2014届江苏省扬州中学高三上学期12月月考数学试题及答案.doc

江苏省扬州中学2013—2014学年第一学期月考
高三数学试卷 2013.12
一、填空题：
1. 已知集合，，则 ▲ ．

2．已知命题“若，则”，则命题及其逆命题、否命题、逆否命题中，正确命题的个数是 ▲ ．

3.设是纯虚数，是实数，且等于 ▲ ．

4. 已知，则的值为 ▲ ．

5. 在等差数列中，若，则该数列的前15项的和为 ▲ ．

6. 已知直线⊥平面，直线m平面，有下面四个命题：
①∥⊥m；②⊥∥m；③∥m⊥；④⊥m∥
其中正确命题序号是 ▲ ．

7. 已知，，与的夹角为，，则与的夹角为▲ ．

8. 设均为正实数，且，则的最小值为 ▲ ．

9.已知方程+－=0有两个不等实根和，那么过点的直线与圆的位置关系是 ▲ ．

10．若动直线与函数的图象分别交于两点，则的最大值为 ▲ ．

11. 设，，且，则 ▲ ．

12. 函数在区间上是减函数,则的最大值为 ▲ ．

13．已知椭圆与轴相切，左、右两个焦点分别为，则原点O到其左准线的距离为 ▲ ．

14. 设，的所有非空子集中的最小元素的和为，则= ▲ ．
二、解答题：
15．(本小题满分14分)
设向量，函数.
（1）求函数的单调递增区间；
（2）求使不等式成立的的取值集合．
16．(本小题满分14分)
如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，垂直于底面，分别为的中点．
（1）求证：；
（2）求点到平面的距离．

17．(本小题满分14分)
某种商品原来每件售价为25元，年销售8万件．
（1）据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？
（2）为了扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到元．公司拟投入万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品明年的销售量至少应达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价．

18．(本小题满分16分)
已知函数，设曲线在点处的切线与轴的交点为，其中为正实数.
（1）用表示；
（2）,若，试证明数列为等比数列，并求数列的通项公式；
（3）若数列的前项和，记数列的前项和，求．.

19. (本小题满分16分)
如图所示，已知圆为圆上一动点，点是线段的垂直平分线与直线的交点．
（1）求点的轨迹曲线的方程；
（2）设点是曲线上任意一点，写出曲线在点处的切线的方程；（不要求证明）
（3）直线过切点与直线垂直，点关于直线的对称点为，证明：直线恒过一定点，并求定点的坐标．

20. (本小题满分16分)
设，两个函数，的图像关于直线对称.
（1）求实数满足的关系式；
（2）当取何值时，函数有且只有一个零点；
（3）当时，在上解不等式．

数学(附加题)
高三___________ 姓名_____________ 学号
………………密……………封……………线……………内……………不……………要……………答……………题………………
21．
B．(本小题满分10分)
已知二阶矩阵M有特征值及对应的一个特征向量，并且矩阵M对应的变换将点变换成, 求矩阵M．.

C．(本小题满分10分)
在直角坐标系中，参数方程为的直线，被以原点为极点，
轴的正半轴为极轴，极坐标方程为的曲线所截，求截得的弦长．

22． (本小题满分10分)
设函数,．
（1）求的展开式中系数最大的项；
（2）若（为虚数单位）,求．

23． (本小题满分10分)
电子蛙跳游戏是: 青蛙第一步从如图所示的正方体顶点起跳，每步从一顶点跳到相邻的顶点．
（1）求跳三步跳到的概率；
（2）青蛙跳五步，用表示跳到过的次数，求随机变量的概率分布及数学期望．

高三数学月考试卷参考答案

高考

2013.12
一、填空题
1. 　2．2　　3. 　　4. 　　5.15　　 6. ①③ 7. 　　8.16　　
9. 相切 10．2 11. 12. 13．14.
二、解答题
15．解：(1)

. …………5′
由，得，
∴的单调递增区间为. …………8′
(2) 由，得.
由，得，则，
即. ∴使不等式成立的的取值集合为.……14′
16．解：（1）因为N是PB的中点，PA=AB，
所以AN⊥PB,因为AD⊥面PAB，所以AD⊥PB,又因为AD∩AN=A
从而PB⊥平面ADMN,因为平面ADMN，
所以PB⊥DM.　　　　　　…………7′
(2) 连接AC，过B作BH⊥AC，因为⊥底面，
所以平面PAB⊥底面，所以BH是点B到平面PAC的距离.
在直角三角形ABC中，BH＝ ……………14′
17．解：（1）设每件定价为元，依题意，有，
整理得，解得．
∴　要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元．………7′
（2）依题意，时，
不等式有解, 等价于时，有解, ,
.
∴当该商品明年的销售量至少应达到10.2万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元．……14′
18．解：（1）由题可得，所以在曲线上点处的切线方程为，即
令，得，即
由题意得，所以………………5′
（2）因为，所以
即，
所以数列为等比数列故 ………10′
（3）当时，，当时，
所以数列的通项公式为，故数列的通项公式为
①
①的 ②
①②得
故 ………………16′
19.解：（1）点是线段的垂直平分线,∴

∴动点N的轨迹是以点C（－1，0），A（1，0）为焦点的椭圆.
椭圆长轴长为焦距2c=2.
∴曲线E的方程为　　………5′
（2）曲线在点处的切线的方程是.………8′
（3）直线的方程为，即 .
设点关于直线的对称点的坐标为,
则，解得
直线PD的斜率为
从而直线PD的方程为：
即, 从而直线PD恒过定点.………16′
20.解：（1）设是函数图像上任一点，则它关于直线对称的点在函数的图像上，，.
（2）当时，函数有且只有一个零点，两个函数的图像有且只有一个交点，两个函数关于直线对称，两个函数图像的交点就是函数，的图像与直线的切点.
设切点为，，，，,
当时，函数有且只有一个零点；
（3）当=1时，设 ，则
，当时，，，
当时，，．
在上是减函数.
又＝0，不等式解集是．
21．B．解：设M=，则=8=，故
=，故
联立以上两方程组解得a=6，b=2，c=4，d=4，故M=．………10′
C．解：由题意知，直线的倾斜角为，并过点（2，0）；曲线是以（1，0）为圆心、半径为1的圆，且圆也过点（2，0）；设直线与圆的另一个交点为，在中，．…………10′
22．解：（1）展开式中系数最大的项是第4项＝；………5′
（2）由已知，，两边取模，得，所以.
所以=
而

所以 …………10′
23．解：将A标示为0，A1、B、D标示为1，B1、C、D1标示为2，C1标示为3，从A跳到B记为01，从B跳到B1再跳到A1记为121，其余类推.从0到1与从3到2的概率为1，从1到0与从2到3的概率为，从1到2与从2到1的概率为.
（1）P＝P（0123）＝1＝； ………4′
（2）X＝0,1，2. P（X＝1）＝P（010123）＋P（012123）＋P（012321）
＝11＋1＋11
＝，P（X＝2）＝P（012323）＝11＝ ，
P（X＝0）＝1－P（X＝1）－P（X＝2）＝
或P（X＝0）＝P（010101）＋P（010121）＋P（012101）＋P（012121）

X
0
1
2
p

＝111＋11＋11＋1＝，
E（X）＝1＋2＝.…………10′
·9·