解析几何基础知识结论.doc

高三数学集体备课材料
解析几何基础知识结论、解题思想方法小结
主讲人 虞宗国
（一）直线与圆知识要点
α
。
π
O
K
１．直线的倾斜角与斜率k=tanα，直线的倾斜角α一定存在，范围是[0,π]，但斜率不一定存在。牢记下列图像。
斜率的求法：依据直线方程　　依据倾斜角　　依据两点的坐标
２．直线方程的几种形式，能根据条件，合理的写出直线的方程；能够根据方程，说出几何意义。
３．两条直线的位置关系，能够说出平行和垂直的条件。会判断两条直线的位置关系。（斜率相等还有可能重合）
４．两条直线的交角：区别到角和夹角两个不同概念。
　５．点到直线的距离公式。
　６．会用一元不等式表示区域。能够解决简单的线性规划问题。
　７．曲线与方程的概念，会由几何条件列出曲线方程。
　８．圆的标准方程：(x－a)2+(y－b)2=r2
　　　　圆的一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0　注意表示圆的条件。
圆的参数方程：
掌握圆的几何性质，会判断直线与圆、圆与圆的位置关系。会求圆的相交弦、切线问题。
圆锥曲线方程
（二）圆锥曲线
1．椭圆及其标准方程

２．双曲线及其标准方程：

３．抛物线及其标准方程：

直线与圆锥曲线：只需最基本的即可

注意点：
（1）注意防止由于“零截距”和“无斜率”造成丢解
（2）要学会变形使用两点间距离公式，当已知直线的斜率 时，公式变形为或；当已知直线的倾斜角时，还可以得到或
（3）会在任何条件下求出直线方程.
（4）注重运用数形结合思想研究平面图形的性质
解析几何中的一些常用结论：
１． 直线的倾斜角α的范围是[０，π)
２． 直线的倾斜角与斜率的变化关系：当倾斜角是锐角是，斜率k随着倾斜角α的增大而增大。当α是钝角时，k与α同增减。
３． 截距不是距离，截距相等时不要忘了过原点的特殊情形。
４． 两直线：L1 A1x+B1y+C1=0 L2: A2x+B2y+C2=0 L1⊥L2A1A2+B1B2=0
５． 点到直线的距离公式，两平行直线间距离的求法。
６． 有关对称的一些结论　
① 点（ａ，ｂ）关于ｘ轴、ｙ轴、原点、直线y=x的对称点分别是
（ａ，－ｂ），（－ａ，ｂ），（－ａ，－ｂ），（ｂ，ａ）
② 如何求点（ａ，ｂ）关于直线Ax+By+C=0的对称点
③ 直线Ax+By+C=0关于ｘ轴、ｙ轴、原点、直线y=x的对称的直线方程分别是什么，关于点（ａ，ｂ）对称的直线方程有时什么？
④ 如何处理与光的入射与反射问题？
7．曲线f(x,y)=0关于下列点和线对称的曲线方程为：
（１）点(a.b)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
（２）ｘ轴　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
（３）ｙ轴　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
（４）原点　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
（５）直线y=x　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
（６）直线y=－x　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
（７）直线x＝ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
8．点和圆的位置关系的判别转化为点到圆心的距离与半径的大小关系。
点P(x0,y0),圆的方程：(x－a)2+(y－b)2=r2.
如果(x0－a)2+(y0－b)2>r2点P(x0,y0)在圆外；
如果 (x0－a)2+(y0－b)2<r2点P(x0,y0)在圆内；
如果 (x0－a)2+(y0－b)2=r2点P(x0,y0)在圆上。
9．圆上一点的切线方程：点P(x0,y0)在圆x2+y2=r2上，那么过点P的切线方程为：x0x+y0y=r2.
