第八章时间序列计量经济.doc

第八章 时间序列的性质

大多数经济数据特别是宏观经济数据为时间序列数据，所以对时间序列进行计量经济学分析在计量经济学中占有十分重要地位。时间序列变量与横截面变量在性质上有很大不同。比如，当两个时间序列变量是非平稳的时候，如果我们用其中之一对另一进行回归，往往都能得到从统计数据来看，较好的结果，但实际上，它们之间也许没有任何关系。所以对通过对时间序列的样本值的分析来估计产生这个时间序列样本的随机过程的性质，对回归分析是十分重要的。本章将就时间序列的平稳性问题和与此相联的单位根问题以及两个时间序列的协整问题展开讨论。
第一节 平稳的时间序列
任何时间序列数据都可看成由一个随机过程产生的结果或者说是一个随机过程的一个实现：设为一随机时间序列，其中每一项都是随机的，则有关这一随机时间序列的观测值所组成的序列就是这一随机时间序列的一个实现或者说一个样本。我们对时间序列的研究往往是根据随机时间序列的一个样本来推断随机时间序列总体的性质进而进行预测。在前面的回归分析中，我们总假定解释变量是非随机的，但实际上大多数经济数据特别是宏观经济数据，由于其为时间序列数据的时候居多，在这种情况下，无论是被解释变量还是解释变量的观测数据往往可看作是随机时间序列的一个实现，从而使解释变量具有随机性，当解释变量与回归模型中的随机扰动项相关时，就出现了内生性问题，其解决方法已如前所述；当解释变量与回归模型中的随机扰动项无关时，解释变量即使是随机的，经典回归的有关结论仍然适用，但前提条件是模型设定正确。然而，模型设定是否正确在相当程度上取决于时间序列的稳定特性。例如，当回归模型中的变量一方面是时间序列，另一方面有的时间序列变量是平稳的而有的时间序列变量是非平稳的，那么，就会产生谬误回归，即回归模型的误设。所以时间序列的平稳性分析不仅对时间序列本身十分重要而且对包括时间序列的经典回归分析十分重要。因此讨论平稳的时间序列对整个计量经济学来说就显得十分必要了。
一 平稳时间序列的定义
如果一个随机时间序列的均值和方差在时间过程上都是常数，并且在任何两时期之间的协方差仅依赖于该两时期间的距离或滞后，而不依赖于计算这个协方差的实际时间，就称它为平稳的 在时间序列文献中称这样的平衡为弱平衡过程(weakly stationary stochastic process)，也称为协方差平稳平衡的，在大多数实际情况中，这样的平衡就够用了，在本书中的平稳是指弱平稳。严格意义上的平衡性是指随机时间序列或随机过程的随机特性不随时间变化。
。
用数学式子表示随机时间序列的平稳性：设有一随机时间序列，如果：
第一， 均值与时间无关。
第二， 方差与时间无关。(方差也可用表示)
第三， 协方差只与间隔期有关而与时间无关，称这样的协方差为滞后的自协方差。(显然)
则称这样的随机时间序列为平稳的时间序列。
例8.1 若随机时间序列由下式生成
(8.1)
其中为一与时间无关的常数，为白噪声过程，即以零为均值，有相同方差，自协方差为零。
则由(8.1)式表示的过程是一个平稳过程：；；
。
例8.2 一阶自回归过程 随机时间序列由下列(8.2)式生成，则称这样的过程为一阶自回归过程，记为AR(1)。
(8.2)
其中为常数，为白噪声过程。
则当时，AR(1)过程为平稳过程。事实上，
第一，当时，AR(1)过程的均值为一常数：
因为

所以
(8.3)
第二，当时，AR(1)过程的方差为一常数：
(8.4)
第三，当时，AR(1)过程的滞后的自协方差为一只与滞后有关而与时间无关的常数：
(8.5)
例8.3 二阶自回归过程 二阶自回归过程是指由下列(8.6)式所生成的时间序列：
(8.6)
在什么条件下，(8.6)式所表示的二阶自回归过程即AR(2)是平稳的？
为了研究AR(2)的平稳性，我们引入滞后算子的概念：
将滞后算子L定义为：
(8.7)
如果运用两次滞后算子，结果为：

