浅谈中学数学不等式证明方法.doc

浅谈中学数学不等式的证明方法
尹治波
不等式是数学的基本内容之一，它是研究许多数学分支的重要工具，在数学中有重要的地位，也是高中数学的重要组成部分。不等式的证明变化大，技巧性强，它不仅能够检验学生数学基础知识的掌握程度，而且是衡量学生数学水平的一个重要标志。
证明不等式，就是根据不等式的性质，证明对于式中字母所允许的数值，这个不等式恒能成立。不等式的证明与恒等式相仿，证明方法灵活多变，富有较强的技巧性，通常没有固定的程序可循。要提高证明不等式的能力，必须熟练掌握不等式的基本性质和基本不等式，并灵活运用不等式证明的各种常用方法。就中学数学而言，有以下几种常用的证明方法。
（一） 比较法
比较法是证明不等式的最基本、最重要的方法之一，它是两个实数大小顺序和运算性质的直接应用. 比较法通常有两种形式：一是作差比较；二是作商比较。
例1 已知，求证：
证明：∵
∴，当且仅当时等号成立．
(注：在利用差值比较法证明不等式时，常采用配方的恒等变形，以利用实数的性质
例2 已知,,求证：
证法一：（作差）
,,
故 即
证法二：（作商） 故
（二） 综合法
综合法利用已知事实(已知条件、均值不等式或已证明的不等式)作为基础，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后推出所要证明的不等式，其特点和思路是“由因导果”，从“已知”看“需知”，逐步推出“结论”。
例4 已知都是正数，求证：
（1）（2）
证明：（1）都是正数，则，

，即
（2）都是正数，则，

（注：用不等式的平均值定理证明不等式时，要注意定理的条件，还要注意为运用定理而作出的适当变形.）
（三）分析法
分析法是指从需证的不等式出发，分析这个不等式成立的充分条件，进而转化为判定那个条件是否具备，其特点和思路是“执果索因”，即从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”。
例5证明：通过水管放水，当流速相同时，如果水管截面的周长相等，那么截面是圆的水管比截面是正方形的水管流量大.
证明：设截面的周长为L，依题意，截面是圆的水管的截面面积为，截面是正方形的水管的截面面积为，所以本题只需证明
为了证明上式成立，只需证明
两边同乘以正数，得，因此，只需证明
上式是成立的，所以
这就证明了，通过水管放水，当流速相同时，如果水管截面的周长相等，那么截面是圆的水管比截面是正方形的水管流量大.
(注：对于较复杂的不等式，直接运用综合法往往不易入手，因此，通常用分析法探索证题途径，然后用综合法加以证明，所以分析法和综合法经常是结合在一起使用的.)
例6 设，求证：
证明：要证明
只要证
只要证
由于函数在上是减函数，故只要证
即证，只要证即证
这是显然成立的，故原不等式成立.
（四）反证法
反证法有些不等式的证明，从正面证不好说清楚，可以从正难则反的角度考虑，即要证明不等式
，先假设，由题设及其它性质，推出矛盾，从而肯定Ａ>Ｂ。凡涉及到的证明不等式为否定命题、惟一性命题或含有“至多”、“至少”、“不存在”、“不可能”等词语，可以考虑用反证法。
例7：已知求证： 不可能都大于。
证明：假设都大于，则又由均值不等式有：
。
可见相互矛盾，命题得证。
例8：已知，求证：。
证明：假设，则，当时，
可证与题设矛盾，。
（五）判别式法
与二次函数有关，或通过等价变换能变成二次函数问题的，可试用判别式法证明相关不等式。
例9：设，证明：
证明：令因其判别式为
，

（六）换元法
换元法是对一些结构比较复杂，变量较多，变量之间的关系不甚明了的不等式可引入一个或多个变量进行代换，以便简化原有的结构或实现某种转化与变通，给证明带来新的启迪和方法。主要有两种换元形式。(1)三角代换法：多用于条件不等式的证明，当所给条件较复杂，一个变量不易用另一个变量表示，这时可考虑三角代换，将两个变量都有同一个参数表示。此法如果运用恰当，可沟通三角与代数的联系，将复杂的代数问题转化为
三角问题。根据具体问题，实施的三角代换方法有：①若，可设，；②若，可设， (-1≤ｒ≤1)； (2)代数换元法：在对称式(任意交换两个字母，代数式不变)和给定字母顺序(如ａ>ｂ>ｃ等)的不等式，考虑用代数法进行换元，其目的是通过换元达到减元，使问题化难为易，化繁为简。
例10：已知为正实数，. 求证：
证明：设
∵
∴

例11：求证：
证明： 令 ,
则

（七）放缩法
放缩法是要证明不等式Ａ<Ｂ成立不容易，而借助一个或多个中间变量通过适当的放大或缩小达到证明不等式的方法。放缩法证明不等式的理论依据主要有：(1)不等式的传递性；(2)等量加不等量为不等量；(3)同分子(分母)异分母(分子)的两个分式大小的比较。常用的放缩技巧有：①舍掉(或加进)一些项；②在分式中放大或缩小分子或分母；③应用均值不等式。
例12：若，求证：
证明：记
∵
∴
且
即原式成立
例13：求证：
证明：
∴
（八）构造函数法
例14：设为三角形的三边，求证：
证明：设函数即， 显然是增函数
是三角形的三边，故有
：
∴
（注：构造函数法就是要从被证的不等式的形状、特点入手，发生联想去寻找相应的基本函数，然后利用该函数的性质加以证明。）
（九）数学归纳法
例14：证明不等式
（分析：本题是一个与自然数n有关的命题，首先想到应用数学归纳法）
证明：(1)当n等于1时，不等式左端等于1，右端等于2，所以不等式成立；
(2)假设≥1）时，不等式成立，即，
则：

∴当时，不等式成立.
综合(1)、(2)得：当时，都有1+＜2.
以上所述的不等式的证法，它们之间不是相互割裂的，而是互相联系的。有的不等式可以有多种证法，有的不等式只有多种方法合并用才能得以证明。因此要灵活的，综合的运用这些方法。不断地积累经验和技巧，使问题证得有声有色。

5