四川省绵阳市2012届高三第三次诊断性考试(数学文).doc

保密★启用前【考试时间：2012年4月21日15:00—17:00】
绵阳市高中2012级第三次诊断性考试数学（文科）
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.第I卷1至3页，第II卷3至4页.满分150分.考试时间120分钟.
第I卷（选择题,共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合M={x||x|<3},N=x|y=lg(x-l)} ,则 MN=
(A) {x|<x<3} (B) {x|x>-3}
(C) {x|-3<x<1} (D) {x|-3<x<3}
2. 设a, b，c 为实数，则 “a<b” 是 “ac2<bc2” 的
(A)充分不必要条件 （B)必要不充分条件
(C)充要条件 （D)既不充分也不必要条件
3. 某校高三考生参加某高校自主招生面试时，五位评委给分如下：
9.0 9.1 8.9 9.2 8.8
则五位评委给分的方差为
(A) 0.02 (B) 0.1 (C) (D) 0.6
4. l1,l2 是空间中两条不同的直线，a,是两个不同的平面，则下列命题正确的是(A) (B)
(C) (D)
5. 函数的图象可由函数y=sinx的图象（纵坐标不变）
(A) 先把各点的横坐标缩短到原来的倍，再向右平移个单位
(B) 先把各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位
(C) 先把各点的横坐标缩短到原来的倍,再向左平移个单位
(D) 先把各点的横坐标伸长到原来的2倍,再向左平移个单位
6. 己知曲线在点(a,b)的处的切线与直线垂直，则a的值是
(A)-1 (B)( C) 1 (D)
7. 设f(X)是定义在R上周期为4的奇函数,当时，，则f(5)的值为
(A) 4 (B) -4 (C) 2 (D) -2
8. 己知正项等差数列的前n项和为Sn 且，M为的等比中项，则M的最大值为
(A) 36 (B) 9 (C) 6 (D) 3
9. 已知点是圆C:内一点，直线l是以M为中点的弦所在的直线，直线m的方程为bx-ay=r2，那么
(A) lm且w与圆C相切 （B)且m与圆C相切
(C) l m且m与圆C相离 （D)且m与圆C相离
10某运输公司有7辆载重量为8吨的A型卡车与4辆载重量为10吨的b型卡车，有9名驾驶员.在建筑某段高速公路中，此公司承包了每天至少搬运360吨沥青的任务•已知每辆卡车每天往返的次数为A型卡车5次，B型卡车6次.每辆卡车每天往返的成本费为A型车160元,5型车180元.该公司每天所花的成本费最低时的派车计划为
(A) A型车3辆与B型车3辆 （B) A型车5辆与B型车3辆
(C) A型车3辆与B型车4辆 （D) A型车5辆与B型车4辆
11. 已知双曲线C;(a>0, b>0)的右焦点为F，过F且斜率为的直线交C于A,B两点,若，则C的离心率为
(A) (B) (C) 2 (D)
12. 形如34021这样的数称为“波浪数”，即十位上的数字、千位上的数字均比与它们各自相邻的数字大，现从由0，1, 2, 3, 4, 5组成的数字不重复的五位数中任取一个，则该数是“波浪数”的概率为
(A) (B) (C) (D)
第II卷（非选择题，共90分）
二、填空题：本大题共4小题,每小题4分，共16分.
13. 拋物线的焦点坐标为________
14. 二项式的展开式中含项的系数为_______(用数字作答）
15. 已知正方体的外接球的体积是，则A、B两点的球面距离为_______
16. 对于定义在区间D上的函数f(X),若存在闭区间和常数c,.使得对任意,都有,且对任意，当时，恒成立，则称函数f(X)为区间D上的“平顶型”函数.给出下列说法：
①“平顶型”函数在定义域内有最大值；
②“平顶型”函数在定义域内一定没有最小值；
③函数为R上的“平顶型”函数；
④函数为R上的“平顶型”函数.
则以上说法中正确的是_______.(填上你认为正确结论的序号）
三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. (本题满分12分）
已知向量.
(I )当m//n时，求的值；
(II)已知在锐角ΔABC中，a，b，c分别为角A,B,C的对边，,函数，求的取值范围.