这样一个对滞后算子的二重运用记作“”：

一般地，对任何整数k，
(8.8)
对于滞后算子有一些运算法则，如它与数乘运算可交换、它对于加法运算可分配等。
运用滞后算子，AR(2)可写成
(8.9)
根据差分方程中的有关结论，上式平稳的充分必要条件是滞后算子多项式的特征根(即将滞后算子符号L改为普通复数后的多项式的根)在单位园以外 参见詹姆斯 D. 汉密尔顿[美]著，刘明志译《时间序列分析》，第34——38页，中国社会科学出版社，1999。
。
多项式
(8.10)
的两个根为
(8.11)
这两个根在单位以外的充分必要条件是下列三个式子同时成立：
(8.12)
AR(2)的平稳性条件可用下图表示：
-1
1
1
-1

图8.1 AR(2)的平稳域：由，和
所围成的三角形区域之内。

对(8.6)式两边同取数学期望，便可求出平稳的AR(2)模型的均值。

由平稳性知代入上式，并利用：

故
(8.13)
为了求出AR(2)过程的方差与自协方差，将(8.6)式写成如下形式：
(8.14)
因为上式即为

所以(8.14)式成立。
将(8.14)两边同时乘以后，两边取数学期望得

即
(8.15)
(8.15)式说明AR(2)过程的自协方差也具有与原模型的相同的差分形式。
在(8.15)中，分别令和并利用得
(8.16)
因此
(8.17)
将(8.14)式两边同时乘以后求数学期望得

即
(8.18)
将(8.17)代入(8.18)后，化简得
(8.19)
平稳的AR(2)的自协方差可由(8.17)式及迭代关系(8.15)给出。
例8.4 移动平均过程 一阶移动平均过程记为MA(1)，它是指由下面(8.20)式所决定的随机过程：
(8.20)
其中，为常数，是一白噪声过程。过程(8.20)之所以称为“移动平均”，是因为是由相邻两期值的加权和构造而成，类似于一个平均。MA(1)过程的均值、方差和自协方差计算如下：
的均值为：
(8.21)
的方差为：
(8.22)
其中为白噪声过程的方差即。
的一阶自协方差为：
(8.23)
的高阶自协方差均为零
(8.24)
由(8.21)——(8.24)知，MA(1)过程是(弱)平稳过程。
一般地，q阶移动平均过程记为MA(q)，它由下述(8.25)式所表述：
(8.25)
其中，和诸为常数，是一白噪声过程。易知，的均值、方差和自协方差分别为：
(8.26)
(8.27)
(8.28)
其中为白噪声过程的方差即。
由(8.25)——(8.28)知，MA(q)过程是(弱)平稳过程。
可以证明，当权数的平方和存在时，无穷阶移动平均过程也是一个协方差平稳过程。
例8.5 自回归移动平均过程 自回归移动平均过程记为，如果其中自回归的最长滞后期为p，移动平均的最大滞后期为q，则称这样的自回归移动平均过程为p阶自回归q阶移动平均的自回归移动平均过程，记为。由下式所生成：
(8.29)
利用滞后算子，上式可写成
(8.30)
当特征多项式

