小学奥数 接送问题; 题库教师版.pdf

3-2-9.接送问题.题库 教师版 page 1 of 12 接送问题 接送问题 1、准确画出接送问题的过程图标准：每个量在相同时间所走的路程要分清 2、理解运动过程，抓住变化规律 3、运用行程中的比例关系进行解题 一、校车问题行走过程描述 队伍多，校车少，校车来回接送，队伍不断步行和坐车，最终同时到达目的地，即到达目的地的最短时间，不要求证明。二、常见接送问题类型 根据校车速度（来回不同）、班级速度（不同班不同速）、班数是否变化分类为四种常见题型：（1）车速不变-班速不变-班数 2 个（最常见）（2）车速不变-班速不变-班数多个 （3）车速不变-班速变-班数 2 个 （4）车速变-班速不变-班数 2 个 三、标准解法：画图列 3 个式子 1、总时间=一个队伍坐车的时间+这个队伍步行的时间；2、班车走的总路程；3、一个队伍步行的时间=班车同时出发后回来接它的时间。模块一、汽车接送问题接一个人【例【例 1】某校和某工厂之间有一条公路，该校下午某校和某工厂之间有一条公路，该校下午2时派车去该厂接某劳模来做报告，往返需用时派车去该厂接某劳模来做报告，往返需用1小时 这位劳模在下午小时 这位劳模在下午 1 时便离厂步行向学校走来，途中遇到接他的汽车，便立刻上车驶向学校，在下午时便离厂步行向学校走来，途中遇到接他的汽车，便立刻上车驶向学校，在下午 2 时时 40 分到达问：汽车速度是劳模步行速度的几倍？分到达问：汽车速度是劳模步行速度的几倍？【分析】车下午 2 时从学校出发，如图，学校工厂学校工厂PCBA 在C点与劳模相遇，再返回 B 点，共用时 40 分钟，由此可知，在从 B 到C用了40220=分钟，也就是 2 时 20 分在C点与劳模相遇此时劳模走了 1 小时 20 分，也就是 80 分钟 另一方面，汽车走两个 AB 需要 1 小时，也就是从 B 点走到 A 点需要 30 分钟，而前面说走完BC 需要 20 分钟，所以走完AC要 10 分钟，也就是说2BCAC=走完AC，劳模用了 80 分钟；走完BC，汽车用了 20 分钟劳模用时是汽车的 4 倍，而汽车行驶距离是劳模的 2 倍，所以汽车的速度是劳模速度的428=倍【点拨】复杂的行程问题总要先分析清楚过程我们不把本题看作是一道相遇问题，因为在路程和速度都不知道的情况下，解相遇问题需要初中代数的知识 直接求出相遇点C到两端 A、B 的长度关系，再通过时间的倍数关系，就可以解出本题解这道题，最重要的就是找出劳模和汽车间路程及所有时间的倍数关系通过汽车的用时推出 AC与BC的倍数关系，再得出答案 3-2-9.接送问题.题库 教师版 page 2 of 12 如何避开运用分数和比例，方法有很多对于这道题，如果认为学校与工厂间相距为 3000 米，则做出这道题就更容易了：汽车 1 分钟走300030100=米 AB 相距 1000 米，劳模走了 80 分钟，所以劳模的速度是每分钟走10008012.5=米，汽车速度是劳模的10012.58=倍 而实际上，3000米这个附加条件对结果并不起作用，只是使解题人的思路更加清晰 【巩固】【巩固】(2008 年年“陈省身杯陈省身杯”国际青少年数学邀请赛国际青少年数学邀请赛)张工程师每天早上张工程师每天早上8点准时被司机从家接到厂里。一天，张工程师早上点准时被司机从家接到厂里。一天，张工程师早上7点就出了门，开始步行去厂里，在路上遇到了接他的汽车，于是，他就上车行完了剩下的路程，到厂时提前点就出了门，开始步行去厂里，在路上遇到了接他的汽车，于是，他就上车行完了剩下的路程，到厂时提前20分钟。这天，张工程师还是早上分钟。这天，张工程师还是早上7点出门，但点出门，但15分钟后他发现有东西没有带，于是回家去取，再出门后在路上遇到了接他的汽车，那么这次他比平常要提前分钟后他发现有东西没有带，于是回家去取，再出门后在路上遇到了接他的汽车，那么这次他比平常要提前 分钟到厂。分钟到厂。【解析】【解析】第一次提前20分钟是因为张工程师自己走了一段路，从而导致汽车不需要走那段路的来回，所以汽车开那段路的来回应该是20分钟，走一个单程是10分钟，而汽车每天8点到张工程师家里，所以那天早上汽车是7点50接到工程师的，张工程师走了50分钟，这段路如果是汽车开需要10分钟，所以汽车速度是张工程师步行速度的 5 倍，第二次，实际上相当于张工程师提前半小时出发，时间是遇到汽车之后的 5 倍，则张工程师走了25分钟时遇到司机，此时提前3025210=（）（分钟）。