交流电路的矢量表示法及其应用.pdf

3 3卷第 1 2期 2 O l 1 年 1 2月 物理教学 PH YS I CS TEACHI NG V0 1 3 3 NO 1 2 De c 2 O1 l 交流电路的矢量表示法及其应用 袁 芳(虹口区教师进修学院 上海2 0 0 0 8 1)朱炯 明(上海师范大学数理学院 上海2 0 0 2 3 4)一、简谐 交流 电 和直 流 电路不 同，在 交 流 电 路 中，电源 电动 势、电流和电压 的大小和方向都是周期性变化的。其 中 最 常见 的，也是 应用 最为 广泛 的是简谐 交 流 电(或 称 正 弦交流 电)。以电流 为例，电流强 度 随时 问变化 的 关 系可 用 一 正 弦 函数(或 余弦 函数)来 表 示，通 常 写作()一 s i n(wt+a，)，式中 i 表示电流的瞬 时值，z 表示时间，是 电 流 的峰 值，是 表 示 周 期 性 变化 的角 频 率，a 是 初 相 位，其 图象 如 图 1 所 示。、一 V j 图 1 简谐交流 电 简谐交流电的有效值和峰值之间的关系是 一，角频率、频率 厂和周期 T之间的关系是 c U一 42 2 一 丁2 7 r。有效值 J，角频率 和初相位 a 决定了简谐交流 电的性质，所以通常将它们称为简谐交流电的三要素。除 了电流 强度 以外，简谐交 流 电的 电压、电源 电 动势也 有相 同形式 的表 达 式，如 电压 的 瞬 时值 表 达 式 可 写成 M()一 U s i n(J t+a )等等。在 交 流 电路 中，除 了要 确 定元 件 两 端 的 电压 与 流过元件的电流之问的有效值大小 的比值 以外，还 必须确定两者的相位差。但因为电压和电流的变化 频率是相同的，所 以电压和电流任意时刻的相位差 都等于它们的初相位之差。交流 电路 中有三个基本元件，它们分别是纯 电 阻、纯电容和纯 电感。对于交流电路 中阻值为 R的 纯电阻，电压与电流的有效值之 比等于电阻的阻值，U，=：=R；初相 位之 差 a 一 a 一 0，电压 与 电流 同相 位，表示 电压、电流随时间的变化是同步的。对 于 电容 为 C的纯 电容 电路，电压 与 电流 的有 效值之比 u l一 1 c o C，将这一比值定义为容抗，表 示 为：X 一 1 w C；初相 位之 差 a 一a 一，通 常 厶 称电容的电流比电压超前，即当电流达到峰值后，厶 经过四分之一个周期，电压才达到峰值。对 于 电感 为 L的纯 电感 电路，电压 和 电 流 的有 效值之 比u I=止，将这 一比值定义为感抗，表示 为：X 一止；初相位之差 a a 一 祟 一 通常称电流 己 比电压滞后，即当电压达到峰值后，经过四分之一 厶 个周期，电流才达 到 峰值。二、交流 电的 矢量表 示 由于 简谐交 流 电 的 表达 式 是 三 角 函数 运 算 会 相当繁复。但我们可 以仿照简谐运动 的旋转矢量表 示法，用一 旋转 矢 量 来 表示 简 谐 交 流 电 的 电流 或 电 压等 物理 量。以 电流为例，在 x O y平 面上 自0 点 作 一长 度为 峰值 的 矢 量，以恒 定 角 速 度 绕 0 点 逆 时针 旋转，其角 速度 等于 电流 的角频 率。且 当 一 0时，矢 量 与 z轴 的夹 角 等 于 电流 的初 相 位 a 。任 意时刻 t，旋转矢量与 2 7 轴 的夹角等于 t+a ，此时 矢 量在 y轴 上 的 投 影 可 表示 为 i()=，s i n(t+a )。如 图 2所 示。