的根落在单位园之外时，自回归移动平均过程(8.30)是平稳的参见詹姆斯 D. 汉密尔顿[美]著，刘明志译《时间序列分析》，第68页，中国社会科学出版社，1999。
。
上面的平稳时间序列的例子是在已知随机过程的生成模型后，我们所进行的有关平稳性的演绎。但实际上，经济时间序列的随机总体是不可知的，所知道的仅仅是随机时间序列的一个样本，或者说是随机过程的一个实现。人们所能够做的只是根据随机时间序列的一个实现去推断在这个“实现”背后的随机过程的性质，进而进行预测。为此，我们应分别了解一些刻划随机时间序列(相当于横截面分析中的“总体”)和它的一个实现(相当于横截面分析中的“样本”)的特征的概念。
二 随机时间序列和其样本的数字特征
我们已经知道了随机时间序列的几个数字特征，它们分别是均值、方差和自协方差，下面引入另一个数字特征：自相关函数。我们定义滞后k期的自相关函数为Y
(8.31)
对于平稳过程，(8.31)式中的分子就是自协方差，而分母则等于随机过程的方差，所以对于平稳过程，我们有
(8.32)
显然对任何随机过程都成立，而对于平衡时间序列显然有。
根据定义，很容易求出例8.1——例8.4中的随机时间序列的自相关函数。例如，例8.1所表示的过程是一个纯随机过程，它的自相关函数为。
刻画随机过程性质的一些数字特征，只有在随机过程的生成机制是已知时才能精确地求出。但对于一个具体的经济时间序列来说，其“背后”的生成机制是不可能精确地知道的，所以时间序列“背后”的随机时间序列的诸如均值、方差、自协方差和自相关函数是不可能精确求出的，我们所能做的只是根据可得的或可观测的时间序列(可看作是随机过程的一个实现)来估计随机时间序列的数字特征。这些估计的数字特征称为样本数字特征：如样本均值、样本方差、样本自协方差和样本自相关函数等。
时间序列的样本均值定义为
(8.33)
时间序列样本方差定义为
(8.34)
时间序列样本自协方差定义为
(8.35)
时间序列样本自相关函数定义为
(8.36)
显然，对样本自相关函数而言，我们有

由于样本自相关函数关于原点的对称性，所以，在作以k为横坐标，以为纵坐标的样本自相关图时，只须画出k为正值的情形。
关于用样本数字特征来估计随机时间序列的数字特征的一个问题是：样本数字特征是在不同时间点上的样本值或样本值的函数的平均，而随机时间序列的数字特征是在同一时间点上的随机变量的数字特征，用这样的样本数字特征来估计随机时间序列的数字特征具有合理性吗？或者说，这样的估计是一致的吗？对于协方差平稳的随机时间序列而言，回答是肯定的，其理论证明所涉及的渐近理论超出了本书的范围，在这里就不介绍了 对平稳的随机时间序列而言，如果它的一个时间序列样本的样本数字特征能收敛于相应的随机时间序列的数字特征，我们可以称这样的随机时时间序列关于所研究的数字特征具有遍历性。对此的研究可参见詹姆斯 D. 汉密尔顿[美]著，刘明志译《时间序列分析》，第218——234页，中国社会科学出版社，1999。
。作为一个相当非正式的检验，下面我们通过样本自相关函数来判断某一时间序列的平稳性。
三 根据样本自相关函数的平稳性检验
1 根据样本自相关图的平稳性检验。一般来说，承随着k的增大，样本自相关函数的值很快地下降为零时，产生这样的样本的随机时间序列往往是平稳的，反之当样本自相关函数不随关k的增大而快速下降为零时，往往表明时间序列不平稳。通过样本自相关图便可清楚地看到是否很快地随着k的增大而下降为零。让我们通过一个例子来说明。
例8.6 表8.1是按当年的绝对量计算的中国的GDP序列及其对数的序列，GDP的对数ln(GDP)所构成的时间序列可看成是一个随机时间序列的实现，此时间序列是平稳的吗？

表8.1按当年绝对量计算的中国的GDP及其对数序列
年份
GDP(亿元)
ln(GDP)
年份
GDP(亿元)
ln(GDP)
1978
3624.1
8.195361261
1991
21617.8
9.981272328
1979
4038.2
8.303554327
1992
26638.1
10.1900978
1980
4517.8
8.415780429
1993
34634.4
10.45260269
1981
4862.4
8.489287422
1994
46759.4
10.75277058
1982
5294.7
8.574461599
1995
58478.1
10.9764076
1983
5934.5
8.688538057
1996
67884.6
11.12556448
1984
7171
8.877800394
1997
74462.6
11.21805226
1985
8964.4
9.101016457
1998
78345.2
11.26887998
1986
10202.2
9.230358662
1999
82067.46
11.31529687
1987
11962.5
9.389532036
2000
89442.2
11.40134789
1988
14928.3
9.611014019
2001
95933.3
11.47140844
1989
16909.2
9.735613131
2002
105172.3
11.56335524
1990
18547.9
9.828111854
2003
116898.4
11.66906046
资料来源：中华人民共和国统计局网站
在以年份为横轴GDP的对数为纵轴的坐标系中作曲线图如图8.2所示。