模块二、汽车接送问题接两个人或多人（一）、车速不变、人速不变【例【例 2】（难度级别（难度级别）A、B 两个连队同时分别从两个营地出发前往一个目的地进行演习，两个连队同时分别从两个营地出发前往一个目的地进行演习，A 连有卡车可以装载正好一个连的人员，为了让两个连队的士兵同时尽快到达目的地，连有卡车可以装载正好一个连的人员，为了让两个连队的士兵同时尽快到达目的地，A 连士兵坐车出发一定时间后下车让卡车回去接连士兵坐车出发一定时间后下车让卡车回去接 B 连的士兵，两营的士兵恰好同时到达目的地，已知营地与目的地之间的距离为连的士兵，两营的士兵恰好同时到达目的地，已知营地与目的地之间的距离为 32 千米，士兵行军速度为千米，士兵行军速度为 8 千米千米/小时，卡车行驶速度为小时，卡车行驶速度为 40 千米每小时，求两营士兵到达目的地一共要多少时间？千米每小时，求两营士兵到达目的地一共要多少时间？【解析】【解析】由于卡车的速度为士兵行军速度的 5 倍，因此卡车折回时已走的路程是 B 连士兵遇到卡车时已走路程的 3 倍，而卡车折回所走的路程是 B 连士兵遇到卡车时已走路程的 2 倍，卡车接到 B 连士兵后，还要行走 3 倍 B 连士兵遇到卡车时已走路程才能追上 A 连士兵，此时他们已经到达了目的地，因此总路程相当于 4 倍 B 连士兵遇到卡车时已走路程，所以 B 连士兵遇到卡车时已走路程为8 千米，而卡车的总行程为（3+2+3）8=64 千米，这一段路，卡车行驶了 6440=8/5 小时，即 1小时 36 分钟这也是两营士兵到达目的地所花的时间.【巩固】甲班与乙班学生同时从学校出发去公园，两班的步行速度相等都是【巩固】甲班与乙班学生同时从学校出发去公园，两班的步行速度相等都是4千米千米/小时，学校有一辆汽车，它的速度是每小时小时，学校有一辆汽车，它的速度是每小时48千米，这辆汽车恰好能坐一个班的学生为了使两班学生在最短时间内到达公园，设两地相距千米，这辆汽车恰好能坐一个班的学生为了使两班学生在最短时间内到达公园，设两地相距150千米，那么各个班的步行距离是多少？千米，那么各个班的步行距离是多少？DCBA【解析】【解析】由于汽车速度是甲乙两班步行速度的12倍，设乙班步行1份，汽车载甲班到 A 点开始返回到 B 点相遇，这样得出:1:(121)21:5.5BD BA=，汽车从 A 点返回最终与乙班同时到达C点，汽车又行走了12份，所以总路程分成15.517.5+=份，所以每份1507.520=千米，所以各个班的步行距离为20千米 3-2-9.接送问题.题库 教师版 page 3 of 12【例【例 3】（难度级别（难度级别）甲、乙、丙三个班的学生一起去郊外活动，他们租了一辆大巴，但大巴只够一个班的学生坐，于是他们计划先让甲班的学生步行，乙丙两班的学生步行，甲班学生搭乘大巴一段路后，下车步行，然后大巴车回头去接乙班学生，并追赶上步行的甲班学生，再回头载上丙班学生后一直驶到终点，此时甲、乙两班也恰好赶到终点，已知学生步行的速度为）甲、乙、丙三个班的学生一起去郊外活动，他们租了一辆大巴，但大巴只够一个班的学生坐，于是他们计划先让甲班的学生步行，乙丙两班的学生步行，甲班学生搭乘大巴一段路后，下车步行，然后大巴车回头去接乙班学生，并追赶上步行的甲班学生，再回头载上丙班学生后一直驶到终点，此时甲、乙两班也恰好赶到终点，已知学生步行的速度为 5 千米千米/小时，大巴车的行驶速度为小时，大巴车的行驶速度为 55 千米千米/小时，出发地到终点之间的距离为小时，出发地到终点之间的距离为 8 千米，求这些学生到达终点一共所花的时间千米，求这些学生到达终点一共所花的时间.【解析】【解析】如图所示：FEDCBA丙乙甲 虚线为学生步行部分，实线为大巴车行驶路段，由于大巴车的速度是学生的 11 倍，所以大巴车第一次折返点到出发点的距离是乙班学生搭车前步行距离的 6 倍，如果将乙班学生搭车前步行距离看作是一份的话，大巴车第一次折返点到出发点的距离为 6 份，大巴车第一次折返到接到乙班学生又行驶了 5 分距离，如此大巴车一共行驶了 6+5+6+5+6=28 份距离，而 A 到 F 的总距离为 8 份，所以大巴车共行驶了 28 千米，所花的总时间为 28/55 小时.