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第8章 第4节
一、选择题
1．平面α垂直于平面β(α、β为不重合的平面)成立的一个充分条件是( )
A．存在一条直线l，l⊥α，l⊥β
B．存在一个平面γ，γ∥α，γ∥β
C．存在一个平面γ，γ⊥α，γ⊥β
D．存在一条直线l，l⊥α，l∥β
[分析] 本题主要考查立体几何及简易逻辑的有关知识．由充分条件的含义可知本题就是要从四个选项中寻求使平面α⊥平面β成立的一个条件．
[答案] D
[解析] 对于选项A，l⊥α，l⊥β⇒α∥β；对于选项B，γ∥α，γ∥β⇒α∥β；对于选项C，当γ⊥α，γ⊥β成立时，平面α，β的关系是不确定的；对于选项D，当l⊥α，l∥β成立时，说明在β内必存在一条直线m，满足m⊥α，从而有α⊥β成立．
2．在正四面体P－ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，下面四个结论中不成立的是( )
A．BC∥平面PDF
B．DF⊥平面PAE
C．平面PDF⊥平面ABC
D．平面PAE⊥平面ABC
[答案] C
[解析] ∵D、F分别为AB、CA中点，
∴DF∥BC.
∴BC∥面PDF，故A正确．
又∵P－ABC为正四面体，
∴P在底面ABC内的射影O在AE上．
∴PO⊥面ABC.∴PO⊥DF.
又∵E为BC中点，
∴AE⊥BC，∴AE⊥DF.
又∵PO∩AE＝O，∴DF⊥面PAE，故B正确．
又∵PO面PAE，PO⊥面ABC，
∴面PAE⊥面ABC，故D正确．
∴四个结论中不成立的是C.
3．定点A和B都在平面α内，定点P∉α，PB⊥α，C是α内异于A和B的动点，且PC⊥AC.那么，动点C在平面α内的轨迹是( )
A．一条线段，但要去掉两个点
B．一个圆，但要去掉两个点
C．一个椭圆，但要去掉两个点
D．半圆，但要去掉两个点
[答案] B
[解析] 连接BC，∵PB⊥α，
∴AC⊥PB.
又∵PC⊥AC，
∴AC⊥BC.
∴C在以AB为直径的圆上．故选B.
4．设四面体ABCD各棱长均相等，E、F分别为AC，AD的中点，如右图，则△BEF在该四面体的面ABC的上射影是下图中的( )
[答案] B
[解析] 取BC中点G，连接AG、DG，可证AD在面ABC的上射影为AG，则F在面ABC上的射影在AG上．
5．如图(1)所示，在正方形SG1G2G3中，E、F分别是边G1G2，G2G3的中点，D是EF中点，现沿SE、SF及EF把这个正方形折成一个几何体(如图(2)所示)，使G1、G2、G3三点重合于点G，这样，下面结论成立的是( )
A．SG⊥平面EFG B．SD⊥平面EFG
C．GF⊥平面SEF D．GD⊥平面SEF
[答案] A
[解析] (1)直接法
在图(1)中，SG1⊥G1E，SG3⊥G3F，在图(2)中，SG⊥GE，SG⊥GF，∴SG⊥平面EFG.
(2)(排除法)
GF即G3F不垂直于SF，
∴可以否定C；△GSD中，GS＝a(正方形边长)，
GD＝a，SD＝a，
∴SG2≠SD2＋GD2，∠SDG≠90°，从而否定B和D.
6．(文)(教材改编题)“直线与平面α内无数条直线垂直”是“直线与平面α垂直的”( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分又不必要条件
[答案] B
[解析] 由直线与平面垂直的定义知，为必要不充分条件．
(理)如图所示，过正方形ABCD的顶点A，引PA⊥平面ABCD，若PA＝AB，则平面ABP和平面CDP所成的二面角的大小是( )
A．30° B．45° C．60° D．90°
[答案] B
[解析] 过P作PQ∥AB.则PQ为面ABP与面CDP的交线，
∵AP⊥AB，∴AP⊥PQ.
又CD⊥AD且CD⊥AP，
∴CD⊥DP，即DP⊥PQ所以∠DPA为所求的二面角的平面角．
显然∠DPA＝45°，故选B.
