能力梯级提升·思维高效训练 选修4-4.doc

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能力梯级提升·思维高效训练
1.(2011·北京高考改编)在极坐标系中，圆ρ=-2sinθ的圆心的极坐标是_____.
2.曲线(t为参数)的焦点为________.
3.点M的直角坐标是(1,-)，则点M的极坐标为_______.
4.在极坐标系中，点(2，)到圆ρ=2cosθ的圆心的距离为________.
5.若点P(-2 011,2 012)经过伸缩变换后的点在曲线x′y′=k上，则k=_________.
6.若直线的参数方程为(t为参数)，则直线的斜率等于______.
7.(2011·东莞模拟)在极坐标系中，点(1,0)到直线ρ(cosθ+sinθ)=2的距离为___________．
8.在以O为极点的极坐标系中，直线l的极坐标方程是ρcosθ-2=0，直线l与极轴相交于点M，以OM为直径的圆的极坐标方程是__________.
9.(2011·陕西高考)直角坐标系xOy中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点A，B分别在曲线C1：(θ为参数)和曲线C2：ρ=1上，则|AB|的最小值为________．
10.在极坐标系中，曲线ρ=-4sinθ和ρcosθ=1相交于点A,B，则|AB|＝_____.
11.(2011·中山模拟)极坐标系下，直线ρcos(θ-)=与圆ρ=的公共点的个数是_________.
12.在极坐标系中，O为极点，设点A(4，)，B(5，)，则△OAB的面积为_______.
13.若直线ρsin(θ-)=a,a∈R被圆ρ=-4sinθ截得的弦长为，则实数a=_________.
14.(2011·沈阳模拟)已知直线l的参数方程为(t为参数)，曲线C的极坐标方程是ρ=，以极点为原点，极轴为x轴正方向建立平面直角坐标系，点M(-1,0)，直线l与曲线C交于A、B两点，则|MA|·|MB|=________．
15.(2011·广东高考)已知两曲线参数方程分别为 (0≤θ<π)和(t∈R),它们的交点坐标为___________.
16.以平面直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l：(t为参数)，与圆C：ρ=8sinθ的位置关系为________.
17.已知直线C1：(t为参数)，C2：(θ为参数)，
若α=，则C1与C2的交点的直角坐标为___________.
18.在极坐标系(ρ，θ)(0≤θ<2π)中，曲线ρ(cosθ+sinθ)=1与ρ(sinθ-cosθ)=1的交点的极坐标为________.
19.若两条曲线的极坐标方程分别为ρ=1与ρ=2cos(θ+)，且它们相交于A、B两点，则|AB|=_________.
20.已知曲线C的极坐标方程是ρ=2sinθ，直线l的参数方程是(t为参数).设直线l与x轴的交点是M，N为曲线C上一动点，则|MN|的最大值为_________.

