空间向量及其线性运算7题型分类(讲+练)(原卷版)-2024年秋高二数学选择性必修第一册题型练习.pdf

1.1.1 空间向量及其线性运算空间向量及其线性运算 7 题型分类题型分类一、空间向量的概念1定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量2长度或模：向量的大小3表示方法：几何表示法：空间向量用有向线段表示；字母表示法：用字母 a，b，c，表示；若向量 a 的起点是 A，终点是 B，也可记作AB，其模记为|a|或|AB|.4几类特殊的空间向量名称定义及表示零向量长度为 0 的向量叫做零向量，记为 0单位向量模为 1 的向量称为单位向量相反向量与向量 a 长度相等而方向相反的向量，称为 a 的相反向量，记为 a共线向量(平行向量)如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量规定：对于任意向量 a，都有 0a相等向量方向相同且模相等的向量称为相等向量二、空间向量的线性运算加法abOA AB OB 减法abOA OC CA 空间向量的线性运算数乘当 0 时，aOA PQ；当 r r，则ABCD r rD相等向量其方向必相同8（2024 高二上四川遂宁阶段练习）已知O为空间任一点，A，B，C，D四点满足任意三点不共线，但四点共面，且234OAxBOyCOzDO=+r r rr，则234xyz+的值为（）A1B1-C2D29（2024 高二上安徽宿州期末）已知点D在ABCV确定的平面内，O是平面ABC外任意一点，实数,x y满足ODxOAyOBOC=+-r r rr，则22xy+的最小值为（）A45B2 55C1D210（2024 高二上山东威海期末）在平行六面体1111ABCDABC D-中，点 E 满足1111133AEAAABAD=-+rrr r，则（）A1113B EBC=rrB11132B EBC=rrC1113B EBC=rrD11123B EBC=rr11（2024 高二上北京期中）在三棱柱111ABCABC-中，D 是四边形11BBC C的中心，且1AAa=rr，ABb=rr，ACc=rr，则1AD=r（）A111222abc+rrrB111222abc-+rrrC111222abc+-rrrD111222abc-+rrr12（2024 高二上河南洛阳期中）已知点D在ABCV确定的平面内，O是空间任意一点，实数,x y满足2ODxOAyOBOC=+-r r rr，则22xy+的最小值为（）A45B2 55C1D213（2024 高二上福建三明开学考试）下列命题中为真命题的是（）A空间向量AB v与BA r的长度相等B将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个圆C空间向量就是空间中的一条有向线段D不相等的两个空间向量的模必不相等14（2024 高二全国课后作业）给出下列命题：两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；若空间向量,a br r满足ab=rr，则ab=rr；在正方体1111ABCDABC D-中，必有11ACAC=rr；若空间向量,m n pr r r满足mn=rr，np=r r，则mp=r r其中正确的个数为（）A4B3C2D115（2024 高二上福建福州期末）已知O为空间任意一点，,A B C P四点共面，但任意三点不共线如果BPmOAOBOC=+r r rr，则m的值为（）A-2B-1C1D216（2024 高二上浙江台州期末）如图，在平行六面体1111ABCDABC D-中，E 是11C D的中点，则AE=r（）A112ABADAA+rrrB112ABADAA+rrrC112ABADAA+rrrD1ABADAA+rrr17（2024 高二下上海闵行开学考试）已知、ABC是空间中不共线的三个点，若点O满足230OAOBOC+=r rrr，则下列说法正确的一项是（）A点O是唯一的，且一定与、ABC共面B点O不唯一，但一定与、ABC共面C点O是唯一的，但不一定与、ABC共面D点O不唯一，也不一定与、ABC共面18（2024 高二下江苏宿迁阶段练习）已知向量1er，2e r不共线，12ABee=+rr r，1228ACee=+rr r，1235ADee=-rr r，则（）AAB r与ACr共线BAB r与CD r共线CA，B，C，D四点不共面DA，B，C，D四点共面19（2024江西新余二模）已知长方体1111ABCDABC D-，2ABAD=，14AA=，M 是1BB的中点，点 P满足1BPBCBBlm=+r rr，其中0,1l，0,1m，且MP平面11AB D，则动点 P 的轨迹所形成的轨迹长度是（）A5B4 2C2 2D220（2024 高二下江苏淮安阶段练习）四面体OABC-中，3=r rOPPA，Q是BC的中点，M是PQ的中点，设OAa=rr，OBb=rr，OCc=rr，则OM=r（）A111466abc+rrrB311444+rrrabcC311844+rrrabcD111344abc+rrr21（2024浙江温州二模）如图，在四面体ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，过EF的平面a分别交棱DA、BC于G、H（不同于A、B、C、D），P、Q分别是棱BC、CD上的动点，则下列命题错误的是（）A存在平面a和点P，使得/AP平面aB存在平面a和点Q，使得AQ/平面aC对任意的平面a，线段EF平分线段GHD对任意的平面a，线段GH平分线段EF22（2024 