《实变函数与泛函分析基础》试卷及答案.doc

《实变函数与泛函分析基础》试卷及答案

试卷一：

得 分

一、单项选择题（3分×5=15分）
1、1、下列各式正确的是（ ）
（A）; （B）;
（C）; （D）;
2、设P为Cantor集，则下列各式不成立的是（ ）
（A） c (B) (C) (D)
3、下列说法不正确的是（ ）
(A) 凡外侧度为零的集合都可测（B）可测集的任何子集都可测
(C) 开集和闭集都是波雷耳集 （D）波雷耳集都可测
4、设是上的有限的可测函数列,则下面不成立的是( )
（A）若, 则 (B) 是可测函数
（C）是可测函数;（D）若,则可测
5、设f(x)是上有界变差函数，则下面不成立的是（ ）
(A) 在上有界 (B) 在上几乎处处存在导数
（C）在上L可积 (D)
得 分

二. 填空题(3分×5=15分)
1、_________
2、设是上有理点全体，则=______,=______,=______.
3、设是中点集，如果对任一点集都有_________________________________，则称是可测的
4、可测的________条件是它可以表成一列简单函数的极限函数.
（填“充分”，“必要”，“充要”）
5、设为上的有限函数，如果对于的一切分划，使_____________________________________________________,则称为 上的有界变差函数。
得 分

三、下列命题是否成立?若成立,则证明之;若不成立,则举反例说明.(5分×4=20分)
1、设，若E是稠密集，则是无处稠密集。

2、若，则一定是可数集.

3、若是可测函数，则必是可测函数。

4．设在可测集上可积分，若，则

得 分

四、解答题（8分×2=16分）.

1、（8分）设 ，则在上是否可积，是否可积，若可积，求出积分值。

考 生 答 题 不 得 超 过 此 线

2、（8分）求

得 分

五、证明题（6分×4+10=34分）.

1、（6分）证明上的全体无理数作成的集其势为.

2、（6分）设是上的实值连续函数，则对于任意常数是闭集。

考 生 答 题 不 得 超 过 此 线
3、（6分）在上的任一有界变差函数都可以表示为两个增函数之差。

4、（6分）设在上可积，，则.

得 分

阅卷人

复查人

5、（10分）设是上有限的函数，若对任意，存在闭子集，使在上连续，且，证明：是上的可测函数。(鲁津定理的逆定理)

试卷一 答案：
试卷一 （参考答案及评分标准）

一、1. C 2 D 3. B 4. A 5. D
二、1． 2、； ； 3、
4、充要 5、成一有界数集。
三、1．错误……………………………………………………2分
例如：设是上有理点全体，则和都在中稠密
………………………..5分
2．错误…………………………………………………………2分
例如：设是集，则，但c ， 故其为不可数集
……………………….5分
3．错误…………………………………………………………2分
例如：设是上的不可测集，
则是上的可测函数，但不是上的可测函数………………………………………………………………..5分
4．错误…………………………………………………………2分
…5分
四、1．在上不是可积的，因为仅在处连续，即不连续点为正测度集………………………………………..3分
因为是有界可测函数，在上是可积的…6分
因为与相等，进一步，…8分
2．解：设，则易知当时，
…………………………..2分
又因，()，所以当时，
………………4分
从而使得…………………………………6分
但是不等式右边的函数，在上是可积的，故有
…………………………………8分
五、1．设
…………………………2分
……………………………….3分
…………..5分
………………………………………………6分
2．……….2分
………………………………………….3分

…………………………………………………………5分
…………………………………………………….6分
3. 对，，使对任意互不相交的有限个
当时，有………………2分
将等分，使，对，有，所以在上是有界变差函数……………………………….5分
所以从而，因此，是上的有界变差函数…………………………………………………………..6分
4、在上可积……2分
据积分的绝对连续性，，有………………………………………………….4分
对上述，从而，即…………………6分
5．存在闭集在连续………………………………………………………………2分
令，则在连续…………………………………………………………4分
又对任意,
…………………………………………….6分
故在连续…………………………..8分
又所以是上的可测函数，从而是上的
可测函数………………………………………………………..10分

