生活消费中比较重要的部分，也是居民投入消费的方向。这种强关联，可以看做是伴随着收入的上升，在前期消费和物价较稳定的情况下，此三类消费的比重有相应的、较稳定的增长。l 一般关联（四类）：医疗保健、交通通讯、居住、家庭设备用品及服务医疗保健、交通通讯、居住、家庭设备用品及服务的分别为、。此四类消费仍与当期收入、前期消费额等三个因素有一定关联，但关联程度不如强关联中的消费类型。这种四种消费类型，可以看作是消费者在优先满足食品等强关联的三类消费之后，剩余的消费的支出方向。l 弱关联（一类）：杂项商品和服务杂项商品和服务的为。这一类型的商品消费量波动较大，说明这一类型消费与当期收入、前一期消费额和当期物价没有较大的关联。可以认为，大多数消费者在优先满足前两类消费之后，才在会在消费这一类型。综上所述，从消费水平来看，1999-2007年成都市城乡居民的消费水平均有一定提高，城市高于农村的消费水平，城市居民消费增幅高于农村居民消费增幅。同时，城市的也略高于农村的平均消费倾向，说明城市居民更愿意消费，但近几年平均消费倾向逐渐趋同，说明消费倾向和观念的转变。从消费结构来看，城市居民食品消费占总消费的39%，农村占46%，分别进入联合国粮农组织划分的富裕阶段和小康阶段，城乡消费结构也呈现不同，各消费类型的消费总量和占消费的比例也有不同的变化。从消费影响消费的因素分析，当期的可支配收入、前一期的消费总量和当期物价是影响当期消费水平的主要因素。在消费结构当中，食品、文教和衣着是受此三个因素影响最大的消费类型，同时也是与城市居民最密切相关的消费方向，统计回归分析与之前的数据分析基本一致。6 问题二6.0 问题分析 城市居民与农村居民的消费差异主要体现在消费水平和消费结构两个方面。一般而言，消费差异与收入差异、地区经济发展水平差异等多种因素都有一定的关联性。现通过主成分分析找出主要因素，并对主要因素进行回归，用标准回归系数的绝对值来比较各因素的对消费差异的影响程度，从而寻找到影响消费差异的主要因素，再进一步分析各个因素的实际作用机制。6.1 模型建立：消费水平差异模型6.1.1 城市与农村居民消费水平指标的建立两个地区消费水平的差异主要体现为人均消费总额的差异，即城市居民消费总额与农村居民人均消费总额之差的绝对值。于是有（6）其中表示时期城市的人均消费总额，表示时期农村在的人均消费总额，表示时期城市与农村人均消费总额的绝对差额。易知，绝对差额的值越大，表明城乡消费水平的差距越大。6.1.2 确定影响消费水平差异的相关因素（1）城乡居民的可支配收入差距（元）根据常理推断，有收入才有消费，结合第5节的分析，可支配收入是决定消费的重要因素之一，推理可知，城乡居民可支配收入的差距应该是决定消费差异的原因之一。（2）当期消费品物价根据古典经济学的推断，消费总量是由供给和需求决定的，并受到消费品价格的影响。在此假定每一个消费者的消费品构成，与形成总物价指数所涵盖的消费品类别和比重相同，即CPI可代表消费的总价格。数据采用以1998年物价指数为100的历年消费价格指数。（3）新增固定资产收益（万元）现以新增固定资产投资收益代表平均投资收益。投资收益在一定程度上代表了消费者财产性收入，收入的增加在一定程度上会使得消费有所增长，进而从宏观方面影响城乡居民消费水平。（4）城乡生产总值差异（亿元）一个地区的生产总值在一定程度上决定了当地居民的消费能力、消费范围和消费总量，尤其是在交通物流仍不甚发达的地区，当地的生产总量几乎就决定了当地的消费。现实中，城市生产总值主要由第二、第三产业为主，即工业、制造业和各类服务业等产值构成；农村主要以第一产业为主，即农业及小型农产品加工业。因此，在数据处理上，成都市城乡生产总值的差异主要体现并简化为成都市第二、三产业总值之和与第一产业产值之差。（5）财政支出（亿元）财政支出的方向除了基础设施建设之外，主要用于教育事业费用、社会保险、救济金等公益性、补助性支出。这部分资金在一定程度上增加了低收入群体的可支配收入，提高了此人群的消费水平。同时，根据统计数据分析，低收入群体主要集中在农村地区，因此推知，财政支出可以影响到城乡消费水平的差异。