图8.2 中国GDP对数曲线图

从图8.2中可以看出ln(GDP)有明显的趋势，所以它是非平稳的。关于这一结论能否从样本自样关图中看出呢？为此先计算当k取值分别为1到9时，样本自相关函数的所对应的值如下表所示：
k
1
2
3
4
5
6
7
8
9

0.906
0.806
0.703
0.593
0.48
0.362
0.245
0.132
0.022
根据上表，以滞后期k为横轴以样本自相关函数为纵轴作样本自相关图如图8.3所示。

图8.3 的样本自相关图
从图8.3中明显看出，的样本自相关函数，并不是随着k的增大而快速地下降为零，所以，从样本自相关图也能看出非平稳性。
2 自相关函数的值是否为零的检验。注意到平稳随机序列的一个特例：纯随机过程，其中为白噪声过程。这个纯随机过程的所有滞后期大于零的自相关函数的值都为零，据此可构造一些检验来说明，一个现实的时间序列是否有一定的可靠性来自纯随机过程，如果是，我们就有同样的可靠性声称该时间序列是平稳的。
巴特利特(Bartlett)曾表明，如果一个时间序列是纯随机的，则对所有的滞后期大于或等于1的样本自相关系数(样本自相关函数的取值)近似地服从均值为零，方差为(n为序列观测值的个数)的正态分布。因此，如果某时间序列由100个数据点构成，则任何滞后期大于或等于1的样本自相关系数的标准差近似地为0.1，如果某个自相关系数大于0.2，因为(置信度为95%时，z统计量的临界值)，所以我们就有95%的把握认为真正的自相关系数(即随机时间序列的自相关系数)不为零 转引自[美]罗伯特 S. 平狄克，丹尼尔 L. 鲁宾费尔德箸，钱小军等译《计量经济模型与经济预测》(Edition)，机械工业出版社，2003年12月。
。例如，根据在例8.6中的值可计算z统计量，并根据z统计量的值与显著性水平为5%时z统计量的临界值(1.96)的对比，便可决定是否拒绝的假设。其计算结果如下表：
k
1
2
3
4
5
6
7
8
9

0.906
0.806
0.703
0.593
0.48
0.362
0.245
0.132
0.022
z
4.62
4.11
3.58
3.02
2.45
1.85
1.25
0.673
0.112
是否拒绝
拒绝
拒绝
拒绝
拒绝
拒绝
不
拒绝
不
拒绝
不
拒绝
不
拒绝

为了检验联合假设：全部自相关系数，我们可以使用由博克斯(Box)和皮尔斯(Pierce)推演出的Q统计量，其定义为：
(8.37)
其中，n为序列观测值的个数，m为最大滞后长度。
Q统计量近似地(即在大样本中)服从自由度为m的分布。可根据按(8.37)式所计算出的Q统计量的值与在一定显著性水平下的分布的临界值的对比来决定是否拒绝全部自相关系数的联合假设。如果Q统计量的值大于一定显著性水平下的分布的临界值，则拒绝联合假设；否则不拒绝。例如，根据在例8.6中的值可计算Q统计量，并根据Q统计量的值与显著性水平为5%时Q统计量的临界值(的对比，便可决定是否拒绝全部自相关系数的假设。事实上，

