二次函数y=ax+bx+c的图象和性质.doc

第二十二章 二次函数
22.1 二次函数的图象和性质
22.1.4 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质
第1课时 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质

典案一 教学设计

课题
第1课时　二次函数y＝ax2＋bx＋c
的图象和性质
授课人

教
学
目
标
知识技能
　　1.能熟练地用描点法画二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象；
2.理解并掌握二次函数y＝ax2＋bx＋c的有关性质.
数学思考
　　通过作图、观察、比较、归纳的学习过程，使学生掌握类比、化归等数学思想方法.
问题解决
　　经历二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质的探究过程，体会数形结合和从特殊到一般的数学思想以及研究函数的一般思路.

情感态度
　　在教学中渗透数形结合的思想，让学生在数学活动中学会与人相处，感受探索发现的喜悦.
教学
重点

　　用描点法画二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和通过配方法确定抛物线的对称轴、顶点坐标
教学
难点
理解二次函数y＝ax2＋bx＋c的性质以及它的对称轴和顶点坐标公式
授课
类型
新授课
课时

教具
多媒体

教学活动
教学
步骤
师生活动
设计意图
回顾
1.一位同学在练习中用描点法画二次函数y＝＋1的图象时，画出如图22－1－51情形的图象，你能帮他分析一下原因吗？

图22-1-51
师生活动：出示问题情境，让学生自主思考.
2.请同学们画出二次函数y＝＋1的图象的草图.
师生活动：学生独立完成，教师强调先确定顶点，再按图象对称性进行取值，并对学生作业进行展示评价.
　　在学生解决两个问题的基础上进一步体验知识之间的联系，确定对称轴和顶点坐标对画二次函数的图象极为重要，有利于学生在最近发展区得到提升，为后面的学习做好铺垫.

活动
一：
创设
情境
导入
新课
【课堂引入】
问题：如何画二次函数y＝x2－6x＋21的图象？
教师提示：
（1）形如y＝a（x－h）2＋k（a≠0）的二次函数，大家会画它的图象吗？
（2）形式上有什么特点？
（3）你能把y＝x2－6x＋21化成y＝a（x－h）2＋k（a≠0）的形式吗？
（4）画出二次函数y＝＋3的图象，并指出它是由抛物线y＝x2通过怎样的平移得到的.
师生活动：给予学生充分的时间和空间，让学生尝试配方，教师强调配方方法的同时进行板书过程.
　　教学过程由浅入深，循序渐进，先让学生自主尝试，再由师生分析整理配方过程，既内化知识，又突出重点，体现了学生学习的探究性和学生的主体性.
活动
二：
实践
探究
交流
新知
　　1.二次函数y＝x2－6x＋21的图象特点总结：
学生根据图象说出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标，教师利用几何画板来引导，由学生交流、讨论，归纳出二次函数的增减性.
总结：抛物线开口向上，对称轴是直线x＝6，顶点坐标是（6，3）.当x<6时，y随x的增大而减小；当x>6时，y随x的增大而增大.
练习：结合图象，说出抛物线y＝－－1的开口方向、对称轴、顶点坐标及增减性.
师生活动：学生口答，教师点评.
2.拓展新知、加深理解
求抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴和顶点坐标.
师生活动：教师利用多媒体展示详细求解过程，学生解析过程步骤及做法，得到公式.
教师板书：对称轴是直线x＝－，顶点坐标是.
如果a>0，当x<－时，y随x的增大而减小；当x>－时，y随x的增大而增大.
如果a<0，当x<－时，y随x的增大而增大；当x>－时，y随x的增大而减小.
　　1.体现教师主导、学生主体的合作学习关系，利用函数图象的直观性说出函数的性质，体现数形结合的思想.
2.设计小练习让学生在对比中学习，加强对二次函数性质的理解.
3.教师为节省时间总结二次函数的对称轴和顶点公式，体现了从特殊到一般的研究思路.

（续表）

活动
三：
开放
训练
体现
应用
【应用举例】
例1　求下列抛物线的对称轴和顶点坐标：
（1）y＝－3x2＋12x－3；（2）y＝2x2－3x－5.
让学生独立完成，互相评价，学生可以用配方法或公式法来解决问题，教师做好练习的检查和展示，并进行鼓励性评价.
　　让学生加深对配方法和公式法的理解和运用及与其他知识相联系的综合应用，培养学生思维的灵活性、开放性，并让学生感受到解决问题的多样化.
【拓展提升】
例2　（1）已知二次函数y＝2x2＋bx＋c的顶点坐标是（1，－2），求b和c的值.
（2）在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax＋b与二次函数y＝ax2＋8x＋b的图象可能是（C）