=一 j 图 2 旋转矢量 表示 其实，t 一0时刻的矢量 已包含了交流电流的两 3 3卷第 1 2期 物理教学 个要素的信息：矢量的长度即为峰值(为 了以后计算 方便，我们 也 可 以等效地 用矢 量 的长度 代表 有效 值)，而矢量与 z轴的夹 角即为初相位 a 。另外，在 同一个交流电路中，电压、电流等各物理量的角频率 是相 同的，而且不随时间改变，可视为一常量，这是 第三个要素。我们只要记着，这些 矢量是 同步地逆 时针旋转的。为 了区别于一般 的有效值，通常在 电 压、电流有效值符号 的上方加一个小点，表示相应 的 旋转矢量，如：，、U等。当我们要研究 电压与 电流的关系时，只需要画 出分别代表电压和电流的两个矢量，它们 的长度分 别表示各 自的有效值，它们 的夹 角则表示相位 差。比如，纯电阻、纯电容和纯电感电路的矢量表示分别 如 图 3(a)、(b)、(c)所示。这些矢量虽然不停地旋 转，但它们之问的相对位置关系保持不变。而正是 这相对位置关系中包 含了我们需要 的重要信息：有 效值之 比和初相位之差。有 了这些信息，我们 就可 以解决 不少 问题。(a)纯电阻(b)纯电容(c)纯电感 图 3 三、交流 电矢量 表 示法 的一 些应 用 1 两个 串联 元件 的 电压之 和 交流电的性质不仅取决 于有效值 的大小，还 与 其相位有密切关系。这使得交流电常常表现 出与直 流电完全不同的特性。如果我们习惯性地用分析直 流 电路 的方 法来 处 理 交 流 电路 的 问题，就会 得 出错 误 的结果。在直 流 电路 中，两 个 串 联 电 阻 的 总 电压 等 于两 个电阻各 自的电压之 和。然而在交流 电路 中，只要 两个 串联元件 电压的相位不同，我们就不可 以将两 个元件各 自的电压有效值直接相加。就像两个不同 方 向的矢量相加时，要用平行四边形法则，而不能直 接做代数加法。例题 1 如图 4所示，普通 日光灯 由一个 灯 管 和一 个 镇 流 器 串联而成，灯 管可视 为一个纯 电 阻，阻值为 R，镇流器可视为一个 纯 电感，电感 系数 为 L。现将 日 光灯与有效值为 2 2 0伏的交流 电 图 4 源连接，日光灯正常发光。此时，测得灯管两端的电 压为 l 1 0伏，问镇流器两端的电压为多少。(题 中的 电动 势和 电压 均指 有效值。)解：串联电路 中流过各元件 的电流相等，总电压“、灯 管 电压 U 和 镇 流器 电压。的瞬 时值 满 足关 系=U 1+“2。用矢量法作图，先沿水平向右作 电流矢量，再 画 出电压 U 和 U。因为纯 电 阻的 电压 和电 流 同相，所 以 与，平行；因 为 纯 电感 的 电压 比 电 流 超 前 号，所 以 z 与 垂 直，且 竖 直 向 上。最 后 画 总 电压UU+U。电 压、电 流 矢 量关 系如 图 5 所 示。图 5 由图可知，U。一、，代人数据得 U=1 1 0 兰 1 9 0(V)所 以，镇 流器 两端 的 电压为 1 9 0 V。另外还可得出，电路 中电压与电流相位差是 O I u-t l a r c t an U2一a r c t a n 一 号 相位差大 于零，说 明电路 中 的电流滞后 于总电压。这是 电感 性 电路共 有 的特征。这个例子指出了交流电与直流电的一个明显 的 差别。虽然电压的瞬时值关系“一 +“依然成 立，但电压有效值的关系是【，U +U 。计算结果 告诉我们，虽然总电压只有 2 2 0 V，但灯管和镇流器 两者的电压之和却约等于 3 0 0 V，明显大于总 电压。这与 直流 串联 电路 的 电压 相加 关 系完全 不 同。