10．过圆外一点作圆的切线，一定有两条，如果只求出了一条，那么另外一条就是与ｘ轴垂直的直线。
11．直线与圆的位置关系，通常转化为圆心距与半径的关系，或者利用垂径定理，构造直角三角形解决弦长问题。ｄ>r相离　　d=r相切　　　d<r相交
12．圆与圆的位置关系，经常转化为两圆的圆心距与两圆的半径之间的关系。设两圆的圆心距为d，两圆的半径分别为r,R
d>r+R两圆相离　　　　　d＝r+R两圆相外切
|R－r|<d<r+R两圆相交　　d＝|R－r|两圆相内切
d<|R－r|两圆内含　　　　d=0，两圆同心。
13．两圆相交弦所在直线方程的求法：
圆C1的方程为：x2+y2+D1x+E1y+C1=0.
圆C2的方程为：x2+y2+D2x+E2y+C2=0.
把两式相减得相交弦所在直线方程为：(D1-D2)x+(E1-E2)y+(C1-C2)=0
14．圆上一定到某点或者某条直线的距离的最大、最小值的求法。
15．焦半径公式：在椭圆＝１中，F１、F２分别左右焦点，P(x0,y0)是椭圆是一点，则：(1)|PF1|=a+ex0 |PF2|=a-ex0
(2)三角形PF１F２的面积如何计算
16．圆锥曲线中到焦点的距离问题经常转化为到准线的距离。
17．直线y=kx+b和圆锥曲线f(x,y)=0交于两点P1(x1,y1) ,P2(x2,y2)
则弦长P1P2=
18.双曲线的渐近线的求法（注意焦点的位置）已知双曲线的渐近线方程如何设双曲线的方程。
19.抛物线中与焦点有关的一些结论：（要记忆）
解题思路与方法：
高考试题中的解析几何的分布特点是除在客观题中有4个题目外，就是在解答题中有一个压轴题.也就是解析几何没有中档题.且解析几何压轴题所考查的内容是求轨迹问题、直线和圆锥曲线的位置关系、关于圆锥曲线的最值问题等.其中最重要的是直线与圆锥曲线的位置关系.在复习过程中要注意下述几个问题：
（1）在解答有关圆锥曲线问题时，首先要考虑圆锥曲线焦点的位置，对于抛物线还应同时注意开口方向，这是减少或避免错误的一个关键.
（2）在考查直线和圆锥曲线的位置关系或两圆锥曲线的位置关系时，可以利用方程组消元后得到二次方程，用判别式进行判断.但对直线与抛物线的对称轴平行时，直线与双曲线的渐近线平行时，不能使用判别式，为避免繁琐运算并准确判断特殊情况，此时要注意用好分类讨论和数形结合的思想方法.画出方程所表示的曲线，通过图形求解. 当直线与圆锥曲线相交时：涉及弦长问题，常用“韦达定理法”设而不求计算弦长(即应用弦长公式)；涉及弦长的中点问题，常用“差分法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化.同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍.
（3）求圆锥曲线方程通常使用待定系数法，若能据条件发现符合圆锥曲线定义时，则用定义求圆锥曲线方程非常简捷.在处理与圆锥曲线的焦点、准线有关问题，也可反用圆锥曲线定义简化运算或证明过程.
一般求已知曲线类型的曲线方程问题，可采用“先定形，后定式，再定量”的步骤.
定形——指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置.
定式——根据“形”设方程的形式，注意曲线系方程的应用，如当椭圆的焦点不确定在哪个坐标轴上时，可设方程为mx2+ny2=1(m＞0,n＞0).
定量——由题设中的条件找到“式”中特定系数的等量关系，通过解方程得到量的大小.
（4）在解与焦点三角形（椭圆、双曲线上任一点与两焦点构成的三角形称为焦点三角形）有关的命题时，一般需使用正余弦定理、和分比定理及圆锥曲线定义.
（5）要熟练掌握一元二次方程根的判别式和韦达定理在求弦长、中点弦、定比分点弦、弦对定点张直角等方面的应用.
（6）求动点轨迹方程是解析几何的重点内容之一，它是各种知识的综合运用，具有较大的灵活性，求动点轨迹方程的实质是将“曲线”化成“方程”，将“形”化成“数”，使我们通过对方程的研究来认识曲线的性质. 求动点轨迹方程的常用方法有：直接法、定义法、几何法、代入转移法、参数法、交轨法等，解题时，注意求轨迹的步骤：建系、设点、列式、化简、确定点的范围.