【例【例 4】海淀区劳动技术学校有海淀区劳动技术学校有100名学生到离学校名学生到离学校33千米的郊区参加采摘活动，学校只有一辆限乘千米的郊区参加采摘活动，学校只有一辆限乘25人的中型面包车为了让全体学生尽快地到达目的地决定采取步行与乘车相结合的办法已知学生步行的速度是每小时人的中型面包车为了让全体学生尽快地到达目的地决定采取步行与乘车相结合的办法已知学生步行的速度是每小时5千米，汽车行驶的速度是每小时千米，汽车行驶的速度是每小时55千米请你设计一个方案，使全体学生都能到达目的地的最短时间是多少小时千米请你设计一个方案，使全体学生都能到达目的地的最短时间是多少小时?6份1份1份1份1份1份【解析】【解析】由于100名学生要分4次乘车，分别命名为甲、乙、丙、丁四组，且汽车的速度是步行速度的11倍，乙组步行1份路程，则汽车载甲组行驶6份，放下甲组开始返回与乙组的学生相遇，汽车载乙组追上甲组，把乙组放下再返回，甲组也步行了1份，丙组、丁组步行的路程和乙组相同，如图所示，所以全程为61 1 19+=份，恰好是33千米，其中汽车行驶了339622=千米，共步行了332211=千米，所以全体学生到达目的地的最短时间为22551152.6+=（小时）【例【例 5】甲、乙两班学生到离校甲、乙两班学生到离校 39 千米的博物馆参观，但只有一辆汽车，一次只能乘坐一个班的学生 为了尽快到达博物馆，两个班商定，由甲班先坐车，乙班先步行，同时出发，甲班学生在途中某地下车后步行去博物馆，汽车则从某地立即返回去接在途中步行的乙班学生如果甲、乙两班学生步行速度相同，汽车速度是他们步行速度的千米的博物馆参观，但只有一辆汽车，一次只能乘坐一个班的学生 为了尽快到达博物馆，两个班商定，由甲班先坐车，乙班先步行，同时出发，甲班学生在途中某地下车后步行去博物馆，汽车则从某地立即返回去接在途中步行的乙班学生如果甲、乙两班学生步行速度相同，汽车速度是他们步行速度的 10 倍，那么汽车应在距博物馆多少千米处返回接乙班学生，才能使两班同时到达博物馆？倍，那么汽车应在距博物馆多少千米处返回接乙班学生，才能使两班同时到达博物馆？ABCD【解析】【解析】如图所示，当甲班乘车至C处后下车，然后步行至博物馆，车则返回去接乙班，至 B 处时恰好与 3-2-9.接送问题.题库 教师版 page 4 of 12 乙班相遇，然后载着乙班直接到博物馆 由于甲、乙两班学生要同时到达，他们所用的时间是相同的，而总路程也相同，那么他们乘车的路程和步行的路程也分别相同，也就是说图中 AB 与CD相等又乙班走完 AB 时，汽车行驶了从A 到C再从C到 B 这一段路程，由于汽车速度是他们步行速度的 10 倍，所以汽车走的这段路程是 AB 的 10 倍，可得BC是 AB 的()10124.5=倍，那么全程 AD 是 AB 的6.5倍，也是CD的6.5倍，所以CD为396.56=千米，即汽车应在距博物馆 6 千米处返回接乙班 【例【例 6】（难度级别（难度级别）甲、乙两班学生到离校）甲、乙两班学生到离校 24 千米的飞机场参观，但只有一辆汽车，一次只能乘坐一个班的学生为了尽快到达飞机场，两个班商定，由甲班先坐车，乙班先步行，同时出发，甲班学生在途中某地下车后步行去飞机场，汽车则从某地立即返回接在途中步行的乙班学生如果甲、乙两班学生步行速度相同，汽车速度是他们步行速度的千米的飞机场参观，但只有一辆汽车，一次只能乘坐一个班的学生为了尽快到达飞机场，两个班商定，由甲班先坐车，乙班先步行，同时出发，甲班学生在途中某地下车后步行去飞机场，汽车则从某地立即返回接在途中步行的乙班学生如果甲、乙两班学生步行速度相同，汽车速度是他们步行速度的 7 倍，那么汽车应在距飞机场多少千米处返回接乙班学生，才能使两班同时到达飞机场倍，那么汽车应在距飞机场多少千米处返回接乙班学生，才能使两班同时到达飞机场?【解析】【解析】设学生步行时速度为“1”，那么汽车的速度为“7”，有如下示意图 我们让甲班先乘车，那么当乙班步行至距学校 l 处，甲班已乘车至距学校 7l 处此时甲班下车步行，汽车往回行驶接乙班，汽车、乙班将相遇 汽车、乙班的距离为 7l-l=6l，两者的速度和为 7+1=8，所需时间为 6l8=0.75l，这段时间乙班学生又步行 0.75l 的路程，所以乙班学生共步行 l+0.75l=1.75l后乘车而行应要求甲、乙班同时出发、同时到达，且甲、乙两班步行的速度相等，所以甲班也应在步行 1.75l 路程后达到飞机场，有甲班经过的全程为 7l+1.75l=8.75 l，应为全程所以有7l=248.757=19.2 