这 一 特征与矢量相加很 相似，当两个夹角不为零 的矢量 相加时，得到的合矢量的大小并不等于两个矢量大 小之 和。2 功 率与 功率 因数 在交流电路 中，功率 随时都在变化。但对于 日 常生活中常见的简谐交流电，频率 厂一 5 0 Hz，变化 很快，真正有意义的其实往往是平均功率。一般情况 下，对于任意无源二端网络，平均功率 P I Uc o s ，式 中 I、U分别是电流和电压的有效值，是 电压和 电流的相位差。可 以看 出，交流 电路 的平均功率不 仅取决于电流和 电压 的大小，还跟电压与 电流的相 位差有关，所 以将相位差 的余 弦 c o s 称为功率 因 素。功率因素的最大值为 1。在实际生活和生产 当中，供 电部门往 往需要通 5 。3 3卷第】2期 物理教学 过长距离输 电来给用电单位供电。但是长距离输电 会在输 电线上损失不少功率，转化为输 电导线上的 焦耳 热，从 而 造成 能 源 的浪 费。已知输 电导 线 上 损 耗 的焦耳 热 为，尺(R 为 输 电线 的总 电 阻)，要 减 小 损失，唯有 减 小 电阻 R 或 减 小 电流 J。加 粗 导 线 可 以减小电阻，但很明显这会大大提高成本，所 以这一 做 法是有 限度 的。那 么，能 不能减 小输 电线 上 电流，却又不减小用电单位所需的用电功率呢?从用电单 位所需的平均功率 P=，O S 可以看出，只要设法 提高用电单位电路 中的功率 因素 C O S ，就可 以在保 持 平均 用 电功 率不 变 的情 况下，减小 输 电线 中 的 电 流，从 而有 效减小 输 电线 的焦耳 损耗。其实，在很多情况下，用户的用电电路都是 电感 性 的。比如，常用作照明的 E t 光灯，可视为电阻和电 感 的串联电路；常用作动力的电动机，也是 由线 圈绕 组构成 的，也可视为 电阻和电感 的串联电路。对于 这样的电感性电路，电流滞后于电压，相位差 0。只要并 联 上适 当 的 电容(因 电容 的 电流是 超 前 于 电 压 的，即相 位差 是 小 于 零 的)，即可 有 效减 小 相 位 差，从而提高功率因素。例题 2 标明额定数据为“2 2 0 V 1 5 w”的 日光灯，与频 率为 5 0 Hz的交 流 电源相 连，工 作 电流 为 0 3 5 A。求：(1)该 日光灯的功率因数；(2)欲将 功率因数提高到 1，所需并联的电容；(3)并联 电容 后电路中的总电流。解：(1)按定义，功率因数 c。s 一南一 0 2 。一 面一 u z (2)用矢量法作图，先沿水 平向右作 电压矢量 U，再 画 电流，。因为 日光 灯 是 电感 性 负 载，电 流滞 后于电压。所 以，向右下方，且 与 u 的夹角为。并 联 电容 的 电压 与 日光 灯 相 同，电流，比 电压 U 超前鲁，所以 c 与U垂 直，且 竖 直 向上。电 压、电 流 矢 量 关 系 如 图 6所 示。由图可知，欲将功率 因数提 高到 1，即要求 I c 一 s i n 。所 以 图 6 c 一 一 兰 5 1 0 (F)一 5(F)。U U一 一 一 r 一 (3)由图可 知，并联 电容 后 电路 中 的总 电流 即 为 I o一 c o s 一 0 35 0 2 0 0 7(A)从这 个例 子可 以看 出，该 日光 灯 的 功 率 因 素较 低。实际上丁作电流中仅有 一小部分用于使 日光灯 正常发光，而其余电流则只是在电路中无效地往返。并 联一适 当的 电容 后，电容 中无 效 往 返 的 电流 恰 与 日光灯 中 的无 效 往 返 电流 抵 消，所 以最 后 的 总 电流 全部用于做功，使得功率 因素提高为 1。