解析几何专题测试题
一、 填空题
1、若直线ax+by=1与圆相交，则点P(a,b)与圆的位置关系是　　　　（填在圆上或圆外或圆内）
2、若方程无实数解，则实数的取值范围是　　　　

3、两直线3x+2y+m=0和（m2+1）x-3y-3m=0的位置关系是　　　（相交、平行、重合）
4、已知圆，过点A(1，0)与圆相切的直线方程为 ．
5、已知椭圆C的焦点与双曲线的焦点相同，且离心率为，则椭圆C的标准方程为 .

6、已知直线过点，且与轴、轴的正半轴分别交于两点，为坐标原点，则当三角形面积最小时直线的方程为　　

7、若光线从点A（-3，5）射到直线3x-4y+4=0以后，反射到点B（3，9），则光线所走的路程是　　　 .

8、已知点A（2，6）和直线l:（3m+4）x+（5-2m）y+7m-6=0，且点A到直线l的距离d,则d的最大值为　　　5　　　。

9、设满足y的点（x,y）的集合为A，满足y-+b的点（x,y）的集合为B，其中a、b是正数，且AB，则AB所表示的图形的面积为　

10、

4．如图，是直线上的两点，且．两个半径相等的动圆分别与相切于
点，是这两个圆的公共点，则圆弧，与
线段围成图形面积的取值范围是 ．

11、 两个正数的等差中项是5，等比中项是4.若，则椭圆的离心率e的大小为 .

12、已知向量直线l过点且与向量垂直，则直线l的一般方程是 .

13、已知两点，点是圆上任意一点，则面积的最小值是 .

14、设为正整数，两直线的交点是，对于正整数，过点的直线与直线的交点记为.则数列通项公式＝ ▲ .

二、解答题：（本大题共90分）
15、 已知圆C与两坐标轴都相切，圆心C到直线的距离等于.
（Ⅰ）求圆C的方程.
（Ⅱ）若直线与圆C相切，求证：

16、已知⊙：和定点，由⊙外一点向⊙引切线，切点为，且满足．
(1) 求实数间满足的等量关系；
(2) 求线段长的最小值；
(3) 若以为圆心所作的⊙与⊙有公共点，试求半径取最小值时的⊙方程．

17、若椭圆过点（-3，2），离心率为，⊙O的圆心为原点，直径为椭圆的短轴，⊙M的方程为，过⊙M上任一点P作⊙O的切线PA、PB，切点为A、B.
(1)求椭圆的方程；
（2）若直线PA与⊙M的另一交点为Q，当弦PQ最大时，求直线PA的直线方程；
（3）求的最大值与最小值.
18、抛物线的准线的方程为，该抛物线上的每个点到准线的距离都与到定点N的距离相等，圆N是以N为圆心，同时与直线 相切的圆，
（Ⅰ）求定点N的坐标；
（Ⅱ）是否存在一条直线同时满足下列条件：
① 分别与直线交于A、B两点，且AB中点为；
② 被圆N截得的弦长为2；

19、如图，F1，F2分别是椭圆 (a>b>0)的左右焦点，M为椭圆上一点， MF2垂直于x轴，且OM与椭圆长轴和短轴端点的连线AB平行，
(I)求椭圆的离心率；
(II)若G为椭圆上不同于长轴端点任一点，求∠F1GF2的取值范围；
(Ⅲ)过F2且与OM垂直的直线交椭圆于P，Q两点．若S△PF1Q=20，求椭圆的方程．

20、平面直角坐标系中，O为坐标原点，给定两点A（1，0）、
B（0，－2），点C满足 、
（1）求点C的轨迹方程；
（2）设点C的轨迹与椭圆交于两点M、N，且以MN为
直径的圆过原点，求证：
（3）在（2）的条件下，若椭圆的离心率不大于，求椭圆长轴长的取值范围.