7．设m、n是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面．给出下列四个命题：
①若m⊥α，n∥α，则m⊥n；
②若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ；
③若m∥α，n∥α，则m∥n；
④若a⊥γ，β⊥γ，则α∥β.
其中正确命题的序号是( )
A．①和② B．②和③
C．③和④ D．①和④
[答案] A
8．(文)a、b为不重合的直线，α，β为不重合的平面，给出下列4个命题：
①a∥α且a∥b⇒b∥α； ②a⊥α且a⊥b⇒b∥α；
③a⊥α且a⊥b⇒b⊥α； ④a⊥β且α⊥β⇒a∥α.
其中正确命题的个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
[答案] A
[解析] ⇒b∥α或b⊂α；
⇒b∥α或b⊂α；
⇒a∥α或a⊂α.
(理)棱长都为2的直平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，∠BAD＝60°，则对角线A1C与侧面DCC1D1所成角的正弦值为( )
A. B. C. D.
[答案] C
[解析] 过点A1作直线A1M⊥D1C1，交C1D1延长线于点M，可得A1M⊥平面DD1C1C，∠A1CM就是直线A1C与面DD1C1C所成的角．由于所有棱长均为2，及∠A1D1C1＝120°，得A1M＝A1D1sin60°＝，
又A1C＝＝＝4，
∴sin∠A1CM＝＝，故应选C.
二、填空题
9．在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝8，∠ABC＝60°，PC⊥平面ABC，PC＝4，M是AB上一个动点，则PM的最小值为________．
[答案] 2
[解析] 如图，∵PC⊥平面ABC，
MC⊂面ABC，∴PC⊥MC.
故PM＝＝.
又∵MC的最小值为＝2，
∴PM的最小值为2.
10．已知P是△ABC所在平面α外一点，O是点P在平面α内的射影
(1)若P到△ABC的三个顶点的距离相等，则O是△ABC的________．
(2)若平面PAB、PBC、PCA与平面α所成的角相等，且O在△ABC的内部，则O是△ABC的________．
(3)若PA、PB、PC两两垂直，则O是△ABC的________．
[答案] (1)外心 (2)内心 (3)垂心
11．如图，三棱柱ABC－A1B1C1，侧棱AA1⊥底面ABC，底面是∠ABC为直角的等腰直角三角形，AC＝2a，BB1＝3a，D是A1C1的中点，点F在线段AA1上，当AF＝________时，CF⊥平面B1DF.
[答案] a或2a
[解析] 由题意易知，B1D⊥平面ACC1A，所以B1D⊥CF，欲使CF⊥平面B1DF，只需CF⊥DF即可．
令CF⊥DF，设AF＝x，则A1F＝3a－x，
由Rt△CAF∽Rt△FA1D，得＝，即＝，
整理得x2－3ax＋2a2＝0.
解得x＝a或x＝2a.
三、解答题
12．如图，在四棱锥S－ABCD中，侧棱SA＝SB＝SC＝SD，底面ABCD是菱形，AC与BD交于O点．
(1)求证：AC⊥平面SBD；
(2)若E为BC的中点，点P在侧面△SCD内及其边界上运动，并保持PE⊥AC，试写出动点P的轨迹，并证明你的结论．
[分析] 本题考查了线线垂直和线面垂直关系的判定方法，旨在对推理论证能力、空间想象力和探究能力的考查．第(1)问要证线面垂直，根据线面垂直的判定定理，只要证明直线和平面内两条相交直线垂直即可；第(2)问要探究保持线线垂直的动点的轨迹，只要找出与AC垂直且过E点的平面即可得到动点P的轨迹．
[解析] (1)∵底面ABCD是菱形，O为中心．
∴AC⊥BD，
又SA＝SC，∴AC⊥SO，而SO∩BD＝O，
∴AC⊥平面SBD.
(2)取棱SC的中点M，CD的中点N，连接MN，则动点P的轨迹即是线段MN.
证明如下：连接EM、EN，∵E是BC的中点，M是SC的中点，
∴EM∥SB，同理EN∥BD，∵AC⊥平面SBD，∴AC⊥SB，∴AC⊥EM.
同理AC⊥EN，又EM∩EN＝E，∴AC⊥平面EMN，
因此，当P点在线段MN上运动时，总有AC⊥PE，P点不在线段MN上时，不可能有AC⊥PE.