故拒绝全部自相关系数的联合假设。
应用杨—博克斯(Ljung and Box, 1978)的LB 统计量来检验全部自相关系数均为零的联合假设对于小样本更适合，因为它有较好的小样本性质。LB 统计量定义为：
(8.38)
它也服从自由度为m的分布。
关于平稳性的一个较为正式的检验即单位根检验，将在本章第三节介绍。
第二节 非平稳的时间序列
我们在实际中遇到的时间序列很少属于平稳序列。然而，幸运的是，我们遇到的大多数非平稳时间序列有较好的特性：有的时间序列有确定性趋势，排除这个趋后就成为平稳的时间序列；有的通过一次或多次差分后成为平稳的时间序列。前者称为趋势平稳(TS)的时间序列，后者称为差分平稳(DS)的时间序列。
一 趋势平稳的时间序列
如果时间序列是由下式所生成的，则称这样的时间序列为趋势平稳的时间序列。
(8.39)
其中，是时间t的一个确定性函数，是一个白噪声过程。在本书中仅考虑线性趋势的情形即只考虑。当确定性的趋势为线性函数时，趋势平稳的时间序列(8.39)式特殊化为：
(8.40)
线性趋势平稳的时间序列的显著特点是：当我们将时间序列中的完全确定的线性趋势去掉以后所形成的时间序列就是一个平稳的时间序列。即如果时间序列是线性趋势平稳的，当且仅当存在确定的线性函数，使得
(8.41)
为一平稳的时间序列。
如果一个时间序列是线性趋势平稳的，那么我们就可以利用所观测到的时间序列数据，用最小二乘法估计出这个趋势，进而利用所估计出的趋势进行趋势预测。然而，如果一个时间序列不是趋势平稳的，而我们仍进行趋势分析或趋势预测则会出现严重的错误，这种错误是经典统计预测中经常出现的一种：时间序列本无确定的趋势，而经典统计预测要强加给它一种趋势比如线性趋势，并用一定的方法比如最小二乘法估计出这一个并不存在的趋势。或者，时间序列可能有比喻上升的趋势，但是这种趋势并不是确定的，这种趋势本身也是随机的，如果硬要估计出一个比如说线性的趋势出来，以此代替本不存在的总体确定性趋势。这是很严重的错误。
因此，对一个明显上升的时间序列是否真能用比方说线性函数来拟合这种上升，就一定要对类似于(8.41)式的时间序列进行平稳性检验。但由于其中的系数是不可得的，所以我们无法直接利用本章第一节的方法进行平稳性检验。一个变通的方法是，首先估计(8.40)式中的回归系数得出残差序列
(8.42)
然后，利用本章第一节的方法对残差序列进行平稳性检验。当然，这只是一个相当近似的方法。一个检验时间序列趋势平衡的正式方法将在本章第三节中介绍。
二 差分平稳的时间序列
如果经过一次或多次差分后成为平稳的时间序列称为差分平衡的时间序列或称齐次非平衡时间序列，使原序列成为平稳序列所要进行差分的次数称为齐次非平稳序列的阶。可证差分平稳的时间序列都是非平稳的时间序列(如果差分次数大于或等1)。
一阶差分平稳的时间序列也称为一阶求积序列，记为I(1)；二阶差分平稳的时间序列也称为二阶求积序列，记为I(2)；一般地，d阶差分平稳序列又称为d阶求积序列，记为I(d)。按习惯，如果，也就是原时间序列本身就是平稳的，则称称为零阶求序列，记为I(0)，即平稳的时间序列与I(0)序列为同义语。
记一阶差分为，则