而功率 因 素提高以后，电路中的总电流 比并联 电容以前小 了 很 多。这样 就可 以减小 输 电线路 上 的焦 耳损 耗。3 RLC 串联 谐振 在 图 7 所 示 的 串联 电路 中，电阻、电感 和 电容 三 个元件 中的电流相 同，总 电压等于三个元件电压 的 矢量 和。三个元 件上 的 电压 和 电流矢 量 关 系如 图 8 所示。图 8 根 据 图 8中各 电压 和 电 流 的关 系，再 考 虑 到 三 种理想元件电压和电流的关系(有效值之 比和初相 位 之差)可知，电流 一 ；+(止一 )由上式可知，当 U 一U，即 一 时，串联电路 中的 电流达 到极 大，这一 现象 称为谐 振，电流 极大 值 I o一 U 称 为谐振 电流，而 。一 则称 为 R从 串联电路的谐振频率，或 固有频率。当外加交流电源 的频率 为 叫一。时，电路 发 生 谐振，此 时 电 流达 到 最大，I I。收音机调谐就是通过调节 电容 C的大小，改变 线路 的固有频 率。一 ，利用 电路 的谐 振特性 LC 来从各 种 频率 的交 流 信 号 中挑 选 出符 合需 要 的 信号。另外还有一点必须特别引起注意，当电路谐振时，电感和 电容上的电压可 以大于串联 电路 的总电压。这 是交流 电的又一个明显 区别于直流电的重要特征。3 3卷第 1 2期 物理教学 对于纯电感和纯电容，电压分别为 U 一I 60 L和 Uc：=1 60 C。谐 振 时，电流 J 一，。一 U R，所 以U。一 I o 60 0 L 一。L，Uc 0一=U 1。若 令 Q 一 1 号一 警一 1，则 有 U L。一 U c o Q u，式 中 Q 称作 串联 电路 的品质 因数。当 Rc c J。L一1 60。C时，Q值可以很大，即UL。一Uc o q u U。所以，不能错误地认为 只要 电容、电感 的 额定 电压小于电源电动势就是安全的。例题 3 一个 由电感 L一0 0 1 H，电容 C一 1 0 0 肛 F 和电阻 R一2 Q所组成 的串联 电路，接在 电压 为 U一1 6 V的交流电源上。求：(1)回路的谐振角频 率；(2)谐振时的电流；(3)谐振时电感和电容上的电压。解：(1)按照定义，回路的谐振角频率 1 1 6 0 0一 =_ 一 =二 二=-上 OO1 x 1 0 0 x 1 0 一1 0 0 0(r a d s)；(2)谐振时的电流：=：一 8(A)；(3)谐振时 电感和 电容上 的电压 一 U 一 L 一 8 1 0 0 0 0 0 1：=：8 0(V)。从这个例子可以看出，谐振时回路中的电流是相 当大的。另外，虽然电源电压仅为 1 6 V，但电感和电 容上的电压却达到了 8 O V，是电源电压的整整五倍。4 理 想变压 器 的 串联 问题 在很多情况下，变压器的磁漏、铁损和铜损是可 以忽略的。当我们忽 略了它们 的存在 以后，变压器 的问题 分析 起 来 会 比较 简 单。当 然，这 只 是 一 种 理 想情况，我们把这样 的变压器叫做理想变压 器。理 想 变压器 原 线 圈的输 人 电压 和副 线 圈的输 出电压 跟 它们的匝数成正 比，即 C 1一；原、副线 圈中的电 t Y 2 Z 流 跟它们 的匝数 成反 比，即 1 1 一(式 中 的电压、电 2 1 流均为有效值，和 分别为原、副线圈的匝数)。根据教学需要，一般教科书上对理想变压器 的 原理讲得 比较简单。初学者在得 到了原、副线圈 电 压比和电流 比等一些重要计算公式 以后，往往对于 这些公式是怎样得 出来 的，以及这些公式在什么条 件下才适用等问题 印象并不深。