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函数及其图像考试要求
1．理解平面直角坐标系的有关概念，能熟练掌握点在各象限内、坐标轴上其坐标的特征，及关于坐标轴对称、关于原点对称的点的坐标特征.会求坐标轴上两点间的距离.
2．理解函数的意义，掌握求函数自变量取值范围的方法，会求函数值，掌握函数的三种表示方法.
3．理解正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数的概念，掌握它们的性质，会画出它们的图象.
4．会根据函数的图象指出函数值随自变量的变化的情况，说出函数的主要性质.
5．会用待定系数法确定函数的解析式.
6．会用配方法求抛物线的顶点坐标、对称轴的方程，会判断开口方向.
7．理解一元二次方程、二次三项式与二次函数的关系.
要点解析
一、本章知识网络

二、复习要点
1．直角坐标系．
（1）定义．平面内有公共原点且互相垂直的两条数轴，构成了平面直角坐标系．
（2）点与坐标．坐标平面内的点与有序实数对（坐标）是—一对应的．由坐标能很快找出对应点；由给定点能熟练地求出坐标．
（3）特殊点的坐标．
①象限点

象限点的关键是点的横、纵坐标的符号．
②轴上点  轴（横轴）上的点纵坐标恒为零； 轴（纵轴）上的点横坐标恒为零．
③对称点  借助几何上对称（轴对称，中心对称）的含义．轴对称，翻折180°重合；中心对称，旋转180°重合．
关于 轴对称的点：横坐标不变，纵坐标互为相反数；
关于 轴对称的点；横坐标互为相反数，纵坐标不变；
关于原点对称的点：横、纵坐标各互为相反数．
（4）距离．点的坐标已知，它在坐标平面内的位置就确定，因而点到轴的距离及到点的距离都存在．
点 到 轴的距离是 ，到 轴的距离是 ．
点到点的距离借助于勾股定理决定．
2．函数及其图像
函数的有关概念．
（1）常量和变量．常量和变量不是绝对的，而是相对的，在判断常量和变量时，切不可忽略在何变化过程中．
（2）函数．设在一个变化过程中有两个变量 与 ，如果对于 的每一个值， 都有唯一的值与它对应，那么就说 是自变量， 是 的函数．
a．初中研究的函数实质上是研究变量间—一对应的关系．
b．任何含有一个字母（变量）的代数式都可以看作是这个字母的函数．
c．函数的定义存在，离不开自变量的取值范围．当对应关系由代数式的具体表达式确定时，自变量的取值要使代数式存在对应值；当变化过程是实际过程时，自变量的取值范围除考虑代数式外，还要使实际问题有意义．
（3）函数及其图像．函数的图像是所有适合函数解析式的点的集合，含义是坐标适合函数解析式的点一定在此函数的图像上；函数图像上的点的坐标一定适合函数的解析式．
描点法作函数图像的三步是：列表、描点、连线．
函数的表示法：图像法、列表法、解析法．
3．一次函数的图象和性质

4．正比例函数的图象和性质

5．二次函数的图象和性质

6．反比例函数的图象和性质

典型例题
平面直角坐标系典型例题
例1  已知点 在第二象限，则 的取值范围是（   ）
A．   B．   C．   D．
解：依题意，得 解得 ，故应选D.
例2  在平面直角坐标系内，已知点 在第三象限，且 为整数，求 的值.
解：∵点 在第三象限，
∴          
解不等式（1）得  ，
解不等式（2）得 
∴不等式组的解集是 .
∴ 为整数，∴ 的值为1.
说明：在直角坐标系中，点与点的坐标是一一对应的，又整数作加、减、乘法运算结果仍是整数，因此要使点P的横坐标、纵坐标为整数，即要使 为整数.
例3（1）若点A（a，b）在第三象限，则点Q（-a+1，3b-5）在第        象限；
（2）若点B（m+4，m-1）在x轴上，则m=             .
（3）若点C（x，y）满足x+y＜0，xy＞0，则点C在第           象限.
（4）若点D（6-5m，m2-2）在第二、四象限夹角平分线上，则m=         .
（5）已知点 和点 关于y轴对称，则a=      ，b=        .
  解：（1） 点A（a，b）在第三象限