参考答案
1、圆内　2、　3、相交　4、或 5、
6、+2-4= 7 12 8 5 9 10 11. 12. 13 14.
15、解：（I）设圆C半径为，由已知得：
………………………………3分
∴，或 ………………………………5分

∴圆C方程为. ………7分
(II)直线，
∵ ……………………8分
∴ ………………………………10分
∴
左边展开，整理得， ………………………………12分
∴
∵，
∴，
∴
∴ ………………………14分
∵
∴，
∴ ………………15分

16解：（1）连为切点，，由勾股定理有
又由已知，故.即：.
化简得实数a、b间满足的等量关系为：. （3分）
（2）由，得.
=.
故当时，即线段PQ长的最小值为 （7分）
（3）设P 的半径为，P与O有公共点，O的半径为1，
即且.
而，
故当时，此时, ，.
得半径取最小值时P的方程为． （12分）
P0
l
解法2： P与O有公共点，P半径最小时为与O外切（取小者）的情形，而这些半径的最小值为圆心O到直线l的距离减去1，圆心P为过原点与l垂直的直线l’ 与l的交点P0.
r = －1 = －1.
又 l’：x－2y = 0,
解方程组，得.即P0( ,).
∴所求圆方程为. （12分）
17、解：（1）由题意得：
所以椭圆的方程为
（2）由题可知当直线PA过圆M的圆心（8，6）时，弦PQ最大
因为直线PA的斜率一定存在，
设直线PA的方程为：y-6=k(x-8)
又因为PA与圆O相切，所以圆心（0，0）到直线PA的距离为
即 可得
所以直线PA的方程为：
（3）设 则
则

18、（1）因为抛物线的准线的方程为
所以，根据抛物线的定义可知点N是抛物线的焦点， -----------2分
所以定点N的坐标为 ----------------------------3分
（2）假设存在直线满足两个条件，显然斜率存在， -----------4分
设的方程为， ------------------------5分
以N为圆心，同时与直线 相切的圆N的半径为， ----6分
方法1：因为被圆N截得的弦长为2，所以圆心到直线的距离等于1， -------7分
即，解得， -------------------------------8分
当时，显然不合AB中点为的条件，矛盾！ --------------9分
当时，的方程为 ----------------------------10分
由，解得点A坐标为， ------------------11分
由，解得点B坐标为， ------------------12分
显然AB中点不是，矛盾！ ----------------------------------13分
所以不存在满足条件的直线． ------------------------------------14分
方法2：由，解得点A坐标为， ------7分
由，解得点B坐标为， ------------8分
因为AB中点为，所以，解得， ---------10分
所以的方程为，
圆心N到直线的距离， -------------------------------11分
因为被圆N截得的弦长为2，所以圆心到直线的距离等于1，矛盾！ ----13分
所以不存在满足条件的直线． -------------------------------------14分
方法3：假设A点的坐标为，
因为AB中点为，所以B点的坐标为， -------------8分
又点B 在直线上，所以， ----------------------------9分
所以A点的坐标为，直线的斜率为4，
所以的方程为， -----------------------------10分
圆心N到直线的距离， -----------------------------11分
因为被圆N截得的弦长为2，所以圆心到直线的距离等于1，矛盾！ ---------13分
所以不存在满足条件的直线． ----------------------------------------14分

20、解：设

即点C的轨迹方程为x+y=1
（2）

设
由题意

为定值
（3）

∴双曲线实轴长的取值范围是
19、

14