6.2 模型求解6.2.1 利用主成分分析法找出主要因素主成分分析法的主要目的是希望用较少的变量去解释原来资料中的大部分变异，将我们手中许多相关性很高的变量转化成彼此相互独立或不相关的变量。通常是选出比原始变量个数少，能解释大部分资料中的变异的几个新变量，即所谓主成分，并用以解释资料的综合性指标。由此可见，主成分分析实际上是一种降维方法。主成分回归相较于一般的线性回归具有更小的均方误差，因而更稳定。Step1 根据1999-2007年的数据给出各因素组成的离散矩阵。代表第种因素在第年的实际数额或指数。例如，代表1999年第一种因素城乡居民可支配收入差额，代表2000年第三种因素新增固定资产收益。Step2 将离散矩阵进行标准化，得到标准化矩阵。代表第种因素在第年的实际数额或指数，由于一共有可支配收入差异、物价指数等5种因素，一共有1999-2007年9年的统计数据，因而现在对进行如下标准化：其中据此可得到标准化矩阵Step3 求解各因素的相关系数矩阵利用MATLAB软件，将标准标准化矩阵带入，求得各因素的相关系数矩阵（协方差矩阵）。Step4 求解相关系数矩阵的特征值，选出主要影响因素。利用MATLAB软件中的eig()函数求出相关系数矩阵的特征值：前两个特征值之和所占比例（累计贡献率）达到98.034%，因此选取前两个特征值对应的两个标准正交特征向量，分别为：两特征向量对应的主成分为Step 5 利用MATLAB多元性回归求解二元线性方程，并转化为五个相关因素的主成分回归方程。首先求得以主成分，为变量的回归方程：以及相关统计检验参数：，可知原方程系数通过显著性检验。再将转化为，的主成分回归方程： 其中，为五个相关因素标准化后的数据。Step6 对各因素的标准化回归系数绝对值进行排序，排序的结果即为各因素对消费水平差异的影响程度的大小排序。由主成分回归方程，可知城乡居民可支配收入差距、物价水平等5个因素因素对消费水平的影响大小：，其中（财政支出）为负值。6.2.2 结果分析通过主成分分析、主成分的回归方程以及对主成分中各因素标准化回归系数的排序可知，城乡居民消费水平差距的相关因素，按照其影响的大小排序分别为：城乡生产总值的差异、新增固定资产收益、城乡居民的可支配收入差异、财政支出和当期消费品物价，其中前三者的影响程度大小比较接近。结果说明，在影响城乡消费水平的各因素中，城乡产值差异、固定资产收益和可支配收入的差距为最显著的影响因素。财政支出的标准回归系数为负值，说明财政支出在教育事业、社会保险方面的支出，在一定程度上减少了城乡居民的消费水平差距，起到了维护社会公平的作用。6.3 模型建立：消费结构差异模型6.3.1 城乡消费结构的差异指标的建立根据统计数据分析，共有食品、衣着等八种消费类型构成城乡居民的消费。现构造结构相似性指标，刻画城市与农村在八类消费类型上的结构差异。，分别表示时期城市和农村居民在第类消费品人均消费额占总人均消费额的比例，则有指标反映城乡居民以八类消费类型构成的总消费在结构上的相似程度。可以看出，的取值范围为，且越接近于1，消费结构越相似。据此可构造结构差异系数，值越接近于1，则表明城乡消费结构差异越明显。6.3.2确定影响消费结构差异的相关因素 在此假定影响消费结构的相关因素，与影响消费水平的因素一致，主要有如下5个相关因素，原因分析和数据处理如6.1.2。（1）城乡居民的可支配收入差距（元）（2）当期消费品物价（3）新增固定资产收益（万元）（4）城乡生产总值差异（亿元）（5）财政支出（亿元）6.4 模型求解6.4.1利用主成分分析法找出主要因素 Step1 选取6.2.1中Step4得到的主成分，Step2 利用MATLAB多元性回归求解二元线性方程，并转化为五个相关因素的主成分回归方程。其中，为五个相关因素标准化后的数据。相关显著性检验参数为Step3对各因素的标准化回归系数绝对值进行排序，排序的结果即为各因素对消费水平差异的影响程度的大小排序。排序结果为：，其中的标准化回归系数为负值。6.4.2 结果分析根据上面的排序结果，财政支出是影响消费结构的最重要因素，其次依次为城乡生产总值差异、当期消费品物价、城乡收入差距和固定资产投资收益。