河北省清河县高三数学《27平面向量的数量积及应用举例》课时作业.doc

河北省清河县高三数学《27平面向量的数量积及应用举例》课时作业
一、选择题(每小题5分，共30分)
1．(2010·重庆高考)已知向量a，b满足a·b＝0，|a|＝1，|b|＝2，则|2a－b|等于(　　)
A．0　　　　　　　　　　 B．2
C．4 D．8
解析：|2a－b|2＝4a2－4a·b＋b2＝8，
所以|2a－b|＝2.
答案：B
2．(2010·湖南高考)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，则·等于(　　)
A．－16 B．－8
C．8 D．16
解析：·＝||·||·cos∠A＝||·||·＝||2＝16.
答案：D
3．已知向量a、b满足|a|＝2，|b|＝3，a·(b－a)＝－1，则向量a与向量b的夹角为(　　)
A. B.
C. D.
解析：由条件得a·b－a2＝－1，即a·b＝3，设向量a，b的夹角为α，则cosα＝＝＝，所以α＝.
答案：C
4．设i，j是互相垂直的单位向量，向量a＝(m＋1)i－3j，b＝i＋(m－1)j，(a＋b)⊥(a－b)，则实数m的值为(　　)
A．－2 B．2
C．－ D．不存在
解析：由题设知：a＝(m＋1，－3)，b＝(1，m－1)，
∴a＋b＝(m＋2，m－4)，a－b＝(m，－m－2)．
∵(a＋b)⊥(a－b)，∴(a＋b)·(a－b)＝0，
∴m(m＋2)＋(m－4)(－m－2)＝0，解之得m＝－2.
故应选A.
答案：A
5．设0≤θ<2π，已知两个向量＝(cosθ，sinθ)，＝(2＋sinθ，2－cosθ)，则向量的长度的最大值是(　　)
A. B.
C．3 D．2
解析：＝(2＋sinθ－cosθ，2－cosθ－sinθ)，
||＝
＝≤＝3.当且仅当θ＝π时取等号．
答案：C
6．(2011·岳阳市模拟)已知△ABC中，＝a，＝b，a·b<0，S△ABC＝，|a|＝3，|b|＝5，则∠BAC等于(　　)
A．30° B．－150°
C．150° D．30°或150°
解析：∵S△ABC＝|a||b|sin∠BAC＝，
∴sin∠BAC＝，
又a·b<0，∴∠BAC为钝角，∴∠BAC＝150°.
答案：C
二、填空题(每小题5分，共15分)
7．已知A(1,2)，B(3,4)，C(－2,2)，D(－3,5)，则向量在向量上的投影为__________
解析：＝(2,2)，＝(－1,3)，
设和的夹角为α，
则向量在向量上的投影为
||cosα＝＝＝.
答案：
8．(2010·天津高考)如右图，在△ABC中，AD⊥AB，＝，||＝1，则·＝________.
解析：∵＝＋
＝＋
＝＋(＋)＝(1－)＋.
∴·＝[(1－)＋]·
＝(1－)·＋2＝2＝.
答案：
9．(2010·浙江高考)已知平面向量α，β(α≠0，α≠β)满足|β|＝1，且α与β－α的夹角为120°，则|α|的取值范围是________．
解析：如下图所示，在△ABC中，∠ABC＝60°.

AC＝1.设∠ACB＝φ，由正弦定理＝⇒
|α|＝sinφ＝sinφ≤.
∴|α|∈(0，]．
答案：(0，]
三、解答题(共55分)
10．(15分)(2010·重庆一诊)已知向量＝(3，－4)，＝(6，－3)，＝(5－m，－3－m)．
(1)若A，B，C三点共线，求实数m的值；
(2)若∠ABC为锐角，求实数m的取值范围．
解：(1)∵向量＝(3，－4)，＝(6，－3)，＝(5－m，－3－m)，
∴＝(3,1)，＝(2－m,1－m)，
由三点共线知3(1－m)＝2－m，解得m＝.
(2)由题设知＝(－3，－1)，＝(－1－m，－m)，
∵∠ABC为锐角，
∴·＝3＋3m＋m>0，解得m>－.
又由(1)可知，当m＝时，∠ABC＝0°，
故m∈(－，)∪(，＋∞)．
11．(20分)设在平面上有两个向量a＝(cosα，sinα)(0°≤α<360°)，b＝(－，)．
(1)求证：向量a＋b与a－b垂直；
(2)当向量a＋b与a－b的模相等时，求α的大小．
(1)证明：因为(a＋b)·(a－b)＝|a|2－|b|2
＝(cos2α＋sin2α)－(＋)＝0，
故a＋b与a－b垂直．
(2)解：由|a＋b|＝|a－b|，两边平方得3|a|2＋2a·b＋|b|2＝|a|2－2a·b＋3|b|2，
所以2(|a|2－|b|2)＋4a·b＝0，而|a|＝|b|，
所以a·b＝0，
则(－)·cosα＋·sinα＝0，
即cos(α＋60°)＝0，∴α＋60°＝k·180°＋90°，
即α＝k·180°＋30°，k∈Z，
又0°≤α<360°，则α＝30°或α＝210°.
——探究提升——
12．(20分)(2011·江西六校联考)已知△ABC的周长为6，角A，B，C所对的边a，b，c成等比数列．
(1)求角B及边b的最大值；
(2)设△ABC的面积为S，求S＋的最大值．
解：(1)∵a＋b＋c＝6，b2＝ac，
∴cosB＝＝≥＝，
当且仅当a＝c时取等号，故角B有最大值.
又b＝≤＝，
当且仅当a＝c时取等号，从而b≤2，即b有最大值2.
(2)∵S＝acsinB＝b2sinB，
∴由(1)知，当B＝，b＝2时，S有最大值.
∵·＝accosB＝＝
＝＝－(b＋3)2＋27.
∴＝≤，
当且仅当b＝2时取等号．
∴S＋的最大值为＋.

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