处理 一些简单的变 压器问题时，还 比较顺 利。但遇到一些 比较复 杂的 问题时，就会力不从心，不知该从哪里下手。不分青 红皂 白直接代公式吧，却往往得出错误的结论。有一个关 于两个相 同理想 变压 器 串联引起 的“悖论”，很值得探讨。例题 4 如图 9 所示，两个完全相 同的理想变压器 串联，原线圈 口 6与 n b 完全 相 同，副线 圈 f 与 c d 完全 相同。现在两副线圈上分别 接 电阻 R 和 尺。，若 R ，R 2 l b o一 l b oJ。图 9 对于这个问题有不同的解答，有的写成文章进行 讨论。但其中有的分析存在错误而难以自圆其说，有 的分析虽然基本正确，但也觉得难以说得非常清楚。有的 初学 者认 为，由于是理 想变 压器，且 完 全 相 同，加 之两 原线 圈顺 向 串联，所 以两个 变压 器原 线 圈 上 的电流、电压 均 应 相 同；又 因两 变 压 器 匝 比相 同，根据理想变压器的电压、电流变 比关系可知两副线 圈上的电压、电流也应相同。但两副线圈上所接 负 载电阻不同，于是便 出现了副线圈所在 回路上的电 压、电流和电阻不符合欧姆定律的悖论。有的文章将悖论产生的原因归咎于对理想变压 器 的假 定。认为 当两 个 变压 器 串联 后，就不 能再 把 它们当成理想的，必须考虑两变压器原、副线圈本身 的绕阻。那 么，理想变压 器到底可不可 以串联 呢?如果可以的话，那么导致上述“悖论”出现的根源又 在 哪里 呢?最近，顾俊琪和于正荣两位老师在一篇 文章 中 对此问题给出了比较合理的分析。他们的观点是：(1)两串联变压器仍可看成理想变压器；(2)由 于两变压器的原线圈 串联接在 同一 回路 中，根据 串 联电路的性质，通过两原线圈的电流相同；(3)因两 变 压器 的 匝数 比相 同，根据 变压器 的 电流变 比公 式，可推得两副线圈上 的电流也相同，即：，一 I z，选 项 C正确，D错误；(4)对两变压器的输出端，由欧姆 定律，可得到两副线圈的电压分别为：U 一 J R。，U 一 I R z R 2，两式相 比可得：U：U 一 R 1：R2，即选项 B错误；(5)根据变压器 的电压变 比公式可 求得两原线圈的电压关系为：=R。：R ，选项 A错误。所以本题正确答案应为选项 C。这一分析思路很清 晰，逻辑性强。结论是 串联 的两个变压器原线圈上的电压并不相等，而应与副 7，c Q=尼 日口 3 3卷第 1 2期 物理教学 线 圈 中的负 载 电阻成 正 比。初 学者 之所 以容 易误 认 为串联的两个变压器原线圈上 的电压相等，就是 因 为习惯 性地 用 直 流 电的 思 维方 法 分 析 问题，忽视 了 副线 圈 的影 响。但是，正如上述两位老师在他们 的文章 中对这 一问题所 作 的进一 步讨 论 中指 出 的：如 果选 项 C正 确，则通 过 两 个 变压 器 原、副线 圈的 电 流均 相 同，加 之它们的匝数也相同，因而两变压器铁芯中的 自感 磁通和互感磁通也将相同，那么即使发生互感，通过 两变压器铁芯 的磁通量及其变化率也应相同。这样 再根据法拉第电磁感应定律，选项 A、B又应 该成 立 了，“悖论”似乎仍未被破解。其 实，这 个 问题 不 考 虑 交流 电流 和 电 压 的相 位 关 系是 难 以得 到满意解 释 的。而运用 矢量 法则 可 以 简捷 而清 晰地解 决这 一 问题。先考 虑一 个理想 变压 器 的副线 圈接有 一个 电阻 的情 况。当原 线圈 中通有 电流 J 时，变压器 的铁 芯 中就 有 了磁通，变 化 磁通 在 副线 圈 中 产 生互 感 电 动 势 一一c j ，式 中M 为变压器原、副线圈之间的 互感 系数。