记二阶差分为，则

记d阶差分为，则

注意到求积过程的运算性质：
1 若随机时间序列是I过程，随机时间序列是I过程，且，则随机过程为I过程。只要对两边进行次与次差分即可知该性质成立。例如，如果是I(1)过程，是I(0)过程，则随机过程将是I(1)过程。
2 若随机时间序列和都是I(1)过程，则一般来说随机时间序列随机时间序列是I(1)过程；但在个别情况下(当时，就只有一种情况)，随机时间序列是I(0)过程。如果出现了后者，我们称随机时间序列和有协整关系。有关协整关系的讨论将在本章第四节中进行。
例8.7 随机步游。如果时间序列的每一次变化均来自于一个白噪声，即
(8.43)
其中为白噪声过程。则称时间序列为一个随机步游。随机步游的特点是时间序列的每一次的值都是在其前一次的基础上随机地扰动，就好象一个醉汉的步行一样——他的每下一步都是在他现有位置的基础上随机地迈出。显然随机步游是一阶求积过程即I(1)过程。易证随机步游是一个非平稳过程。
如果时间序列
(8.44)
其中c是一常数，为白噪声过程。则称这样的随机时间序列为带飘移的随机步游。如果，则意味着平均而言向上飘移；如果，则意味着平均而言向下飘移。显然带飘移的随机步游也是I(1)过程。
对于一个观测得到的时间序列(可看作是随机时间序列的一个实现)，我们怎知它是一个随机步游或者是一个I(1)过程呢？一个粗略的办法是根据可得的时间序列数据作一阶差分，然后对差分所得序列，按本章第一节的方法即通过的自相关图或Q统计量进行的平稳性检验。如果检验是平稳的，则可认为原随机时间序列是I(1)过程。关于一阶求积过程的正式检验将在本章第三节中介绍。
三 谬误回归
在本章第一节的开场白中曾声称对时间序列数据的回归模型而言，当模型中的变量中有非平稳的时间序列时，容易产生模型的误设。现在我们通过简单的例子来讨论这种情况。假设和分别由下列方程所产生的随机步游：

其中，是独立同分布的白噪声，为简单起见，设，还假设和是相互独立的过程。这样，和也是相互独立的。所以按理对的回归中的斜率项系数应该不显著。但是实际情况会怎样呢？
假若我们做对的回归，根据样本时间序列资料得：

假如我们在5%的显著性水平上用t检验对斜率项系数进行显著性检验，按理我们应该不拒绝斜率项系数的假设。然而通过蒙特卡罗模拟，格兰杰和纽博尔德(Granger and Newbold, 1974)指出事实并非如此 参见C. J.Granger and P. Newbold, “Spurous Regression in Econometrics”, Journal of Econometrics, vol. 2 1974, pp 111-140.
，即使和是相互独立的，在很大比例的蒙特卡罗模拟次数里，对的回归会产生斜率系数在统计上显著的t统计量。格兰杰和纽博尔德称这种情况为谬误回归问题：和之间根本没有什么关系，但OLS回归往往显示它们之间存在某种关系。
从理论上看，如果我们做随机步游对随机步游的回归：

当和是相互独立时，理该为零，但若，则为一(带标移的)随机步游。从而使经典回归毫无意义。
在回归方程中增加一个时间趋也不会对上述结论有所改观。
总之，我们的结论是：当回归模型中出现非平稳时间序列比方说I(1)过程时，出现谬误回归的可能性是很大的。所以当涉及时间序列的回归分析时，要十分小心，以免发生谬误回归。一个直接根据最小二乘回归的结果判断是否存在谬误回归问题的经验规则由格兰杰和纽博尔德给出参见C. J.Granger and P. Newbold, “Spurous Regression in Econometrics”, Journal of Econometrics, vol. 2 1974, pp 111-140。
：当最小二乘回归的决定系数大于德宾—沃森d统计量时，即当时，所估计的回归就有谬误回归之嫌。一个正式的判断将在本章第四节中介绍。
例8.8 蒙特卡罗模拟。根据随机步游和并令它们初始值和均为零，利用随机数发生器，在和为高斯白噪声过程(即独立同服从均值为零的正态分布的随机过程)提前下产生和的50个观测值如表8.2所示。
利用表8.2中的数据，做对的最小二乘回归，得如下结果：

上式括号中的数字为其所对应系数的t统计量。显然前系数的t统计量值为3.946，其精确显著性水平为，所以斜率系数是相当显著的。然而，从我们产生随机步游的过程来看，与是相互独立的，它们之间无任何关系。毫无疑问，上述回归是谬误回归。