千米，即在距学校 19.2 千米的地方甲班学生下车步行，此地距飞机场24-19.2=4.8 千米即汽车应在距飞机场 4.8 千米的地方返回接乙班学生，才能使两班同时到达飞机场 【例【例 7】(2008年年“迎春杯迎春杯”六年级初赛六年级初赛)A、B 两地相距两地相距22.4千米有一支游行队伍从千米有一支游行队伍从 A 出发，向出发，向 B 匀速前进；当游行队伍队尾离开匀速前进；当游行队伍队尾离开 A 时，甲、乙两人分别从时，甲、乙两人分别从 A、B 两地同时出发乙向两地同时出发乙向 A 步行；甲骑车先追向队头，追上队头后又立即骑向队尾，到达队尾后再立即追向队头，追上队头后又立即骑向队尾步行；甲骑车先追向队头，追上队头后又立即骑向队尾，到达队尾后再立即追向队头，追上队头后又立即骑向队尾当甲第当甲第5次追上队头时恰与乙相遇在距次追上队头时恰与乙相遇在距 B 地地5.6千米处；当甲第千米处；当甲第7次追上队头时，甲恰好第一次到达次追上队头时，甲恰好第一次到达 B 地，那么此时乙距地，那么此时乙距 A 地还有地还有_千米千米 5.6kmBA【解析】【解析】整个行程如图所示设甲第一次追上队头与第二次追上队头时队伍所行的距离为x千米，第一次从队头到队尾时甲所行距离为 y 千米由于每一次甲都是从队尾追上队头，再从队头回到队尾，追上队头是一个追及过程，回到队尾是一个相遇过程，而追及、相遇的路程都是队伍的长度，队伍的长度是不变的，所以每一次追及、相遇的时间也是不变的，所以每一次甲追上队头到下一次 3-2-9.接送问题.题库 教师版 page 5 of 12 甲追上队头这段时间内队伍所行的路程(即图中相邻两条虚线之间的距离)都是相同的，而每一次从队头到队尾时甲所行的路程也都是相同的 根据题意，甲第 5 次追上队头时距 B 地 5.6 千米，第 7 次追上队头时恰好到达 B 地，所以25.6x=；从图中可以看出，722.4xy+=，所以：25.6722.4xxy=+=，解得2.82.8xy=甲第 5 次追上队头时恰与乙相遇在距 B 地 5.6 千米处，甲第 5 次追上队头时共行了()2.82.852.8439.2+=千米，根据时间一定，速度比等于路程之比，可得:39.2:5.67:1vv=乙甲 从甲第 5 次追上队头到甲第 7 次追上队头，甲共行了()2.82.822.8216.8+=千米，所以这段时间内乙行了16.872.4=千米，所以此时乙距 A 地还有22.45.62.414.4=(千米)（二）车速不变、人速变【例【例 8】（难度级别（难度级别）甲班与乙班学生同时从学校出发去公园，甲班步行的速度是每小时）甲班与乙班学生同时从学校出发去公园，甲班步行的速度是每小时 4 千米，乙班步行的速度是每小时千米，乙班步行的速度是每小时 3 千米。学校有一辆汽车，它的速度是每小时千米。学校有一辆汽车，它的速度是每小时 48 千米，这辆汽车恰好能坐一个班的学生。为了使两班学生在最短时间内到达公园，那么甲班学生与乙班学生需要步行的距离之比是多少千米？千米，这辆汽车恰好能坐一个班的学生。为了使两班学生在最短时间内到达公园，那么甲班学生与乙班学生需要步行的距离之比是多少千米？【解析】【解析】方法一：不妨设乙班学生先步行，汽车将甲班学生送至 A 地后返回，在 B 处接到乙班学生，最后汽车与乙班学生同时到达公园，如图：甲V：车V=1：12，乙V：车V=1：16。乙班从 C 至 B 时，汽车从 CAB，则两者路程之比为 1：16，不妨设 CB=1，则 CAB=16，CA=（116）2=8.5，则有 CB：BA=1：7.5；类似设 AD=1，分析可得 AD：BA=1：5.5，综合得 CB：BA：AD=22：165：30，说明甲乙两班步行的距离之比是 15：11。方法二：如图，假设实线代表汽车行驶的路线，虚线代表甲班和乙班行走的路线，假设乙班行驶1份到达C点，则汽车行驶16份到达 E 点，汽车与乙班共行驶15份在 D 点相遇，其中乙班步行了115151 1617=+份，同时甲班步行了1542017317=份，此时汽车与甲班相差1520516115171717+=份，这样甲班还需步行55115(484)4(15)171711=+份，所以甲班与乙班步行的路程比为2051(15)20 11 15 175151717111511 1715 1111117+=+方法三：由于汽车速度是甲班速度的12倍，是乙班速度的16倍，设乙班步行1份，则汽车载甲班学生到 E 点返回与乙班相遇，共行16份，所以:1:(161)21:7.52:15AD DE=，类似的设甲 班 步 行 1 份，则 汽 车 从 E 点 返 回 到 D 点 又 与 甲 班 同 时 到 达 B 点，所以,:(121)2:15.5:111:2DE EB=，所以:22:(15 11):30AD DE EB=,所以甲班与乙班步 3-2-9.