           点Q（-a+1，3b-5）在第四象限
（2） 点B（m+4，m-1）在x轴上

（3） xy＞0  同号
   x+y＜0， 均为负.
点C在第三象限.
（4） 点D（6-5m，m2-2）在第二、四象限夹角平分线上，

（5） 点 和点 关于y轴对称，

说明：这组填空题是点的坐标特征的应用，要记住点在四个象限内的符号特征，点在坐标轴上，一，三与二，四象限夹角平分线上的特征；点关于x轴，y轴，原点对称点的特征.
例4  已知点 在第一象限内两坐标轴夹角的平分线上，则 的值是______；已知点 在第二象限内两坐标轴夹角的平分线上，则 的值是_______；若点 在第一、三象限的角的平分线上，则 与 的关系是______；若点 在第二、四象限的角的平分线上，则 ， 的关系是______.
解：分别填3；－3； ； （或 ）.
说明：在第一、三象限角的平分线上的点的坐标是横、纵坐标相等，即 ；在第二、四象限角平分线上的点的坐标是横、纵坐标互为相反数，即 .
例5  已知点 与点 在同一条平行于x轴的直线上，且 到y轴的距离等于4，那么点 的坐标是（   ）
A．（4，2）或（－4，2）  B．（4，－2）或（－4，－2）
C．（4，－2）或（－5，－2）  D．（4，－2）或（－1，－2）
分析：因为点 与点 在同一条平行于x轴的直线上，所以 .又因为 到y轴的距离等于4，所以 或－4.应选B.
例6  如图所示，已知边长为1的正方形OABC在直角坐标系中，B，C两点在第二角限内，OA与x轴的夹角为60°，那么B点的坐标为______.
分析：过B作 轴于D.易知 .设AB与y轴的交点为E，且设 ，则 .在Rt 中，由勾股定理得 .得 .所以 ， ， ， .因为B在第二象限，所以B点的坐标应为 .
说明：平面直角坐标系作为考题内容时，多是选择题、填空题等题型，今后平面直角坐标系作为中考内容仍然是上述两种题型.
函数及其图像典型例题
例1 判断下列关系是不是函数关系？
（1）长方形的宽一定时，其长与面积；
（2）等腰三角形的底边长与面积；
（3）某人的年龄与身高；
（4）关系式| y |=x中的y与x.
分析：判断一个关系是不是函数关系，第一要看是不是一个变化过程；第二要看在这个变化过程中，是不是有两个变量；第三要看自变量每取一个确定值，函数是不是都有唯一确定的值与它对应.
解：（1）长方形的宽一定时，其长所取的每一个确定的值，面积都有唯一确定的值与它对应，所以长与面积是函数关系.
（2）因为三角形的面积受底和高两个因素的影响，当等腰三角形的底取一个定值时，它的面积又受高的影响，不能有唯一确定的值和底相对应，所以底边长与面积不是函数关系.
（3）人的任意一个确定的年龄，都有唯一确定的身高与之相对应，所以某人的年龄与身高是函数关系.
   （4）x每取一个正值，y都有两个值与它对应，所以| y | = x不是函数关系.
说明：年龄与身高的变化不按某种规律，但某人每一个确定的年龄，必有唯一确定的身高和   它相对应，因此函数关系是一定的，所以不要以为存在一定比例关系或一定规律，能用解析式表示的才是函数关系.
  例2 汽车由北京驶往相距850千米的沈阳，它的平均速度为80千米/小时，求汽车距沈阳的路程S（千米）与行驶时间t（小时）的函数关系式，写出自变量的取值范围.
分析：北京距沈阳850千米，汽车距沈阳的路程等于全程减去已行驶的路程，已行驶的路程等于速度乘以时间.
解：

    得

      于是汽车距沈阳的路程S与时间t的函数关系式为 ，自变量t的取值范围是
例3 求下列函数中自变量x的取值范围：
（1）                       （2）
（3）                        （4）
（5）                      （6）
（7）                  （8）
分析：求自变量的取值范围，应考虑自变量的取值使函数解析式有意义.（1）、（2）小题函数解析式是整式，故自变量可取任意实数；（3）、（4）小题解析式是分式，自变量可取使分母不为0的任意实数；（5）、（7）、（8）小题的解析式是二次根式，自变量取值应使被开方数非负；（6）小题既有分母又有二次根式，自变量取值应使分母不为0，又要使二次根式的被开方数非负.
解：（1）函数 的自变量x的取值范围是躯体实数
（2）函数 的自变量x的取值范围是躯体实数
（3）
       当 时，分母 ，
函数 的自变量的取值范围是 ；
（4）由 解得
当 或 时，分母 ，
函数 的自变量x 的取值范围是 且
（5）由 解得 ，
函数 的自变量x的取值范围是 ；
（6）由 得 ，由 得 ，当 时，分母 ，
函数 的自变量x的取值范围是 且 ；
（7）
即对于任意实数x， 都是非负的，
  函数 的自变量x的取值范围是全体实数；
（8）由 得
因此，函数 的自变量x的取值范围是 .
例4 一函数的图象如下图，根据图象：
     （1）确定自变量x的取值范围；
     （2）求当 时，y的值；
（3）求当 时，对应的x的值；
（4）当x为何值时，函数值y最大？
         （5）当x为何值时，函数值y最小？
         （6）当y随x的增大而增大时，求相应的x值在什么范围内？
         （7）当y随x的增大而减小时，求相应的x值在什么范围内？