表8.2 根据两个随机步游产生的两个时间序列
t

t

1
-0.03098
-0.00827
26
0.131444
-0.60062
2
0.025942
-0.18847
27
0.134278
-0.54021
3
0.038957
-0.35056
28
0.155876
-0.51643
4
0.029906
-0.26339
29
-0.06298
-0.56169
5
0.050089
-0.20235
30
-0.0763
-0.68728
6
0.118683
-0.29778
31
-0.34648
-0.71907
7
0.046383
-0.36513
32
-0.34519
-0.71217
8
0.07639
-0.32938
33
-0.40316
-0.5894
9
0.101873
-0.17403
34
-0.22985
-0.75348
10
0.207728
-0.39692
35
-0.24682
-0.85024
11
0.13081
-0.28132
36
-0.31188
-0.7659
12
0.15657
-0.34407
37
-0.41986
-0.77341
13
0.16001
-0.40449
38
-0.51398
-0.83622
14
0.111754
-0.47815
39
-0.685
-0.98096
15
0.219559
-0.3793
40
-0.59951
-0.8561
16
0.310504
-0.51461
41
-0.75623
-0.70581
17
0.249222
-0.54102
42
-0.71017
-0.72688
18
0.267146
-0.6313
43
-0.69662
-0.65086
19
0.095591
-0.62082
44
-0.66893
-0.5231
20
0.183198
-0.69705
45
-0.72184
-0.40094
21
0.133736
-0.66379
46
-0.73139
-0.53983
22
0.193832
-0.69798
47
-0.71128
-0.56961
23
0.313042
-0.59067
48
-0.71717
-0.77279
24
0.270662
-0.65809
49
-0.74124
-0.85002
25
0.219568
-0.59473
50
-0.78853
-0.83365

假设我们不考虑与的生成机制，只观测到由表8.2中的时间序列数据，我们可用格兰杰和纽博尔德给出的经验规则初步判断这个回归是否有有谬误回归之嫌：因为

由格兰杰和纽博尔德给出的经验规则知，这个回归确定有谬误回归之嫌。

第三节 单位根检验
前面叙述了检验非平稳性或平稳性，趋势平衡和差分平稳的一些经验规则。但是，在很多情况下，需要较正式的检验方法。单位根检验就是现代计量经济分析检验一个时间序列是否由一个差分平稳过程I(d)所产生和一个时间序列是否由一个趋势平稳过程所产生的正式方法。由于高阶差分平稳过程是对低一阶的差分的一阶差分，所以，对高阶差分平稳过程的研究只不过是对一阶差分平稳过程的研究的一个简单推广。因此，我们主要介绍一个时间序列是由平稳随机过程所产生还是由一阶差分过程所产生以及一个时间序列是否由一趋势平稳过程所产生的单位根检验方法。

一 时间序列是否由随机步游所产生的单位根检验

设时间序列由方程
(8.45)
所产生。其中，是一高斯白噪声过程。如果，则称为一个单位根过程，或者说，有一个单位根。单位根检验就是根据已观测到的时间序列，检验产生这个时间序列的随机过程(8.45)中的一阶自回归系数是否为1。
注意到(8.45)可写成：
(8.46)
其中。根据所观测到的时间序列数据检验是否为1，等价于检验是否为零，这就是一个显著性检验的问题。所以我们可得其检验过程：
首先，根据所观测到的时间序列数据，利用最小二乘法估计(8.46)中的回归系数，得到其估计值；
其次仍根据最小二乘法估计的标准差，得其估计值即的标准误(但统计量并不服从t分布，其极限分布由富勒(Fuller)所解决 Wayne A. Fuller, Introduction to Statistical Time Series, Wiley, 1976, p.366-382.
，并由迪基(Dickey)给出其分布的经验上的粗略估计。所以单位根检验又称迪基-富勒(DF)检验)；
第三，将所得值与其分布的给定显著性水平下的渐近临界值进行对比。麦金农(James G. MacKinnin, 1991)通过数字模拟给出了这些临界值，见表8.3

表8.3 单位根检验的渐近临界值

1%
2.5%
5%
10%

-2.56
-2.23
-1.94
-1.62

-3.43
-3.12
-2.86
-2.57

-3.96
-3.66
-3.41
-3.13
若>，则不拒绝=0的假设，即时间序列有一个单位根，所检验的时间序列是一个纯随机步游(在给定显著性水平为下)；
若<，则拒绝=0的假设，这时时间序列没有单位根，所检验的时间序列是平稳的(在给定显著性水平为下)。