接送问题.题库 教师版 page 6 of 12 行的路程比为30:2215:11=（三）、车速变、人速不变【例【例 9】甲、乙两班同学到甲、乙两班同学到 42 千米外的少年宫参加活动，但只有一辆汽车，且一次只能坐一个班的同学，已知学生步行速度相同为千米外的少年宫参加活动，但只有一辆汽车，且一次只能坐一个班的同学，已知学生步行速度相同为5千米小时，汽车载人速度是千米小时，汽车载人速度是45千米小时，空车速度是千米小时，空车速度是75千米千米/小时如果要使两班同学同时到达，且到达时间最短，那么这个最短时间是多少？小时如果要使两班同学同时到达，且到达时间最短，那么这个最短时间是多少？【解析】【解析】x-1x1车乙甲 行车路线如图所示，设甲、乙两班步行的路程为 1，车开出x后返回接乙班 由车与乙相遇的过程可知：1154575xx=+，解得6x=，因此，车开出6423661=+千米后，放下甲班回去接乙班，甲班需步行142661=+千米，共用3662455+=小时 【例【例 10】（难度级别（难度级别）有两个班的小学生要到少年宫参加活动，但只有一辆车接送，第一班的学生坐车从学校出发的同时，第二班学生开始步行；车到途中某处，让第一班学生下车步行，车立刻返回接第二班学生上车并直接开往少年宫，学生步行速度为每小时）有两个班的小学生要到少年宫参加活动，但只有一辆车接送，第一班的学生坐车从学校出发的同时，第二班学生开始步行；车到途中某处，让第一班学生下车步行，车立刻返回接第二班学生上车并直接开往少年宫，学生步行速度为每小时 4 公里，载学生时车速每小时公里，载学生时车速每小时 40 公里，空车时车速为每小时公里，空车时车速为每小时 50 公里问：要使两班学生同时到达少年宫，第一班学生要步行全程的几分之几？公里问：要使两班学生同时到达少年宫，第一班学生要步行全程的几分之几？【解析】【解析】由于两个班的同学都是一段路步行一段路乘车，而乘车的速度比步行快，中间又没有停留，因此要同时到达少年宫，两个班的同学步行的路程一定要一样长如图所示，图中 A 是学校，B 是少年宫，C 是第一班学生下车的地点，D 是第二班学生上车的地点由上所述 AD 和 CB 一样长，设第一班同学下车时，第二班同学走到 E 处由于载学生时车速为每小时40 公里，而步行的速度为每小时 4 公里，是车速的 1/10，因而 AE 是 AC 的 1/10在第一班学生下车后，汽车从 C 处迎着第二班学生开，车速是每小时 50 公里，而第二班学生从 E 处以每小时4 公里的速度向前走，汽车和第二班学生在 D 点相遇这是普通的行程问题，不难算出 ED 是 EC 的544.由于 EC 是 AC 的 1-101=109，可见 ED 是 AC 的151109544=这样 AD 就是 AC 的61151101=+又 AD=CB，AD 就是 AB 的71)611(61=+，故第一班学生步行了全程的71 【例【例 11】某学校学生计划乘坐旅行社的大巴前往郊外游玩，按照计划，旅行社的大巴准时从车站出发后能在约定时间到达学校，搭载满学生在预定时间到达目的地，已知学校的位置在车站和目的地之间，大巴车空载的时候的速度为某学校学生计划乘坐旅行社的大巴前往郊外游玩，按照计划，旅行社的大巴准时从车站出发后能在约定时间到达学校，搭载满学生在预定时间到达目的地，已知学校的位置在车站和目的地之间，大巴车空载的时候的速度为60千米千米/小时，满载的时候速度为小时，满载的时候速度为40千米千米/小时，由于某种原因大巴车晚出发了小时，由于某种原因大巴车晚出发了56分钟，学生在约定时间没有等到大巴车的情况下，步行前往目的地，在途中搭载上赶上来的大巴车，最后比预定时间晚了分钟，学生在约定时间没有等到大巴车的情况下，步行前往目的地，在途中搭载上赶上来的大巴车，最后比预定时间晚了54分钟到达目的地，求学生们的步行速度分钟到达目的地，求学生们的步行速度【解析】【解析】大巴车空载的路程每多60千米，满载的路程就会少60千米，全程所花的时间就会少60600.54060=3-2-9.