18. (本题满分12分）
某电视台有A、B两种智力闯关游戏，甲、乙、丙、丁四人参加，其中甲乙两人各自独立进行游戏A，丙丁两人各自独立进行游戏B.已知甲、乙两人各自闯关成功的概率均为，丙、丁两人各自闯关成功的概率均为.
(I) 求游戏A被闯关成功的人数多于游戏B被闯关成功的人数的概率；
(II) 求游戏A、B被闯关成功的总人数为3的概率.
19. (本题满分12分）
正方形与矩形ABCD所在平面互相垂直，,点E为AB的中点.
(I )求证：BD1//平面A1DE
(II )求二面角D1-A1E-D的大小；
(III) 求多面体A1D1DBE的体积.
20. (本题满分12分）
已知为函数的反函数，Sn为数列{an}的前n项和，a1=1，且•
(I )求证：数列是等差数列;
(II)已知数列{bn}满足，Tn是数列{bn}的前n项和，求Tn.
21. (本题满分12分）
在ΔABC中，顶点A，B, C所对三边分别是a, b,c.已知B(-1,0), C(1, 0),且b,a,c成等差数列.
(I )求顶点A的轨迹方程；
(II)设直线l过点B且与点A的轨迹相交于不同的两点M、N如果满足,求l的方程.
22. (本题满分14分）
已知函数（其中a, b为实常数).
(I )讨论函数/Ce)的单调区间；
(II) 当a>0时，函数有三个不同的零点，证明：；
(III) 若f(x)在区间[1,2]上是减函数，设关于X的方程的两个非零实数根为x1, x2.试问是否存在实数m,使得对任意满足条件的a及恒成立？若存在，求m的取值范围；若不存在，请说明理由.

绵阳市高2012级第三次诊断性考试
数学(文)参考解答及评分标准
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．
ABABC BCDCC AD
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．
13． 14．-160 15．arccos 16．①③
三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．解：（I）由m//n，可得3sinx=-cosx，于是tanx=．
∴ ． …………………………4分
（II）∵在△ABC中，A+B=-C，于是，
由正弦定理知：，
∴ ，可解得． ………………………………………………6分
又△ABC为锐角三角形，于是，
∵ =(m+n)·n
=(sinx+cosx，2)·(sinx，-1)
=sin2x+sinxcosx-2
=
=，
∴ ．……………………10分
由得，
∴ 0<sin2B≤1，得<≤．
即．………………………………………………12分
18．解：设“i个人游戏A闯关成功”为事件Ai(i=0，1，2)，“j个人游戏B闯关成功”为事件Bj(j=0，1，2)，
（I）“游戏A被闯关成功的人数多于游戏B被闯关的人数”为A1B0+A2B1+A2B0．
∴ P(A1B0+A2B1+A2B0)
=P(A1B0)+P(A2B1)+P(A2B0)
=P(A1)·P(B0)+P(A2)·P(B1)+P(A2)·P(B0)
=
．
即游戏A被闯关成功的人数多于游戏B被闯关的人数的概率为． ……6分
（II）“游戏A、B被闯关成功的总人数为3”为A2B1+A1B2．
∴ P(A2B1+A1B2)=P(A2B1)+P(A1B2)
  =P(A2)·P(B1)+P(A1)·P(B2)

=．
即游戏A、B被闯关成功的总人数为3的概率为． ……………………12分
19．（I）证明：连结AD1交A1D于F，则F为中点，连结EF，如图．
∵ E为中点，
∴ EF//BD1．
又EF面A1DE，BD1面A1DE，
∴ BD1//面A1DE．……………………………………………………………3分
A1
D1
A
D
E
B
C
F
y
x
z
（II）解：由面ABCD⊥面ADD1A1，且四边形ADD1A1为正方形，四边形ABCD为矩形，得D1D⊥AD，D1D⊥DC，DC⊥DA．于是以D为原点，DA，DC，DD1分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
∴ D(0，0，0)、D1(0，0，1)、A1(1，0，1)、E(1，1，0)，
∴ 、、、．