二 时间序列是否由带飘移的随机步游所产生的单位根检验

设时间序列由方程
(8.47)
所产生。其中，是一高斯白噪声过程。如果，则称为一个单位根过程，或者说，有一个单位根。单位根检验就是根据已观测到的时间序列，检验产生这个时间序列的随机过程(8.47)中的一阶自回归系数是否为1 当时，(8.45)式可写成，滞后多项式以1作为它的一个特征根，故称当时，随机过程是一个单位根过程。只有一个单位根的随机过程就是一阶差分平稳过程即I(1)过程。考虑一阶差分，如果中，则可用滞后算子将该式写为，其滞后多项式有两个特征根，它们是(是虚数单位)，显然，这两个根都在单位园上，故的滞后多项式有且只有两个单位根，这时为二阶差分平稳过程即I(2)过程。一般地，随机过程若由所产生，如果特征多项式有且只有d个单位根(在单位园上的根)，其它的根都在单位园以外，则我们说这个随机过程有且只d个单位根，而这个随机过程就是一个I(d)过程。还要注意到上面式子中的是一高斯白噪声过程，而c可以是常数，也可以是一个平稳过程。但是，当是二次及以上的多项式时，下文中用来检验一个时间序列是否为单位根过程的DF检验的临界值即表8.3中的值就不合适了，这时的检验称为增广迪基-富勒检验简记为ADF检验，其临界值要根据不同的，进行数字模拟得到。
。
注意到(8.47)可写成：
(8.48)
其中。根据所观测到的时间序列数据检验是否为1，等价于检验是否为零，这就是一个显著性检验的问题。所以我们可得其检验过程：
首先，根据所观测到的时间序列数据，利用最小二乘法估计(8.48)中的回归系数，得到其估计值；
其次仍根据最小二乘法估计的标准差，得其估计值即的标准误(但统计量并不服从t分布，其极限分布由如前所述，已由富勒(Fuller)所解决 Wayne A. Fuller, Introduction to Statistical Time Series, Wiley, 1976, p.366-382.
，并由迪基(Dickey)给出其分布的经验上的粗略估计。所以单位根检验又称迪基-富勒(DF)检验)；
第三，将所得值与其分布的给定显著性水平下的渐近临界值进行对比。麦金农(James G. MacKinnin, 1991)通过数字模拟给出了这些临界值，见表8.3(注意表示对时间序列是否由带飘移的随机步游所产生进行检验进的统计量，其临界值与检验时间序列是否由纯随机步游所产生的统计量的临界值是不同的，所以在表8.3中有不同的下标表示不同情况下的统计量，如下标为nc表示不带常数项的一阶差过程，下标c表示带常数项的一阶差过程，而下标ct则表示既带常数项又有时间趋势的单位根过程)。
若>，则不拒绝=0的假设，即时间序列有一个单位根，所检验的时间序列是一个带飘移的随机步游(在给定显著性水平为下)；
若<，则拒绝=0的假设，这时时间序列没有单位根，所检验的时间序列是平稳的(在给定显著性水平为下)。
然而，在现实经济时间序列中，由于我们很难保证它是一个AR(1)过程，即很难保证按(8.47)或(8.48)所设定的模型中的随机扰动项是一个白噪声过程，为了解决这个问题，常在模型中增加差分的滞后项作为解释变量即做对的回归，然后再按上述程序对前的系数进行检验，这个检验被称为增广迪基-富勒检验简记为ADF检验。在充分考虑了滞后项的情况下其渐近临界值仍可用表8.3中的数值代替，但严格来说，就根据滞后项数的不同通过数字模拟重新估算在不同显著性水平下的临界值。至于滞后长度的确定可按第六章所介绍的方法。但一般来说，对年度时间序列而言，在模型中所加入的差分滞后长度一般为1-2期，对月度时间序列而言，在模型中所加入的差分滞后长度应在12期以上。

三 时间序列是否由带趋势的单位根过程所产生的检验

设时间序列由方程
(8.49)
所产生。其中，是一高斯白噪声过程。如果，