分析：函数图象上每一点的横坐标都是自变量x的一个值，自变量的取值范围就是图象上各点的横坐标的最小值到最大值，即图象上最左端点的横坐标到右端点的横坐标.函数y的最大值就是函数图象上最高点的纵坐标，函数的最小值就是函数图象上最低点的纵坐标.函数图象从左到右，自变量x的值不大增大，此时，如果图象自下而上，那么函数值y在减小.
解：
（1）自变量x的取值范围是
    （2）当 时，y = 3.3,  当 时，y = 2的值；
（3）当 时，与之对应的x的值是 和4，当 时，与之对应的x的值是 ；
（4）当 时，y的值最大，此时 ；
        （5）当 时，y的值最小，此时， ；
        （6）当y随x的增大而增大时，相应的x值在 ＜ 内；
        （7）当y随x的增大而减小时，求相应的x值在 内？
说明：（1）用图象法表示函数形象、直观，但不精细，因此，从图象上观察的数值往往是近似值，只有通过具体函数解析式的计算，才能得到精确值.
（2）当函数图象从左下到右上呈“撇”状时，函数y随x的增大而增大；当函数图象从左上到右下呈“捺”状时，函数y随x的增大而减小.反之也对.
（3）从函数图象求函数的某些值、研究函数y随自变量x的变化规律是数形结合思想的具体体现.
例5 已知函数的图象经过A(1,4)、B(2,2)两点，请你写出满足上述条件的两个不同的函数解析式，并简要说明解答过程.（2002年山东省青岛市中考题）
分析 ：由于题中所经过A(1,4)、B(2,2)两点的函数解析式的类型未告知，因此所确定函数解析式的形式可能是直线型，也可能是双曲线、抛物线型，还可能是其他形状的，故可采用下列几种途径来确定满足题设条件的解析式：
（1）若经过A、B两点的函数的图象是直线，设其解析式为 ，则有
解之，得
此时，函数解析式为
（2）由于A、B两点的横、纵坐标的积相等，都等于4，所以，经过A、B两点的函数的图象还可以是双曲线，其解析式为： .
（3）如果经过A、B两点的函数的图象是抛物线，设其解析式为
（ ），则有

解之，得
因此，只要 、 、 同时满足关系式 和 ，即可保证二次函数 （ ）的图象经过A(1,4)、B(2,2)两点；显然，这样的二次函数有无数个.如取 =1，则有 =-5， =8，相应图象所对应的二次函数的解析式为： .
（4）其他略.
一函数及其图像典型例题
例1  选择题
（1）下面图像中，不可能是关于x的一次函数 的图像的是（   ）