高二上北京海淀期末）在平行六面体1111ABCDABC D-中，点 M 满足2AMAC=r r若11111,ABa ADb A Ac=rrrrrr，则下列向量中与1B Mr相等的是（）A1122abc-+rrrB1122abc+rrrC1122-+rrrabcD1122abc-+rrr二、多选题二、多选题23（2024 高二上山东潍坊期中）如图所示，在长方体1111ABCDABC D-中，13,2,1ABADAA=，则在以八个顶点中的两个分别为始点和终点的向量中（）A单位向量有 8 个B与AB r相等的向量有 3 个C与1AAr的相反向量有 4 个D向量11111,AD AB CCr r r共面24（2024 高二下江苏课后作业）下列说法错误的是（）A空间的任意三个向量都不共面B空间的任意两个向量都共面C三个向量共面，即它们所在的直线共面D若三向量两两共面，则这三个向量一定也共面25（2024 高二上山东济宁阶段练习）空间四点,A B C D及空间任意一点O，由下列条件一定可以得出,A B C D四点共面的有（）A23ABACAD=+rrrB3OAOBOCDO=-r rrrCABAC rrDOC35BOAODO=+-r rrr26（2024 高二上安徽期中）如图，在三棱柱111ABCABC-中，P 为空间一点，且满足1BPBCBBlm=+r rr，,0,1l m，则（）A当1l=时，点 P 在棱1BB上B当1m=时，点 P 在棱11BC上C当1lm+=时，点 P 在线段1BC上D当lm=时，点 P 在线段1BC上27（2024 高二上辽宁本溪期末）下列命题中正确的是（）A若ABCD，则AB rCD rBabab+=+rrrr是,a br r共线的必要条件C,A B C三点不共线，对空间任一点O，若111244OPOAOBOC=+r r rr，则,P A B C四点共面D若,P A B C为空间四点，且有PAPBPClm=+r r r（,PB PC r r不共线），则1lm+=是,A B C三点共线的充要条件三、填空题三、填空题28（2024 高二全国课后作业）如图所示，在平行六面体ABCDA B C D-的棱中，与向量AAr模相等的向量有 个.29（2024 高二上河北沧州阶段练习）已知 A，B，C 三点不共线，O 是平面 ABC 外任意一点，若由16)1(23OPOAOBOCl=+-r r rr确定的一点 P 与 A，B，C 三点共面，则l=30（2024 高二上山东聊城期中）已知,i j kr r rr r r是不共面向量，,42,72aijk bijk cijkl=-+=-+-=+rrrr rrrr rrrr，若,a b cr r r三个向量共面，则实数l=.31（2024 高二上山东烟台期末）如图所示的平行六面体1111ABCDABC D-中，已知1ABAAAD=，160BADDAA=，130BAA=，N为11AD上一点，且111ANADl=若BDAN，则l的值为 ；若M为棱1DD的中点，/BM平面1AB N，则l的值为 32（2024 高一下河北衡水期末）在正三棱柱111ABCABC-中，11ABAA=，点 P 满足1BPmBCnBB=+r rr，其中1,0,1mn=，则三角形1AB P周长最小值是 .33（2024 高二上天津静海阶段练习）已知P为空间中任意一点，A、B、C、D四点满足任意三点均不共线，但四点共面，且4136PAxPDBPBC=-+r，则实数x的值为 .34（2024 高三全国专题练习）如图，已知四棱柱1111ABCDABC D-的底面1111DCBA为平行四边形，E为棱AB的中点，13AFAD=rr，12AGGA=rr，1AC与平面EFG交于点M，则1AMAC=.四、解答题四、解答题35（2024 高二全国课后作业）如图所示，已知矩形ABCD，P为平面ABCD外一点，且PA 平面ABCD，M、N分别为PC、PD上的点，且:2:1PM MC=，PNND=，求满足MNxAByADzAP=+r rr r的实数,x y z的值36（2024 高二江苏专题练习）已知O、A、B、C、D、E、F、G、H为空间的9个点（如图所示），并且OEkOA=r r，OFkOB=r r，OHkOD=rr，ACADmAB=+rr r，EGEHmEF=+rr r求证：/AC EG37（2024 高二下江苏课后作业）设21,eer r是空间两个不共线的非零向量，已知122ABeke=+rr r，123BeeC+=rrr，122DeCe-=rrr，且 A，B，D 三点共线，求实数 k 的值38（2024 高二上全国课前预习）如图所示，已知1111ABCDABC D-为平行六面体，若以此平行六面体的顶点为向量的起点、终点，求：（1）与1BBr相等的向量；（2）与1 rBC相反的向量；（3）与1BAr平行的向量39（2024 高二上广东深圳开学考试）如图，在三棱锥PABC-中，点G为ABCV的重心，点M在PG上，且3PMMG=，过点M任意作一个平面分别交线段PA，PB，PC于点D，E，F，若PDmPA=，PEnPB=，PFt PC=，求证：111mnt+为定值，并求出该定值.40（2024 高二上湖南长沙阶段练习）如图，已知,O A B C D E F G H为空间的 9 个点，且OEkOA=r r，OFkOB=r r，OHkOD=rr，ACADmAB=+rr r，EGEHmEF=+rr r，0,0km.求证：（1）/ACEGr r；（2）OGkOC=rr.