答案解析
1.【解析】由ρ=-2sinθ，得ρ2=-2ρsinθ,化为普通方程为x2+(y+1)2=1，其圆心坐标为(0，－1)，所以其极坐标为(1,-).
答案：(1,-)
2.【解析】由题意，曲线(t为参数)即抛物线x2=4y，所以焦点为(0，1).
答案：(0，1)
3．【解析】∵ρ= =2,
tanθ=
且点(1,)在第四象限,∴θ=
答案：(2,)
4.【解析】方法一：由得点(2,)的直角坐标为(1,),圆ρ=2cosθ的直角坐标方程为x2+y2=2x,即(x-1)2+y2=1，即圆心坐标(1,0)到点(1，)的距离为.
方法二：由x=ρcosθ,y=ρsinθ,
及ρ=2cosθ，
得x=2cos2θ，y=2cosθsinθ,
则x=1+cos2θ,y=sin2θ,所以(x-1)2+y2=1，即圆心坐标为(1,0)，而点(2，)在直角坐标系中的坐标为(1，)，所以两点间的距离为.
答案：
5.【解析】∵P(-2 011,2 012)经过伸缩变换
得,代入x′y′=k，
得k=x′y′=-1.
答案：-1
6.【解析】由直线的参数方程为(t为参数)，消去t，得直线的普通方程为y=，故直线的斜率k=
答案：
7.【解析】直线ρ(cosθ+sinθ)=2的直角坐标方程为x+y-2=0，所以点(1,0)到该直线的距离为d=
答案：
8.【解析】直线l:ρcosθ-2=0的普通方程是x=2，直线l与x轴相交于点M(2,0)，以OM为直径的圆的普通方程为(x-1)2+y2=1，即x2-2x+y2=0，
化为极坐标方程是ρ2-2ρcosθ=0，
即ρ=2cosθ.
答案：ρ=2cosθ
9.【解析】曲线C1的直角坐标方程是(x-3)2+(y-4)2=1，
曲线C2的直角坐标方程是x2+y2=1，由于两圆外离，
所以|AB|的最小值为-1-1=3．
答案：3
10.【解析】由ρ=-4sinθ得ρ2=-4ρsinθ，于是在平面直角坐标系中，曲线的直角坐标方程为x2+y2=-4y,
∴x2+(y+2)2=4.
而ρcosθ=1表示直线x=1，代入上式得(y+2)2=3，
解得y1=-2+,y2=-2-.
易知|AB|＝.
答案：
11.【解析】直线方程ρcos(θ-)=即ρ(cosθ+sinθ)=，所以直角坐标方程为x+y-2=0.
圆的方程ρ=即ρ2=2，所以直角坐标方程为x2+y2=2，
因为圆心到直线的距离为d==r，
所以直线与圆相切，即公共点的个数是1.
答案：1
12.【解析】点B(5，)即B(5，)，且点A(4，)，
∴∠AOB=
所以△OAB的面积为S=·OA·OB·sin∠AOB
=·4·5·
=·4·5·=5.
答案：5
13.【解析】直线ρsin(θ-)=a,a∈R与圆ρ=-4sinθ的直角坐标方程分别为y=x+2a，x2+(y+2)2=4，圆心C(0，-2)到直线x-y+2a=0的距离为d=，由于直线ρsin(θ-)=a,a∈R被圆ρ=-4sinθ截得的弦长为，依题意，得即d2=r2-2，∴d2=2，(1+a)2=1，解得a=0或-2.
答案：0或-2
14.【解析】曲线C：ρ=
即(ρcosθ)2=ρsinθ，所以曲线的普通方程为y=x2.
将代入y=x2
得t2-t+2=0，∴t1t2=2，
∴|MA|·|MB|=|t1t2|=2.
答案：2
15.【解析】分别将两曲线的参数方程化为普通方程得
+y2=1(0≤y≤1)与y2=x(x≥0),
联立得x2+4x-5=0,
解得x=-5(舍去)，x=1,得y=
答案：(1,)
16.【解析】直线l的直角坐标方程是x-y-5-=0，
圆C：ρ=8sinθ的直角坐标方程为x2+y2-8y=0，圆心(0,4)到直线的距离为＞4，
所以直线l和圆C相离.
答案：相离
17.【解析】当α=时，C1的普通方程为y= (x-1)，C2的普通方程为x2+y2=1.联立方程组，解得C1与C2的交点坐标为(1,0)，().
答案：(1,0)，()
18.【解析】曲线ρ(cosθ+sinθ)=1与ρ(sinθ-cosθ)=1的直角坐标方程分别为x+y=1和y-x=1，两条直线的交点的直角坐标为(0,1)，化为极坐标为(1,).
答案：(1,)
19.【解析】由ρ=1得x2+y2=1,由ρ=2cos(θ+)得
ρ=cosθ-sinθ,∴ρ2=ρcosθ-ρsinθ，
∴x2+y2-x+y=0，
由得
∴|AB|=
答案：
20.【解析】曲线C的极坐标方程可化为ρ2=2ρsinθ，
由x2+y2=ρ2,x=ρcosθ,y=ρsinθ.
得曲线C的直角坐标方程为x2+y2-2y=0.
直线l的普通方程为y=(x-2)，
令y=0得x=2，即M点的坐标为(2，0).
又曲线C为圆，圆C的圆心坐标为(0，1)，
半径r=1,则|MC|=，
∴|MN|≤|MC|+r=+1，
所以|MN|的最大值为+1.
答案：+1

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