(2）已知： ，那么 的图像一定不经过（   )
A．第一象限  B．第二象限  C．第三象限  D．第四象限
（3）已知直线 与x轴的交点在x轴的正半轴，下列结论：① ；② ；③ ；④ ，其中正确结论的个数是（   )
A．1  B．2  C．3  D．4
(4）正比例函数的图像如图所示，则这个函数的解析式是（   ）
A．    B．    C．    D．
解：（1）由A可得 故 ，∴A可能；
由B可得   故 ，∴B可能;
由C可得 此不等式组无解.故C不可能，答案应选C.
（2）由已知得   三式相加得：
，
∴ ，故直线 即为 .
此直线不经过第四象限，故应选D.
（3）直线 与x轴的交点坐标为：
即 异号，∴②、③正确，故应选B.
（4）∵正比例函数 经过点（1，－1），
∴ ，故应选B.
说明：一次函数 中的 的符号决定着直线的大致位置，题（3）还可以通过 的符号画草图，来判断各个结论的正确性，这类题型历来都是各地中考中的热点题型，同学们一定要熟练掌握.
例2  求下列一次函数的解析式：
（1）图像过点（1，－1）且与直线 平行；
（2）图像和直线 在y轴上相交于同一点，且过（2，－3）点.
解：（1）把 变形为 .
∵所求直线与 平行，且过点（1，－1）.
∴设所求的直线为 ，将 代入，解得 .
∴所求一次函数的解析式为 .
（2）∵所求的一次函数的图像与直线 在y轴上的交点相同.
∴可设所求的直线为 .
把 代入，求得 .
∴所求一次函数的解析式为 .
说明：如果两直线 平行，则 ；如果两直线 在y轴上的交点相同，则 .掌握以上两点，在求一次函数解析式时，有时很方便.
例3：已知一次函数 .求：（1）m为何值时，y随x的增大而减小；（2）m，n满足什么条件时，函数图像与y轴的交点在x轴下方；（3）m，n分别取何值时，函数图像经过原点；（4）m，n满足什么条件时，函数图像不经过第二象限.
解：（1）∵y随x的增大而减小.
∴ ，即 .
∴当 时，y随x的增大而减小.
（2）令     即
∴当 时，函数图像与y轴交点在x轴下方.
（3）令   即
∴当 时，函数图像经过原点.
（4）令   即
∴当 时，函数图像不经过第二象限.
说明：对于一次函数的问题，重要的是掌握它的概念和性质，并能灵活地运用这些性质.例如，在表达式 中，特别要注意 这一条件.
例4 已知一次函数 的图象经过点 及点 （1，6），求此函数图象与坐标轴围成的三角形的面积.（2001年呼和浩特市中考题）
简解：由一次函数 的图象经过点 及点 （1，6），得 =2， =4.
∴一次函数的解析式为 .
∵ =0时， =4， =0时， =-2，
∴ 一次函数的图象与 轴的交点 、与 轴的交点 的 坐标分别为（0，4）、（-2，0），
∴
∴ .
例5 如图，A、B分别是 轴上位于原点左、右两侧的点，点P(2,p)在第一象限，直线PA交 轴于点C(0,2)，直线PB交 轴于点D， .
(1) 的面积是多少？
（2）求点A的坐标及p的值.
（3）若 ，求直线BD的函数解析式.（1999年西宁市中考题）
解 ：过点 作 轴于点 ， 轴于点 .
（1）由点 、点C的坐标分别为(2,p)、(0,2)及点P在第一象限内，得 ， =2， =2.
∴
（2）注意到
∴ ， =4.
∴ 点A的坐标为（-4，0）.
又
=3.
（3）由题设，可知 .
∴ .
∴ .
∴点D的坐标为（0，6）.
∵直线BD（设其解析式为 ）过点P(2,3)、点D（0，6），
∴ ， .
∴直线BD的解析式为 .
    例6 我省某水果种植场今年喜获丰收，据估计，可收获荔枝和芒果共200吨．按合同，每吨荔枝售价为人民币0.3万元，每吨芒果售价为人民币0.5万元．现设销售这两种水果的总收入为人民币y万元，荔枝的产量为x吨（0＜x＜200）．
    （1）请写出y关于x的函数关系式；
    （2）若估计芒果产量不小于荔枝和芒果总产量的20％，但不大于60％，请求出y值的范围．
 解:（1）因为荔枝为x吨，所以芒果为 吨.依题意，得

即所求函数关系式为：
.
（2）芒果产量最小值为：
（吨）
此时， （吨）；
最大值为： （吨）.
此时， （吨）.
由函数关系式 知，y随x的增大而减少，所以，y的最大值为：
（万元）
最小值为：
（万元）.
∴ 值的范围为68万元 84万元.
反比例函数及其性质典型例题

例1  （1）若函数 是反比例函数，则m的值等于（   ）
A．±1  B．1  C．   D．－1
（2）如图所示正比例函数 ）与反比例函数 的图像相交于A、C两点，过A作x轴的垂线交x轴于B，连结BC.若 的面积为S，则
A．   B．   C．   D．S的值不确定
（3）反比例函数 的图像上有一点 ，其坐标是关于t的一元二次方程 的两根，且P到原点的距离为 ，则该反比例函数的解析式为______.
解：（1）依题意，得   解得 .
故应选D.
（2）由双曲线 关于O点的中心对称性，可知： .
∴ .
故应选A.
（3） 在 的图像上，故 .又 ，∴ .
故 ，    ∴ .
∴反比例函数的解析式为 .
故应填 .
例2 已知力F所作用的功是15焦，则力F与物体在力的方向通过的距离S的图象大致是（  ）.