接送问题.题库 教师版 page 7 of 12 小时30=分钟，现在大巴车比原计划全程所花时间少了56542=分钟，所以，所以大巴车空载的路程比原计划多了260430=千米，也就是说，大巴车抵达学校后又行驶了4千米才接到学生，此时学生们已经出发了456606060+=分钟即1小时，所以学生们的步行速度为4千米/小时 （四）、车速变、人速变【例【例 12】（2008 年台湾小学数学竞赛选拔赛决赛）甲、乙二人由年台湾小学数学竞赛选拔赛决赛）甲、乙二人由 A 地同时出发朝向地同时出发朝向 B 地前进，地前进，A、B 两地之距离为两地之距离为36千米甲步行之速度为每小时千米甲步行之速度为每小时4千米，乙步行之速度为每小时千米，乙步行之速度为每小时5千米现有一辆自行车，甲骑车速度为每小时千米现有一辆自行车，甲骑车速度为每小时10千米，乙骑车的速度为每小时千米，乙骑车的速度为每小时8千米出发时由甲先骑车，乙步行，为了要使两人都尽快抵达目的地，骑自行车在前面的人可以将自行车留置在途中供后面的人继续骑请问他们从出发到最后一人抵达目的地最少需要多少小时？千米出发时由甲先骑车，乙步行，为了要使两人都尽快抵达目的地，骑自行车在前面的人可以将自行车留置在途中供后面的人继续骑请问他们从出发到最后一人抵达目的地最少需要多少小时？【解析】【解析】设甲骑车至离 A 地x千米处后停车，且剩余(36)x千米改为步行，则乙步行了x千米后，剩余(36)x千米改为骑车因要求同时出发且尽速抵达目的地，故花费的时间应该相同，因此可得：363610458xxxx+=+，解得20 x=故共花费了2036206104+=小时 模块三、汽车接送问题借车赶路问题【例【例 13】（难度级别（难度级别）三个人同时前往相距）三个人同时前往相距 30 千米的甲地，已知三人行走的速度相同，都是千米的甲地，已知三人行走的速度相同，都是 5 千米每小时；现在还有一辆自行车，但只能一个人骑，已知骑车的速度为千米每小时；现在还有一辆自行车，但只能一个人骑，已知骑车的速度为 10 千米每小时。现先让其中一人先骑车，到中途某地后放车放下，继续前进；第二个人到达后骑上再行驶一段后有放下让最后那人骑行，自己继续前进，这样三人同时到达甲地。问，三人花的时间各为多少？千米每小时。现先让其中一人先骑车，到中途某地后放车放下，继续前进；第二个人到达后骑上再行驶一段后有放下让最后那人骑行，自己继续前进，这样三人同时到达甲地。问，三人花的时间各为多少？【解析】【解析】由于每人的速度相同，所以每人行走的路程相同，骑车的路程也要相同，这样每人骑车的距离都是 1/3，所以时间就是 205+1010=5 小时 【例【例 14】(第八届全国第八届全国“华罗庚金杯华罗庚金杯”少年数学邀请赛少年数学邀请赛)A、B 两地相距两地相距 120 千米，已知人的步行速度是每小时千米，已知人的步行速度是每小时 5 千米，摩托车的行驶速度是每小时千米，摩托车的行驶速度是每小时 50 千米，摩托车后座可带一人问：有三人并配备一辆摩托车从千米，摩托车后座可带一人问：有三人并配备一辆摩托车从 A 地到地到 B 地最少需要多少小时？地最少需要多少小时？(保留保留位小数位小数)【解析】【解析】本题实际上是一个接送问题，要想使所用的时间最少，三人应同时到达假设这三人分别为甲、乙、丙由于摩托车只可同时带两个人，所以可安排甲一直骑摩托车，甲先带乙到某一处，丙则先步行，甲将乙带到后再折回去接丙，乙开始步行，最后三人同时到达要想同时到达，则乙与丙步行的路程和乘车的路程都应相等如下图所示 丙乙甲DCBA 由于丙从 A 从走到 D 的时间内甲从 A 到C再回到 D，相同的时间内二者所行的路程之比等于速度的比，而两者的速度比为50:510:1=，所以1014.52DCADAD=，全程 3-2-9.接送问题.题库 教师版 page 8 of 12()4.51 16.5ABADAD=+=，所以从 A 地到 B 地所用的时间为：15.53721205120505.76.56.565+=(小时)【例【例 15】兄弟两人骑马进城，全程兄弟两人骑马进城，全程 51 千米。马每时行千米。马每时行 12 千米，但只能由一个人骑。哥哥每时步行千米，但只能由一个人骑。哥哥每时步行 5 千米，弟弟每时步行千米，弟弟每时步行 4 千米。两人轮换骑马和步行，骑马者走过一段距离就下鞍拴马（下鞍拴马的时间忽略不计），然后独自步行。