[点评] 由于《考试说明》中对立体几何部分整体要求的下降，故高考对立体几何考查的难度不会太高．但在空间位置关系的证明上，还是会一如既往地重点考查，并且在方式上会寻求突破和创新，变传统证明为判断型、探究型问题，增加了难度，体现了能力立意，复习中需引起足够重视．
13．(2010·江苏卷)如图，在四棱锥P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD＝DC＝BC＝1，AB＝2，AB∥DC，∠BCD＝90°
(1)求证：PC⊥BC
(2)求点A到平面PBC的距离．
[解析] 本小题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系，考查几何体体积的计算，考查考生的空间想象能力、推理论证能力和运算能力．
(1)因为PD⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，所以PD⊥BC.
由∠BCD＝90°， 得BC⊥DC.
又PD∩DC＝D，PD⊂平面PCD，
DC⊂平面PCD，所以BC⊥平面PCD.
因为PC⊂平面PCD，所以PC⊥BC.
(2)连接AC.设点A到平面PBC的距离为h.
因为AB∥DC，∠BCD＝90°，所以∠ABC＝90° .
从而由AB＝2，BC＝1，得△ABC的面积S△ABC＝1.
由PD⊥平面ABCD及PD＝1，得三棱锥P－ABC的体积V＝S△ABC·PD＝.
因为PD⊥平面ABCD，DC⊂平面ABCD，所以PD⊥DC.
又PD＝DC＝1，所以PC＝＝.
由PC⊥BC，BC＝1，得△PBC的面积S△PBC＝.
由V＝S△PBCh＝··h＝，得h＝.
因此，点A到平面PBC的距离为.
14．已知：正方体ABCD－A1B1C1D1中(如图)
(1)求证：B1D⊥BC1；
(2)求证：B1D⊥平面ACD1；
(3)若B1D与平面ACD1交于O，
求证：DO∶OB1＝1∶2.
[分析] 存在正方体、长方体为载体的证明，垂直关系的问题中可以优先考虑三垂线定理的应用．
[证明] (1)∵ABCD－A1B1C1D1为正方体，
∴DC⊥面BCC1B1，B1D在面BCC1B1内的射影为B1C.
∵BCC1B1为正方形，∴BC1⊥B1C.
∴BC1⊥B1D，即B1D⊥BC1.(三垂线定理)
(2)(1)中证明了体对角线B1D与面对角线BC1垂直，同理可证：B1D⊥AD1，B1D⊥AC.
∴B1D⊥平面ACD1.
(3)设AC与BD的交点为O′，
则平面BB1D1D与平面ACD1的交线为O′D1，
则O′D1与B1D的交点即为O，
∵BD∥B1D1，
∴△OO′D∽△OD1B1，
∴＝＝，
∴DO∶OB1＝1∶2.
15．如图1，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD，∠ABC＝60°，E是BC的中点．将△ABE沿A
E折起后如图2，使二面角B－AE－C成直二面角，设F是CD的中点，P是棱BC的中点．
(1)求证：AE⊥BD；
(2)求证：平面PEF⊥平面AECD；
(3)判断DE能否垂直于平面ABC，并说明理由．
解析：(1)证明：设AE中点为M，
∵在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD，∠ABC＝60°，E是BC的中点，
∴△ABE与△ADE都是等边三角形．∴BM⊥AE，DM⊥AE.
∵BM∩DM＝M，BM、DM⊂平面BDM，
∴AE⊥平面BDM.
∵BD⊂平面BDM，∴AE⊥BD.
(2)证明：连接CM交EF于点N，∵ME綊FC，
∴四边形MECF是平行四边形．
∴N是线段CM的中点．
∵P是BC的中点，∴PN∥BM.
∵BM⊥平面AECD，∴PN⊥平面AECD.
又∵PN⊂平面PEF，∴平面PEF⊥平面AECD.
(3)解：DE与平面ABC不垂直．
证明：假设DE⊥平面ABC，则DE⊥AB，
∵BM⊥平面AECD.∴BM⊥DE.
∵AB∩BM＝B，AB、BM⊂平面ABE，
∴DE⊥平面ABE.
∴DE⊥AE，这与∠AED＝60°矛盾．
∴DE与平面ABC不垂直．
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