评析  本题涉及力学中作功问题，主要考查在力的作用下物体作功情况，由此，识别正、反比例函数，一次函数的图象位置关系.
解 据 ，得15= ，即 ，所以F与S之间是反比例函数关系，故选（B）.
例3  如图，A、C是函数 的图象上的任意两点，过A作 轴的垂线，垂足为B；过C作 轴的垂线，垂足为D.记 的面积为 ， 的面积为 ，则 与 的关系是（  ）.
（A） > (B) < （C） = （D） 与 的大小关系不能确定.（2000年武汉市中考题）
简解 ：设点A的坐标为（a,b），点C的坐标为（c,d）.
∵点A在第一象限，点C在第三象限，
∴ .
∴ = ，
= .
∵ ,
∴
∴ = ,应选C.
例4  根据下列表格x与y的对应数值.
x
……
1
2
3
4
5
6
…
y
…
6
3
2
1.5
1.2
1
…
（1）在直角坐标系中，描点画出图像；（2）试求所得图像的函数解析式，并写出自变量x的取值范围.
解：（1）图像如图所示.
（2）根据图像，设 ，取 代入，得 .  ∴ .
∴函数解析式为 .
说明：本例考查了函数的三种表示法之间的变换能力，即先由列表法通过描点画图转化为图像法，再由图像法通过待定系数法转化为解析法，题目新颖别致，有较强的趣味性.
例5  （1）一次函数 与反比例函数 在同一坐标系中的图像大致是如图中的（   ）

（2）一次函数 与反比例函数 在同一直角坐标系内的图像的大致位置是图中的（   ）

解： 的图像经过第一、二、四象限，故排除B、C；又 的图像两支在第一、三象限，故排除D.∴答案应选A.
（2）若 ，则直线 经过第一、三、四象限，双曲线 的图像两支在第一、三象限，而选择支A、B、C、D中没有一个相符；若 ，则直线 经过第二、三、四象限，而双曲线的两支在第二、四象限，故只有C正确.应选C.
例6 如图，双曲线 与直线 相交于A，过A作 轴的垂线AB，垂足为B.如果 ：
（1）求两个函数的解析式；
（2）若直线 交 轴于C，求 .（1998年甘肃省中考题）
简解 ：（1）设点A的坐标为(m,n)，那么 .
∵ ，
∴
又 ，
∴ .
∴ 双曲线： ，直线： .
（2）解由 ， 组成的方程组，得 ， ；

∵ 点A在第二象限，
∴点A的坐标为（ ）.
∴ ， .
在 中，y=0时,x=4,
∴点C的坐标为(4,0)，OC=4.
∴BC=OB+OC= .
∴ .
例7 已知：如图，一次函数的图象经过第一、二、三象限，且与反比例函数的图象交于A、B两点，与y轴交于点C，与x轴交于点D. .
（1）求反比例函数的解析式：
（2）设点A的横坐标为m，△ABO的面积为S，求S与m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；
（3）当△OCD的面积等于 时，试判断过A、B两点的抛物线在x轴上截得的线段长能否等于3.如果能，求此时抛物线的解析式；如果不能，请说明理由.
解：（1）过点B作 轴于点H.
在 中，

由勾股定理，得 .
又 ，

∴  点B（－3，－1）.
设反比例函数的解析式为 .
∵  点B在反比例函数的图象上，
∴  .
∴  反比例函数的解析式为 .
（2）设直线AB的解析式为 .
由点A在第一象限，得 .
又由点A在函数 的图象上，可求得点A的纵坐标为 .
∵  点B（－3，－1），点 ，
∴    解关于 、b的方程组，得
∴  直线AB的解析式为 .
令  .
求得点D的横坐标为 .
过点A作AG⊥x轴于点G.

由已知，直线经过第一、二、三象限，
∴  ，即 .

由此得 
∴ 
即 
（3）过A、B两点的抛物线在x轴上截得的线段长不能等于3.
证明如下：

由 ，
得  .
解得
经检验， 都是这个方程的根.
∵  ，
∴  不合题意，舍去.
∴  点A（1，3）.
设过A（1，3）、B（－3，－1）两点的抛物线的解析式为 .
∴    由此得
即 
设抛物线与x轴两交点的横坐标为 .
则  .
令 
则 
整理，得  .
∵ 
∴  方程 无实数根.
因此过A、B两点的抛物线在x轴上截得的线段长不能等于3.
二次函数图像和性质典型例题
例1  函数 与 在同一坐标系中的图像可能是如图中的（   ）