而步行者到达此地，再上马前进。若他们早晨千米。两人轮换骑马和步行，骑马者走过一段距离就下鞍拴马（下鞍拴马的时间忽略不计），然后独自步行。而步行者到达此地，再上马前进。若他们早晨 6 点动身，则何时能同时到达城里？点动身，则何时能同时到达城里？【解析】【解析】设哥哥步行了 x 千米，则骑马行了（51x）千米。而弟弟正好相反，步行了（51x）千米，骑马 行x千 米。由 哥 哥 骑 马 与 步 行 所 用 的 时 间 之 和 与 弟 弟 相 等，可 列 出 方 程5151512412xxxx+=+，解得 x=30，所以两人用的时间同为330521 1274+=（小时），早晨 6 点动身，下午 1 点 45 分到达。【巩固】（难度级别【巩固】（难度级别）甲乙两人同时从学校出发去距离）甲乙两人同时从学校出发去距离 33 千米外的公园，甲步行的速度是每小时千米外的公园，甲步行的速度是每小时 4千米，乙步行的速度是每小时千米，乙步行的速度是每小时 3 千米。他们有一辆自行车，它的速度是每小时千米。他们有一辆自行车，它的速度是每小时 5 千米，这辆车只能载一个人，所以先让其中一人先骑车到中途，然后把车放下之后继续前进，等另一个人赶到放车的位置后再骑车赶去，这样使两人同时到达公园。那么放车的位置距出发点多少千米？千米，这辆车只能载一个人，所以先让其中一人先骑车到中途，然后把车放下之后继续前进，等另一个人赶到放车的位置后再骑车赶去，这样使两人同时到达公园。那么放车的位置距出发点多少千米？【解析】【解析】根据两人到达公园所花时间相等这一等量关系可列出方程，设放车的位置距出发点 x 千米，如果甲先骑车,方程为：33333545xxxx+=+，如果乙先骑车,方程为：33334535xxxx+=+，两条方程分别解得 x=9 和 x=24，所以有 9 千米和 24 千米两种答案.【巩固】【巩固】A、B 两人同时自甲地出发去乙地，两人同时自甲地出发去乙地，A、B 步行的速度分别为步行的速度分别为100米米/分、分、120米米/分，两人骑车的速度都是分，两人骑车的速度都是200米米/分，分，A 先骑车到途中某地下车把车放下，立即步行前进；先骑车到途中某地下车把车放下，立即步行前进；B 走到车处，立即骑车前进，当超过走到车处，立即骑车前进，当超过 A 一段路程后，把车放下，立即步行前进，两人如此继续交替用车，最后两人同时到达乙地，那么一段路程后，把车放下，立即步行前进，两人如此继续交替用车，最后两人同时到达乙地，那么 A 从甲地到乙地的平均速度是从甲地到乙地的平均速度是 米米/分分【解析】【解析】在整个行程中，车是从甲地到乙地，恰好过了一个全程，所以 A、B 两人步行的路程合起来也恰好是一个全程 而 A 步行的路程加上 A 骑车的路程也是一个全程，所以 A 步行的路程等于 B 骑车的路程，A 骑车的路程等于 B 步行的路程 设 A 步行x米，骑车 y 米，那么 B 步行 y 米，骑车x米由于两人同时到达，故所用时间相同，得：100200120200 xyyx+=+，可得:2:3x y=不妨设 A 步行了 200 米，那么骑车的路程为 300 米，所以 A 从甲地到乙地的平均速度是()20030010002003001002007+=(米/分)【例【例 16】A、B 两地相距两地相距 30 千米，甲乙丙三人同时从千米，甲乙丙三人同时从 A 到到 B，而且要求同时到达。现在有两辆自行车，但不许带人，但可以将自行车放在中途某处，后来的人可以接着骑。已知骑自行车的平均速度，而且要求同时到达。现在有两辆自行车，但不许带人，但可以将自行车放在中途某处，后来的人可以接着骑。已知骑自行车的平均速度 3-2-9.接送问题.题库 教师版 page 9 of 12 为每小时为每小时 20 千米，甲步行的速度是每小时千米，甲步行的速度是每小时 5 千米，乙和丙每小时千米，乙和丙每小时 4 千米，那么三人需要多少小时可以同时到达？千米，那么三人需要多少小时可以同时到达？【解析】【解析】因为乙丙步行速度相等，所以他们两人步行路程和骑车路程应该是相等的。对于甲因为他步行速度快一些，所以骑车路程少一点，步行路程多一些。现在考虑甲和乙丙步行路程的距离。甲多步行 1 千米要用15小时，乙多骑车 1 千米用120小时，甲多用11520320=小时。甲步行 1 千米比乙少用1114520=小时，所以甲比乙多步行的路程是乙步行路程的：13120203=.