据推断，财政支出在教育事业等方面的投入，使得城乡居民在此消费类型上的比重趋同，一定程度上减少了城乡在消费结构上的差异。消费品价格的涨落对城乡居民的影响不同，因为农村居民有一部分消费属于自给自足，消费价格的变动对其生活消费的影响较小，而对贸易较发达的城市而言，消费价格的变动对居民的消费会有较为显著的影响，因而影响到了城乡居民消费结构的差异。城乡可支配收入差距在一定程度上会改变人在各消费类型上的消费倾向，例如低收入群体为满足基本生存，大部分的消费开支集中在食品类的消费，随着收入的上升，消费者更倾向于其他类型如服务类的产品。7 问题三7.0 问题分析根据问题一和问题二的分析，在影响城乡消费水平的各因素中，城乡产值差异、固定资产收益和可支配收入的差距为最显著的影响因素；消费结构的差异也受这五个因素的影响。现结合已建立的统计回归模型，分别对城乡居民的消费水平和消费结构的差异进行分析。7.1 城乡居民的消费水平差异7.1.1 主成分因素分析根据已经建立的主成分回归方程以及各个因素的标准回归系数可知：城乡居民消费水平差距的相关因素，按照其影响的大小排序分别为：城乡生产总值的差异、新增固定资产收益、城乡居民的可支配收入差异、财政支出和当期消费品物价，其中前三者的影响程度大小比较接近。图7.1 成都市城乡生产总值的增长差异对比图从图中可以明显地看出，城乡生产总值的差异明显扩大，城乡居民的可支配收入差异也有逐年扩张的趋势。尤其是2003年之后，城市居民的可支配收入增长率明显高于农村的增长率，进一步加剧了城乡收入的分配不均的现状。图7.2 成都市城乡居民可支配收入差异对比图因此，从产生城乡消费水平差异的原因上分析，由于影响收入差距的因素入城乡生产总值的差异和可支配收入的差异在近几年逐年扩大，导致了近几年城乡居民消费水平差异扩大。7.1.2 城乡消费水平的绝对差额和增长率分析从图7.3 观察可知，城乡消费水平的差距正在逐年扩大，主要表现为消费水平绝对差额的增加和城乡居民消费水平增长率的不一致。图7.3 1999-2007年成都市城乡居民消费支出总量（元） 城市消费水平在1999-2007年的平均增长率为9.4375%，在最近的2004-2007年，平均增长率达13.7723%。相比之下，农村消费水平的平均增长率为8.6928%，最近4年的平均增长率为10.2391%，明显低于城市的消费增长率。从绝对消费水平的差距而言，消费差距从1999年的人均4315元，增长到2007年的9207元，是1999年的2.13倍。综上所述，无论是从导致城乡消费水平的差距的原因分析，还是从消费水平的绝对差额和城乡消费总额的增长率着眼，近几年城乡消费水平的差距都在逐年扩大。7.2 城乡居民的消费结构差异7.2.1主成分因素分析根据已经建立的主成分回归方程财政支出是影响消费结构的最重要因素，其次依次为城乡生产总值差异、当期消费品物价、城乡收入差距和固定资产投资收益。财政支出在教育事业等方面的投入的增加，使得城乡居民在此消费类型上的比重趋同，一定程度上减少了城乡在消费结构上的差异，但城乡生产总值的差异，城乡收入差距在一定程度上又扩大了城乡居民在消费结构上的差异。因此，根据原因分析，近几年城乡居民消费结构的差异在各因素的作用下呈现波动，财政支出的扩大相对减少了结构差异。7.2.2 城乡居民消费结构差异分析根据已经建立的消费结构差异指标分析，以年份为轴，差异指标为轴做散点图。图7.4 成都市城乡居民消费结构差距的变动如图可知，1999-2007年城乡居民消费结构差异呈现波动。近几年，特别是 2004年以来，在政府在构建城乡统筹实验区之后，在改善城乡消费结构差异方面取得一定进展，消费结构差异正在逐年缩小。综上所述，根据7.1和7.2 的分析，2004年以来，城乡居民消费水平（总量）的差距仍在逐年扩大，而消费结构上的差异却在逐年缩小。8 问题四8.0 问题分析消费结构是在一定的社会经济条件下，人们在消费过程中所消费的各种不同类型的消费资料(包括劳务)的比例关系，各种类型消费的比例是按时间顺序排列的、随时间变化且相互关联的数据序列。