解法一：直接法
，∴a的取值只有两种可能： 或 .
当 时，有 的图像在第一、三象限； 的图像开口向上，顶点 在x轴的上方，四个选择支无一适合.所以，没有符合条件的图像.
当 时，有 的图像在第二、四象限； 的图像开口向下，顶点 在x轴的下方，符合条件的图像有D.故应选D.
解法二：排除法
，函数 的图像顶点在y轴上，故排除A；
对于B，由反比例函数 的图像可知： ，但由 的图像得 ，产生矛盾，故B排除；
对于C，由反比例函数 的图像可知： ，但由 的图像与y轴交于负半轴得 ，产生矛盾，故C排除.故答案应选D.
例2  已知函数 .
（1）求函数图像的顶点坐标和对称轴；
（2）求函数图像与坐标轴的交点坐标；
（3）作出函数的图像.
解：（1） .
∴函数图像的顶点坐标是（1，2），对称轴为 .
（2）令 ，得 ；令 ，由 ，得 .即函数图像与y轴交于点 ，与x轴交于（－1，0），（3，0）.
（3） ，抛物线开口向下，再依顶点坐标，对称轴及两坐标的交点坐标作函数图像如图所示.
说明：（1）对 的顶点坐标也可直接用教材中例题所给出的顶点坐标公式 ，这里是直接配方而得.
（2）作二次函数的图像主要抓住抛物线开口方向、顶点坐标、对称轴及两轴的交点等主要环节.
例3已知二次函数 的图像如图所示.（1）试确定 的符号；（2）求 的值；（3）求 的面积；（4）若 ，求 之间的关系.
解：（1）∵抛物线开口向下，
∴ .
又∵抛物线的顶点在y轴的右侧，
∴ ，而 ，  ∴ .
又抛物线与y轴的交点 在x轴上方，
∴ .
∵抛物线与x轴有两个不同的交点，∴  .
又 ，  ∴ .
，  ∴ .
当 时， ，∴ .
当 时， ，∴ .
（2）设A、B两点的坐标分别为 .
∴ ，
、 是方程 的两个不同的实数根，
∴ .  ∴ .
（3） ，而 .
，∴ .
∴ .
（4） ，∴ 即 .
又 是方程 的一个根，由 知 是它的另一个根，由方程根的定义，知 .
例4 抛物线 与 轴交于A、B两点，Q（2，k）是该抛物线上一点，且 ，则 的值等于（   ）.
（A） （B） （C）2 （D） 3.
分析  要解决本题，可运用化归的数学思想，将题中的抛物线向左平移2个单位，新的抛物线与 轴交于（0，k）点.可设新抛物线的解析式为 .这样就把问题转化为：“抛物线 与 轴交于A、B两点,与 轴交于Q点，若 ，则 =      ，”从而把问题“化繁为简”.根据射影定理与韦达定理可得 = .
例5如图所示，直线AB是一次函数 的图像，直线AC是一次函数 的图像（ ）.（1）用 表示A点坐标；（2）若 的面积为12，且A点在抛物线 上，求直线AB与AC的函数解析式.
分析：（1）要求A点的坐标，可求方程组 的解；（2）要求直线AB与AC的解析式，就是要确定 的值.因A点在抛物线 上，把A点的坐标代入抛物线解析式得到一个关于 的方程，再由 的面积为12，又得到一个关于 的方程，解由这两个方程组成的方程组即可.
解：（1）解方程组 得
∴A点的坐标为 .
（2）∵A点在抛物线上，
∴ .
∴ .
令 ，则由 得 ，由 得 .
∴B、C两点的坐标分别是 ，且参照图像可知 .作 轴于D.
，
∴ ，即 .
即 .
解方程组
得 
∴直线AB和直线AC的解析式分别是： 和 .
例6 已知抛物线 .
（1）确定此抛物线的对称轴方程和顶点坐标；
（2）如图，若直线 分别与抛物线交于两个不同点A、B，与直线 相交于点P，试证 ；
（3）在（2）中，是否存在 值，使A、B两点的纵坐标之和等于4？如果存在，求出 值；如果不存在，请说明理由.
答案：（1）略；
（2）由
得 .
设 、 .
则 + =2（ +1）， .
由
得 ，
即点的横坐标 .
作 轴于 ， 轴于 ， 轴于 .
于是
= = .
（3）不存在
因为 、 在直线 上，由题意，得