图22－1－52
给予学生一定的时间去思考，充分讨论，争取让学生自己得到正确答案，对学习有困难的学生适当引导、点拨.
　　对抛物线的顶点坐标、二次函数与一次函数图象综合的提升练习，加强学生对函数解析式中的字母系数与图象关系的认识，进一步体会数形结合思想.
活动
四：
课堂
总结
反思
【达标测评】
1.若二次函数y＝ax2－4x－6的图象的顶点横坐标是－2，则a＝　－1　Ｗ.
2.抛物线y＝x2＋3x＋是由抛物线y＝x2先向　左　平移　3　个单位长度，再向　下　平移　2　个单位长度得到的.
3.已知二次函数y＝x2＋6x＋10，用配方法把它写成y＝a（x－h）2＋k的形式，说出其图象的开口方向、对称轴、顶点坐标，画出草图说明增减性.
4.已知抛物线y＝x2－4x＋h的顶点A在直线y＝－4x－1上，求抛物线的顶点坐标.
5.用6 m长的铝合金型材做一个形状如图22－1－53所示的矩形窗框，应做成长、宽各为多少时，才能使做出的矩形窗框的透光面积最大？
学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解.
　　从多个角度、分层次进行检测，达到学有所成，了解课堂学习效果的目的.

图22－1－53

　　1.课堂总结：谈一谈你在本节课中有哪些收获？哪些进步？还有哪些困惑？
教师鼓励学生自己列出表格，指导学生比较5个函数图象之间的区别和联系.
2.布置作业：教材第39页练习.
　　让学生养成自主归纳课堂重点的习惯，提高学生的学习能力.

活动
四：
课堂
总结
反思
【知识网络】

　　提纲挈领，重点突出
【教学反思】
①[授课流程反思]
在教学过程中，主要采用问题引领、小组学习的教学模式，关注每一个学生，鼓励学生自主学习、合作、交流，锻炼各方面的能力.
②[讲授效果反思]
引导学生注意以下几点：（1）一般式化为顶点式的步骤及方法；（2）熟记一般式的对称轴和顶点坐标公式.
③[师生互动反思]
从教学过程来看，教师与学生一起学习新知，有张有弛地进行课堂调控，及时鼓励学生，增强学生的自信心和学习兴趣.
④[习题反思]
好题题号　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
错题题号　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　反思教学过程和教师表现，进一步提升操作流程和自身素质.

典案二 导学设计
【学习目标】
1．使学生掌握用描点法画出函数y＝ax2＋bx＋c的图象。
2．使学生掌握用图象或通过配方确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标。
3．让学生经历探索二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标以及性质的过程，理解二次函数y＝ax2＋bx＋c的性质。
【重点难点】
重点：用描点法画出二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和通过配方确定抛物线的对称轴、顶
点坐标是教学的重点。
难点：理解二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的性质以及它的对称轴，顶点坐标是教学的难点。
【教学过程】
一、提出问题
1．你能说出函数y＝－4(x－2)2＋1图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗？

2．函数y＝－4(x－2)2＋1图象与函数y＝－4x2的图象有什么关系?

3．函数y＝－4(x－2)2＋1具有哪些性质?

4．不画出图象，你能直接说出函数y＝－x2＋x－的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗?

5．你能画出函数y＝－x2＋x－的图象，并说明这个函数具有哪些性质吗?

二、解决问题
由上面第4个问题的解决，我们已经知道函数y＝－x2＋x－的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标。根据这些特点，可以采用描点法作出函数y＝－x2＋x－的图象，进而观察得到这个函数的性质。
解：(1)列表：在x的取值范围内列出函数对应值表；
x
…

…
y＝－x2＋x－
…

…
(2)描点：用表格里各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描点。
(3)连线：用光滑的曲线顺次连接各点，得到函数y＝－x2＋x－的图象
说明：列表时，应根据对称轴是x＝1，以1为中心，对称地选取自变量的值，求出相应的函数值。相应的函数值是相等的。

思考：上述函数的图象与函数y＝－x2的图象有什么关系？
三、归纳总结
以上讲的，都是给出一个具体的二次函数，来研究它的图象与性质。那么，对于任意一个二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，如何确定它的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标?你能把结果写出来吗?
用配方法把函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)配成的形式
解：

总结性质：1．开口方向
2．顶点坐标是　　　　　　, ,对称轴是 .
3．增减性：

４．最值：
四、知识应用
例1. 通过配方，写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标。
(1) y＝－x2－2x (2) y＝x2－4x＋3

例2．求二次函数y＝mx2＋2mx＋3(m＞0)的图象的对称轴，并说出该函数具有哪些性质。

例3．将抛物线先向下平移1个单位，再向左平移4个单位，求平移后的抛物线的函数解析式．

五、课堂练习
1．填空：
(1)抛物线y＝x2－2x＋2的顶点坐标是_______；
(2)抛物线y＝2x2－2x－的开口_______，对称轴是_______；
(3)抛物线y＝－2x2－4x＋8的开口_______，顶点坐标是_______；
(4)抛物线y＝－x2＋2x＋4的对称轴是_______；
(5)二次函数y＝ax2＋4x＋a的最大值是3，则a＝_______．
2．通过配方，写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标。
(1)y＝3x2＋2x； (2)y＝－2x2＋8x－8

3.画出函数y＝2x2－3x的图象，说明这个函数具有哪些性质。

六、小结
通过本节课的学习，你学到了什么知识？有何体会？