试卷二：

《实变函数》试卷二

专业________班级_______姓名 学号
题号
一
二
三
四
五
总分
得分

注 意 事 项
1、本试卷共6页。
2、考生答题时必须准确填写专业、班级、学号等栏目，字迹要清楚、工整。
得 分

一.单项选择题（3分×5=15分）

1．设是两集合，则 =（ ）
(A) (B) (C) (D)
2. 下列说法不正确的是( )
(A) 的任一领域内都有中无穷多个点，则是的聚点
(B) 的任一领域内至少有一个中异于的点，则是的聚点
(C) 存在中点列，使，则是的聚点
(D) 内点必是聚点
3. 下列断言( )是正确的。
（A）任意个开集的交是开集；(B) 任意个闭集的交是闭集；
(C) 任意个闭集的并是闭集；(D) 以上都不对；
4. 下列断言中( )是错误的。
（A）零测集是可测集； （B）可数个零测集的并是零测集；
（C）任意个零测集的并是零测集；（D）零测集的任意子集是可测集；
5. 若，则下列断言（ ）是正确的
(A) 在可积在可积；
(B)
(C) ;
(D)
得 分

二. 填空题(3分×5=15分)

得 分

阅卷人

复查人

1、设，则_________。
2、设为Cantor集，则 ，_____，=________。
3、设是一列可测集，则
4、鲁津定理：______________________________________________________

_______________________________________________________________
5、设为上的有限函数，如果_________________________________
_____________________________________________________________________________________________则称为上的绝对连续函数。
得 分

三.下列命题是否成立?若成立,则证明之;若不成立,则说明原因或举出反例.(5分×4=20分)
1、由于，故不存在使之间对应的映射。

2、可数个零测度集之和集仍为零测度集。

3、收敛的函数列必依测度收敛。

4、连续函数一定是有界变差函数。

得 分

四.解答题(8分×2=16分)

1、设 ，则在上是否可积，是否可积，若可积，求出积分值。

2、求极限 .

得 分

五.证明题(6分×3+ =34分)
1.(6分) 1、设f(x)是上的实值连续函数，则对任意常数 c， 是一开集.

2.(6分) 设使，则E是可测集。

3. （6分）在上的任一有界变差函数都可以表示为两个增函数之差。

4.（8分）设函数列 在有界集上“基本上”一致收敛于，证明：收敛于。

得 分

阅卷人

复查人

5.（8分）设在上可积，则对任何，必存在上的连续函数，使.

试卷二（参考答案及评分标准）
一、1，C 2, C 3, B 4, C 5, A
二、1， 2，c ；0 ； 3，
4，设是上有限的可测函数，则对任意，存在闭子集，使得在上是连续函数，且。
5，对任意，使对中互不相交的任意有限个开区间只要，就有
三、1．错误……………………………………………………2分
记中有理数全体
显然。……………………………5分
2．正确……………………………………………………………2分
设为零测度集， ，所以，
因此，是零测度集。………………………………………5分
3．错误……………………………………………………………2分
例如：取作函数列：
显然当。但当时，
且这说明不测度收敛到1.………………5分
4．错误…………………………………………………………2分
例如：显然是的连续函数。
如果对取分划，则容易证明
，从而得到…………………5分
四、1．在上不是可积的，因为仅在处连续，
即不连续点为正测度集………………………………………3分
因为是有界可测函数，所以在上是可积的…………………………………. …………………………….6分
因为与相等, 进一步，……8分
2设，则易知当时，…………………………………………………………2分
又………………………………………………4分
但是不等式右边的函数，在上是可积的……………6分
故有…………………………8分
五、1．………………………………………..1分
在点连续，对当时，
有…………………………………………3分
，……5分
因此，从而为开集………………………………..6分
2．对任何正整数，由条件存在开集使……………………………………………………1分
令，则是可测集…………………………………3分
又因对一切正整数成立，因而，即是一零测度集，所以也可测.…………………………………………………………………5分
由知，可测。…………………………………6分
3、易知是上的增函数………………………2分
令, 则对于有

所以是上的增函数……………………………………4分
因此，其中与均为上的有限增函数…………. ……………………………………………………….6分
4、因为在上“基本上”一致收敛于，所以对于任意的，存在可测集，在上一致收敛于，且…………………………………………………3分
令，则在上处处收敛到……………5分
，k=1,2
所以………………………………………………8分
5、证明：设由于在上有限，故………………………………………………..2分
由积分的绝对连续性，对任何，使………………………………………4分
令，在上利用鲁津定理，存在闭集和在上的连续函数使（1）（2）时，，且……………………6分
所以

……………………...8分

（第19页，共19页）