所以
解得 ， （与k>0矛盾，舍去）
当 时，方程 化为 .此方程没有实数根.
故适合条件的 值不存在.
二次函数解析式
例1有一个二次函数的图象，三位学生分别说出了它的一些特点：
甲：对称轴是直线 ；
乙：与x轴两个交点的横坐标都是整数；
丙：与y轴交点的纵坐标也是整数，且以这三个交点为顶点的三角形面积为3.
请你写出满足上述全部特点的一个二次函数解析式：                    .
答案： 或 或 或
例2  已知二次函数 的图像与x轴相交于点 ，顶点B的纵坐标是－3.
（1）求此二次函数的解析式；
（2）若一次函数 的图像与x的轴相交于 ，且经过此二次函数的图像的顶点B，当 时，
（ⅰ）求 的取值范围；
（ⅱ）求 （O为坐标原点）面积的最小值与最大值.
解：（1）∵二次函数 的图像经过原点O（0，0）与点A（6，0），∴它的对称轴是 .
∴它的顶点B的坐标是（3，－3）.
设此二次函数为 ，把（0，0）代入解析式得 ，∴ ，故所求二次函数的解析式为    .
（2）（ⅰ）令 得直线 的解析式为 ，把（3，－3）代入得 ，故直线 的解析式为 .
令 ，得 .
令 得直线 的解析式为 ，把（3，－3）代入得 ，故直线 的解析式为 ，令 ，则得 .
故 的取值范围是 .
（ⅱ）∵ 的OD边上的高（即B点的纵坐标的绝对值）为定值3，故OD最小，则 面积最小，OD最大，则 面积最大.
∵OD最小为1，最大为2，
故 的面积最小是 ，最大为3.
例3如图所示，已知抛物线 与x轴从左至右交于A、B两点，与y轴交于点C，且 .
（1）求点C的坐标；
（2）求抛物线的解析式；
（3）若抛物线的顶点为P，求四边形ABPC的面积.
解：（1）根据题意设点 ，点 ，且 .
是方程 的两根，
∴ .
在 中， ，∴ .

（2）在 和 中，

∴抛物线解析式为： .
（3）∵ ，∴顶点P的坐标为（1，2）.
当 时， ，
∴ .
延长PC交x轴于点D，过C、P的直线为 ，
∴点D的坐标为（－1，0）.

例4  已知抛物线 与x轴两交点的横坐标是－1，3，与y轴交点的纵坐标是 ，确定抛物线的解析式.
解法一  由题意，得   解之，得
因此，所求的抛物线的解析式为 .
解法二：由题意，设二次函数的解析式为 .
∵图像过点 .

因此，所求抛物线的解析式是 ，即 .
例5  如图所示，已知抛物 与x轴负半轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且 ，求抛物线的解析式和它的顶点坐标.
解：在 中， .
在 中， .

∵A、B、C三点在抛物线上，
∴设抛物线的解析式为 .
∵C点在抛物线上，

∴抛物线的解析式为： .
，
∴抛物线的顶点坐标 .
例6 如图,在同一直角坐标系内,如果 轴与一次函数 的图象以及分别过(1,0)、（4，0）两点，平行于 轴的两条直线所围成的图形ABCD的面积为7.
（1）求 的值；
（2）求过F、C、D三点的抛物线的解析式；
（3）线段CD上的一个动点P从点D出发，以1单位/秒的速度沿DC的方向移动（P点不重合于C点），过P点作直线 交EF于Q、交抛物线（2）于点M.当P从点D出发t秒后，求四边形PQFC的面积S与t之间的函数关系式，并确定t的取值范围；
（4）问是否存在这样的t值，使得 ？若存在，求出此t值；若不存在，说明理由.
解：（1）如图，设 、 .则有
， .
.
又 >0, ,
.
.
, .(此处 、 为非必求成分)
（2）由F(0,4)、C(1,0)、D(4,0),得
.
(3) ,
∴OP=4—t.
,

=
即
（4）
PM=| |
= .
  .
依题意，得
.
整理，得 .
解得 .
由 ，知 .
因此，当 时，
.
例7 已知二次函数 的图象经过点A(-3,6)，并与 轴交于B、C两点（点B在C的左边），P为它的顶点.
（1）试确定 的值；
（2）设点D为线段OC上的一点，且满足 ，求直线AD的解析式；
（3）在 轴的正半轴上是否存在点M，使 为等腰三角形，若存在，求出所有满足条件的点M的坐标，若不存在，请说明理由.（2002年海南省、天津市中考题）
分析：存在型说理题是探索性问题的主要形势，它要求学生紧扣题设条件，把握特征，拨开迷雾，对“是否存在”做出准确判断和正确的理解作为解决这类问题的理论依据.解这类考题一般遵循“三部曲”，即假设“存在”，——演绎推理——得出结论（合理或矛盾两种形式）.为此：
（1）
（2）直线 的解析式为