设面A1DE的一个法向量为n1，面D1A1E的一个法向量为n2，
则 即
解得：n1=(-1，1，1)，n2=(0，1，1)．
设D1-A1E-D的大小为，于是，
∴ ，即二面角D1-A1E-D的大小为．………………5分
（III）解：

  =
  =
  ． ……………………………………………………12分
20．（I）证明：函数f(x)的反函数为（x≠1）．
∵ (n∈N*)，
∴ ，即，
∴ 数列{}是以1为公差，首项． …………………4分
（II）由（I）知，，即．
∴ 当n=1时，an=S1=1，
当n≥2时，，
即 ………………………………………………………6分
由题意得…………………………………………………7分
∴ 当n=1时，Tn=T1=b1=2．
当n≥2时，
Tn=2+1×22+2×23+3×24+…+(n-2)·2n-1+(n-1)·2n，
2Tn=22+1×23+2×24+…+(n-2)·2n+(n-1)·2n+1，
∴ Tn-2Tn=2+23+24+…+2n-(n-1)·2n+1
，
即-Tn=(2-n)·2n+1-6，
∴ Tn=(n-2)·2n+1+6，
经验证n=1时，T1的值也符合此公式，
∴ 对n∈N*，Tn=(n-2)·2n+1+6． …………………………………………12分
21．解：（I）由题知得b+c=4，即|AC|+|AB|=4（定值）．
由椭圆定义知，顶点A的轨迹是以B、C为焦点的椭圆（除去左右顶点），
且其长半轴长为2，半焦距为1，于是短半轴长为．
∴ 顶点A的轨迹方程为． ………………………………4分
（II）∵ ，
∴ ，展开得，
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，于是=(x1-1，y1)，=(x2-1，y2)，
∴ (x1-1，y1)·(x2-1，y2)=0，即(x1-1)(x2-1)+y1y2=0，
整理得 x1x2-(x1+x2)+1+y1y2=0． (*)…………………………………………6分
①直线l的斜率存在时，
由
消去y整理得(3+4k2)x2+8k2x+4k2-12=0，
则．
由(*)式得x1x2-(x1+x2)+1+k2(x1+1)(x2+1)=0，
即(1+k2)x1x2+(k2-1)(x1+x2)+k2+1=0，
∴ ，
整理得，解得k=±.
∴ 直线l的方程为y=x+，或y=-x-．………………10分
②当直线l的斜率不存在时，
l的方程为x=-1，易得M(-1，)，N(-1，)，
∴ ，
∴ 不满足题意．
综上所述，直线l的方程为y=x+，或y=-x-．……12分
22．解：（I）∵ ，
当a=0时，≥0，于是在R上单调递增；
当a>0时，
x∈(0，a)，，得在(0，a)上单调递减；
x∈(-∞，0)∪(a，+∞)，，得在(-∞，0)，(a，+∞)上单调递增；
当a<0时，
，，得在(0，a)上单调递减；
x∈(-∞，a)∪(0，+∞)，得在(-∞，a)，(0，+∞)上单调递增．
综上所述：当a=0时，f(x)的增区间为(-∞，+∞)；
当a>0时，f(x)的增区间为(-∞，0)，(a，+∞)；f(x)的减区间为(0，a)；
当a<0时，f(x)的增区间为(-∞，a)，(0，+∞)；f(x)的减区间为(a，0)．
………………………………………………………3分
（II）当a>0时，由（I）得f(x)在(-∞，0)，(a，+∞)上是增函数，f(x)在(0，a)上是减函数；
则f(x)的极大值为f(0)=a+b，f(x)的极小值为f(a)=a+b-a3．
要使f(x)有三个不同的零点，
则 即
可得-a<b<a3-a．………………………………………………………………8分
（III）由2x3-3ax2+a+b=x3-2ax2+3x+a+b，
得x3-ax2-3x=0即x(x2-ax-3)=0，
由题意得x2-ax-3=0有两非零实数根x1，x2，
则x1+x2=a，x1x2=-3，
即.
∵ f (x)在[1，2]上是减函数，
∴ ≤0在[1，2]上恒成立，
其中x-a≤0即x≤a在[1，2]上恒成立，
∴ a≥2．
∴ ≥4．
假设存在实数m满足条件，则m2+tm+1≤()min，即m2+tm+1≤4，即m2+tm-3≤0在t∈[-1，1]上恒成立，
∴ 解得．
∴ 存在实数m满足条件，此时m∈[]． ……………14分