微分几何期终试题.pdf

微分几何 期终考试题（A）微分几何 期终考试题（A）班级：_ 学号：_ 姓名：_ 成绩：_ 一、填空题（每空 1 分,共 20 分）一、填空题（每空 1 分,共 20 分）1 1.半径为R的球面的高斯曲率为 ；平面的平均曲率为 .2 2.若的曲率为，挠率为)(tr)(tk)(t，则关于原点的对称曲线的曲率为 )(tr；挠率为 .3 3.法曲率的最大值和最小值正好是曲面的 曲率,使法曲率达到最大值和最小值的方向是曲面的 方向.4 4.距离单位球面球心距离为)10(dd的平面与球面的交线的法曲率为 ；测地曲率为 .5 5.曲面的坐标曲线网正交的充要条件是 ；坐标曲线网成为曲率线网的充要条件是 .6 6.全脐点曲面（即曲面上的点全部是脐点）只有两个，它们是 和 .7 7.圆柱螺线的自然方程是 ,sin,cos)(bttatatr=；自然参数方程是_ _.8 8.根据曲线论的基本定理，在可以相差一个空间位置的情况下，唯一决定一条空间曲线的两个不变量是曲线的 和 .9 9.脐点处，曲面的第一、第二类基本量满足关系 ；脐点的等距微分同胚像仍是脐点吗？.1010.按椭圆点，双曲点，抛物点进行分类，可展曲面上的点都是 点；极小曲面上除平点之外的其它点是 点.1二、单项选择题（每题 2 分，共 20 分）二、单项选择题（每题 2 分，共 20 分）1 1.等距等价的两曲面上，对应曲线在对应点具有相同的 【】A.曲率 B.挠率 C.法曲率 D.测地曲率 2 2.下面各对曲面中，能建立局部等距对应的是 【】A.球面与柱面 B.柱面与平面 C.平面与伪球面 D.伪球面与可展曲面 3 3.过空间曲线C上点P（非逗留点）的切线和P点的邻近点Q的平面，当Q沿曲线趋于点CP时，平面的极限位置称为曲线C在P点的 【】A.法平面 B.密切平面 C.从切平面 D.不存在 4 4.曲率和挠率均为非零常数的曲线是 【】A.直线 B.圆 C.圆柱螺线 D.平面曲线 5 5.下列关于测地线，不正确的说法是 【】A.测地线一定是连接其上两点的最短曲线 B.测地线具有等距不变性 C.通过曲面上一点，且具有相同切线的一切曲线中，测地线的曲率最小 D.平面上测地线必是直线 6 6.设曲面的第一、第二基本型分别是,则曲面的两个主曲率分别是 【】2222,NdvLduIIGdvEduI+=+=AGNkELk=21,B.NGkLEk=21,C.vEGkk=ln2121 D.uGEkk=ln2121 7 7.曲面上曲线的曲率，测地曲率，法曲率之间的关系是 【】kgknk 2A B.ngkkk+=ngkkk+=C.D.222ngkkk+=222ngkkk+=8 8.曲面上非脐点处的两个主方向之间的夹角为 【】A.2/=B.0=C.=D.不确定 99下列关于特殊曲线的论断，不正确的是 【】A.若曲线上有无穷多个点处曲率为零，则曲线必为直线 B.平面曲线的密切平面即曲线所在平面本身 C.沿渐近曲线，曲面的切平面与该渐近曲线的密切平面重合 D.沿测地线，曲面的切平面与该测地线的密切平面垂直 10.10.下面关于曲面上主方向的说法，不正确不正确的一项是 【】A.脐点处，任何方向都是主方向 B.非脐点处，主方向垂直 C.脐点处，无主方向 D.非脐点处，有且仅有两个主方向 三、判断题（每题 1 分，共 10 分）三、判断题（每题 1 分，共 10 分）11 等距等价的两曲面在对应点具有相同高斯曲率，反之亦成立.【】22 欧氏合同的两曲面必等距等价，反之，等距等价的两曲面必欧氏合同.【】33 球面上任何方向既是主方向又是渐近方向.【】44 球面上测地三角形的内角和大于1800.【】55 曲面上直线（若存在）既是渐近线，又是测地线.【】66 圆柱面的高斯映射球面像是单位球面上的单点集.【】77 平面上，曲线的测地曲率即它作为平面曲线时的相对曲率.【】88 测地线的切向量在 Levi-Civita 平行移动意义下是平行的.【】99 球极投影是球面（去掉北极点）与平面的等距对应.【】1010 旋转曲面的坐标曲线网是正交网.【】3四、计算与证明题（每题 10 分，共 50 分）四、计算与证明题（每题 10 分，共 50 分）1.1.求正则参数曲线 r)(t=的曲率和挠率，ttt2cos,sin,cos332/0 t.2.2.证明螺旋面,sin,cos),(bvvuvuvur=是极小曲面，但不是可展曲面.3.3.若曲线的法平面包含非零常向量e.证明：该曲线为直线或平面曲线.4.4.证明:在 Gauss 曲率非正的单连通曲面上，不存在光滑闭测地线.5.5.证明:若曲面上曲率处处不为零的测地线是平面曲线，则它必为曲率线.4