本节采用时间序列模型，建立消费结构（各类消费在总消费支出中的比例）随时间变动的模型，并作出未来三年消费结构变动的预测仿真。8.1 模型建立根据城乡各消费类型比例的散点图可知，不同消费类别的占总消费支出的比例变化趋势不同，因此，应该对不同变化趋势的消费类别建立不同的时间序列模型。趋势上升或下降明显的消费类型，如农村居民的交通和通讯消费类型，采用趋势移动平均法建立模型；而对趋势变化不明显的消费类型，如城市居民的食品消费类型，采用加权移动平均法建立。因此，首先分别对城乡的每种消费类型做散点图，根据散点图显示的趋势变化，用不同的方法建立时间序列模型。8.1.1 以农村居民的交通和通讯消费为例建立模型建立农村交通和通讯类消费额所占比例随时间变化的散点图：图8.1 1999-2007年成都市农村交通和通讯类消费占总消费支出比例根据散点图，农村交通和通讯类消费支出比例随时间总体呈上升趋势，应采用趋势移动法建立时间序列模型。8.1.2 趋势移动平均法的推导和时间序列模型的建立简单移动平均法和加权移动平均法，在时间序列没有明显的趋势变动时，能够准确反映实际情况。但当时间序列出现直线增加或减少的变动趋势时，用简单移动平均法和加权移动平均法来预测就会出现滞后偏差。因此，需要进行修正，修正的方法是作二次移动平均，利用移动平均滞后偏差的规律来建立直线趋势的预测模型。这就是趋势移动平均法。设观测序列为取移动平均的项数，一次移动的平均数为 （1）在一次移动平均的基础上再进行一次移动平均就是二次移动平均，其计算公式为 （2）下面讨论如何利用移动平均的滞后偏差建立直线趋势预测模型。设时间序列从某时期开始具有直线趋势，且认为未来时期也按此直线趋势变化，则可设此直线趋势预测模型为： （3） 其中为当前时期数；为由至预测期的时期数；为截距；为斜率。两者又称为平滑系数。现在，我们根据移动平均值来确定平滑系数。由（3）式可知所以因此 （4）由式（3），类似式（4）的推导，可得 （5）所以 （6）类似式（4）的推导，可得 （7）于是，由式（4）和式（7）可得平滑系数的计算公式为据此，可建立时间序列模型其中，为预测年数，的是第期的平滑系数。8.2 模型求解8.2.1 算法流程Step1 利用MATLAB软件编写直线趋势模型。为了提高计算精确度，先将所有比例数据扩大10000倍。Step2 取近5年的数据，即令，分别计算一次和二次移动平均值并列于上表中。再由公式（8），得于是，时直线趋势预测模型为：由此可得2008年，2009年，2010年，农村交通和通讯类消费比例预测值（扩大了10000倍）：Step3 将数据还原后可得，2008年，2009年，2010年的农村交通和通讯类消费预测比例分别为8.2.2 结果分析根据趋势移动平均法建立的时间序列预测模型及其求解结果可知，未来三年农村居民在交通和通讯类的消费比例在总消费支出将会逐年增长。据推测，产生这一现象的主要原因是政府加大了在农村地区的交通基础设施建设力度，完善了道路交通和通讯网络，从而刺激了农村居民在交通和通讯方面的消费支出，另一方面也增加了农村各项产业的发展，提高了农村居民生活消费水平，印证了“要想富，先修路”的先验观点。8.3 未来三年其他城市消费类型的变动情况8.3.1 模型建立及求解结果现参照农村居民交通和通讯类消费的模型，以城市居民消费结构为例，建立根据各类消费的散点图趋势而建立的预测模型，并进行求解。其中加权移动平均法采用主观定权，权向量取为，表示近期消费比例对后期的影响更大，时间间隔越久影响越小。各类消费类型预测模型的建立方法和求解结果，如下表所示消费类型时间序列模型的建立方法2008年预测值2009年预测值2010年预测值食品加权移动平均法35.79656%35.06684%35.11165%衣着加权移动平均法9.16769%9.09425%9.15601%家庭设备用品及服务趋势移动平均法5.65118%5.75702%5.82879%医疗保健趋势移动平均法6.02194%5.99252%5.97445%交通和通讯加权移动平均法19.86511%18.98444%19.01732%娱乐文教服务加权移动平均法12.68323%12.85805%12.85367%居住趋