这样设乙丙步行路程为 3 份，甲步行 4 份。如下图安排：?乙放车丙放车份33份4份 这样甲骑车行骑车的35，步行25.所以时间为：3230203053.355+=小时。【例【例 17】设有甲、乙、丙三人，他们步行的速度相同，骑车的速度也相同，骑车的速度是步行速度的设有甲、乙、丙三人，他们步行的速度相同，骑车的速度也相同，骑车的速度是步行速度的3倍 现甲从倍 现甲从 A 地去地去 B 地，乙、丙从地，乙、丙从 B 地去地去 A 地，双方同时出发出发时，甲、乙为步行，丙骑车途中，当甲、丙相遇时，丙将车给甲骑，自己改为步行，三人仍按各自原有方向继续前进；当甲、乙相遇时，甲将车给乙骑，自己重又步行，三人仍按各自原有方向继续前进问：三人之中谁最先达到自己的目的地？谁最后到达目的地？地，双方同时出发出发时，甲、乙为步行，丙骑车途中，当甲、丙相遇时，丙将车给甲骑，自己改为步行，三人仍按各自原有方向继续前进；当甲、乙相遇时，甲将车给乙骑，自己重又步行，三人仍按各自原有方向继续前进问：三人之中谁最先达到自己的目的地？谁最后到达目的地？【解析】【解析】由于每人的步行速度和骑车速度都相同，所以，要知道谁先到、谁后到，只要计算一下各人谁骑行最长，谁骑行最短将整个路程分成4份，甲、丙最先相遇，丙骑行3份；甲先步行了1份，然后骑车与乙相遇，骑行33242=份；乙步行331(2)22+=份，骑行35422=份，可知，丙骑行的最长，甲骑行的最短，所以，丙最先到，甲最后到 模块四、汽车接送问题策略问题【例【例 18】两辆同一型号的汽车从同一地点同时出发，沿同一方向同速直线前进，每车最多能带两辆同一型号的汽车从同一地点同时出发，沿同一方向同速直线前进，每车最多能带 20 桶汽油（连同油箱内的油）。每桶汽油可以使一辆汽车前进桶汽油（连同油箱内的油）。每桶汽油可以使一辆汽车前进 60 千米，两车都必须返回出发地点，两辆车均可借对方的油，为了使一辆车尽可能地远离出发点，那么这辆车最远可达到离出发点多少千米远的地方？千米，两车都必须返回出发地点，两辆车均可借对方的油，为了使一辆车尽可能地远离出发点，那么这辆车最远可达到离出发点多少千米远的地方？【解析】【解析】甲乙两车从同一地点同时出发，沿同一方向同速直线前进，每车最多能带 20 桶汽油（连同油箱内的油）。每桶汽油可以使一辆汽车前进 60 千米，两车都必须返回出发地点。为了使一辆车（例如甲车）尽可能地远离出发点，则甲、乙车同行，各耗掉 a 桶油时，乙车停下，并把甲车加满油（恰好加 a 桶），还需留下 2a 桶油供甲车返回到此地时补给甲（a 桶）和自己（a 桶）供返回原地时用所以乙车 20 桶=4a，a=5 桶即甲车共向乙车最多借 2a=10 桶油 所以甲车最远可达到离出发点（10+20）*60/2=900 千米远的地方必须返回 【巩固】（难度等级【巩固】（难度等级）在一个沙漠地带，汽车每天行驶）在一个沙漠地带，汽车每天行驶 200 千米，每辆汽车载运可行驶千米，每辆汽车载运可行驶 24 天的汽油现有甲、乙两辆汽车同时从某地出发，并在完成任务后，沿原路返回为了让甲车尽天的汽油现有甲、乙两辆汽车同时从某地出发，并在完成任务后，沿原路返回为了让甲车尽 3-2-9.接送问题.题库 教师版 page 10 of 12 可能开出更远的距离，乙车在行驶一段路程后，仅留下自己返回出发地的汽油，将其他的油给甲车求甲车所能开行的最远距离可能开出更远的距离，乙车在行驶一段路程后，仅留下自己返回出发地的汽油，将其他的油给甲车求甲车所能开行的最远距离【解析】【解析】3200 【例【例 19】（难度级别（难度级别）一个旅游者于是）一个旅游者于是 10 时时 15 分从旅游基地乘小艇出发，务必在不迟于当日分从旅游基地乘小艇出发，务必在不迟于当日13 时返回。已知河水速度为时返回。已知河水速度为 1.4 千米千米/小时，小艇在静水中的速度为小时，小艇在静水中的速度为 3 千米千米/小时，如果旅游者每过小时，如果旅游者每过 30 分钟就休息分钟就休息 15 分钟，不靠岸，只能在某次休息后才返回，那么他从旅游基地出发乘艇走过的最大距离是千米。分钟，不靠岸，只能在某次休息后才返回，那么他从旅游基地出发乘艇走过的最大距离是千米。【解析】【解析】先逆水行 30 分，行（3-1.4）*30/60=0.8 千米。休息 15 分。艇退 1.4*15/60=0.35 千米。再逆水行30 分，行（3-1.4）*30/60=0.8 千米。休