（3）假设满足条件的点 存在，则应分如下三种情况讨论：① 当△ 是以
为顶角的等腰三角形时，有 如图，设 ，其中
作 轴于 .
    在 中，
    ；
    在 中， .
    .
    解得 或 （舍去）.
  故点 的坐标是（0， ）；
 ② 当 是以 为顶角的等腰三角形时，有 .如图，设 ，其中 .
 在 中， ；
在 中， .
.
解得 .
故点 的坐标为（0，1）.
   ③ 当 是以 为顶点的等腰三角形时，有 ，如图，设 ，其中， .

在 中， .
.
.
此方程无解，所以点 不存在.
综上述，满足条件的点 有两个，分别是 和 .
例8 行驶中的汽车，在刹车后由于惯性的作用，还要继续向前滑行一段距离才能停止，这段距离称为“刹车距离”，为了测定某种型号汽车的刹车性能（车速不超过140千米/小时），对这种汽车进行测试，测得的数据如下表
刹车时车速（千米/小时）
0
10
20
30
40
50
60
刹车距离（米）
0
0.3
1.0
2.1
3.6
5.5
7.8
(1) 以车速为 轴,以刹车距离为 轴,在坐标系中描出这些数据所表示的点,并用平滑的曲线连结这些点,得到函数的大致图象;
(2) 观察图象,估计函数的类型,并确定一个满足这些数据的函数的解析式;
(3) 该型号汽车在国道上发生了一次交通事故,现场测得刹车距离为46.5米,请推测刹车的速度是多少?请问在事故发生时,汽车是超速行驶还是正常行驶?
简解  (1) 画出的函数图象略;
(2) 依据图象,设函数的解析式为 ,将表中前三组值代入,得
解得 1
        函数的解析式为 .
经检验,表中其他各值也符合此解析式.
(3) 当 时,即 .
  .
  (舍去).
故推测刹车时的速度为150千米/小时,而150>140,因此发生事故时,汽车超速行驶.
例9 某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品．据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能销售出500千克；销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克．针对这种水产品的销售情况，请解答以下问题：
    （1）当销售单价定为每千克55元时，计算月销售量和月销售利润；
    （2）设销售单价为每千克x元，月销售利润为y元，求y与x的函数关系式（不必写出x的取值范围）；
（3）商店想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少？
解 ：（1）当销售单价为每千克55元时，月销售量为： （千克），所以月销售利润为： （元）.
（2）当销售单价定为每千克x元时，月销售量为 千克，而每千克的销售利润是： 元，所以月销售利润为：

∴y与x的函数解析式为
.
（3）要使月销售利润达到8000元，即 ，则有
，
即 ，
解得
当销售单价定为每千克60元时，月销售量为： （千克），
月销售成本为： （元）；
当销售单价定为每千克80元时，月销售量为： （千克）
月销售成本为： （元）；
由于 ，而月销售成本不能超过10000元，
所以销售单价应定为每千克80元.
能力训练
平面直角坐标系
一、填空题
1．平面直角坐标系内一点P（－2，3）关于原点对称的点的坐标是（   ）
A．（3，－2）  B．（2，3）  C．（－2，－3）  D．（2，－3）
2．在平面直角坐标系中，点P（2，3）关于y轴的对称点在（   ）
A．第一象限  B．第二象限  C．第三象限  D．第四象限
4．已知点 在第四象限，且 ，则P点的坐标是（   ）
A．（－3，－5）  B．（5，－3）  C．（3，－5）  D．（－3，5）
5．横坐标和纵坐标都是正数的点在（   ）.
A．第一象限  B．第二象限  C．第三象限  D．第四象限
6．若 ，则点 在（   ）
A．第一象限  B．第二象限  C．第三象限  D．第四象限
7．已知点P关于x轴的对称点 的坐标是（2，3），那么点P关于原点的对称点 的坐标是（   ）
A．（－3，－2）  B．（2，－3）  C．（－2，－3）  D．（－2，3）
8．已知点 在第四象限，那么点 在（   ）
A．第一象限  B．第二象限  C．第三象限  D．第四象限
9．如果点 关于x轴的对称点 在第三象限，那