但是，当副 线 圈 中有 了感 应 电流 j。后，又 在铁 芯 中迭加 了一新 的磁 通，从 而 副 线 圈 中 又有 了 自感 电动势 一一 止 。，式 中 L为 副线 圈的 自感 系 数。对于副线圈回路，欧姆定律要求 电阻上的电压应 满足关系 u 一 l z R=：=。+。若沿水平向右作，则按 平行 四边形 法则可 画出。和，如 图 1 0 所示。由 此可见，副线圈中的总感应电动势+。的大小等于 电阻电压 的大小，所以跟电阻的阻值 R成正比。实际上，副线圈中的总感应电动势是由原、副线 圈 电流在铁 芯 中 产生 的总磁 通决 定 的，而 这 一 总磁 通同时也决定了原线圈中的总感应电动势。只是由 于原、副线 圈 的匝数 不 同，所 以原、副 线 圈 中 的总 感(上接第 2 4页)这是我仿制的一款 L E D点阵屏时钟。在光线不同的情况下，L E D的反 向电阻会有所变 化。利用单片机 A D转换功能可以读出电阻值变化的 每一个细节，从而进 行控 制。可见 将发 光二极 管用作传感 器，探 测周 围环 境 光 的强 度 已 经 广 泛 应 用了。其实 这 种 现 象 R 图 2 应电动势 的大小是不一样的。但是，可以得 到这样 的结论：原线圈两端电压的大小(等于原线圈总感应 电动势的大小)与副线圈中电阻的阻值成正 比。有了这个结论，就不难解 释串联 变压器 的“悖 论”了。当两个理想变压器串联时，两个原线圈中的 电流 相等，即 j =f (带 撇 的和 不 带 撇 的 字 母 符 号 分别 代表 两个 变压 器 的 物 理量)。根 据 变 压 器 的 电 流 变 比公 式，两 个 副 线 圈 中 的电 流，和 J 的 大 小 也相等，但 由于不在 同一 回路 中，它们的位相未必相 同。于是，两 个 副 线 圈 中 的互 感 电动 势 和 的 大小和自感电动势 和 的大小也对应相等。但 由于两个副线圈回路 中的负载 电阻大小不 同，所 以 两 个 电阻 的电压 和 L，是 不 同的。用 图 1 0和 图 1 1分别 表示 串联 变 压 器 的两 个 副线 圈 的 电压 矢 量 图。从 矢量 图上 看，两 个 平 行 四边 形 的对 应边 长 是 相同的，即 和：的长度相同，和；的长度也相 同，但 对 角线 U 和 U 的 长度 不 同。之 所 以 会 这 样，很关键的一点是相邻两边的夹角，即 和 的 夹角及 和：的夹角是不一样的。而夹角不 同代 表 的物理 意义 正是两 个变 压器 副线 圈 中 自感 电动 势 和互感电动势的相位差是不同的。厂 。图 1 0 图 i 1 由于 两个变 压器 的负 载 电 阻大 小 不 同，导 致 副 线圈中 自感电动势和互感电动势 的相位差不 同，也 就是原、副线圈电流的相位不 同，从而使得两变压器 铁芯中叠加后的总磁通的大小不 同，所以两个原线 圈的电压 自然也就不同了。也并不神秘，就跟动圈式扬声器可以当作话筒、电动 机也可 以用作 发电机一样，发光二极管 的这种特性 是 由光 电管 的光 电特性 决 定的。尽管发光二极管反接作为传感器探测周围环境 光的强度，并不 常 见。和专 用 的光敏元 件 比起 来，L E D的输出幅度，线性度等特性都 比较差。但 既然 可行，我们就应该在高考这样的国家级考试中避免。因为考 生 中如果 有 一些 电子 爱 好 者 选 了 A 而 扣分，考不上心仪的大学，就会是 一件非常遗憾 的事。所 以高考命题要集思广益、让更多领域专家参与进来。