第六讲 蒙特卡洛法评定测量不确定度简介_航天科工集团203所_3页.pdf

1管理MANAGEMENT运基础知识讲座蹦噩班回重厘i军量与毒击荣到四座第六讲蒙特卡?各法评定测量不确定度简介口航天科工集团203所叶德培一、什么是蒙特卡滔法蒙特卡洛法缩写为MCM，MCM是一种概率传播的方法，即通过对输入量x的概率密度函数(PDF)离散抽样，由测量模型传播输入量的概率分布，计算获得输出量凶9概率密度函数(PDF)的离散抽样值，进而由输出量的离散分布数值获取输出量的最佳估计值、标准不确定度和包含区间。该最佳估计值、标准不确定度和包含区阁的可信程度随PDF抽样数的增加而提高。图1描述了由输人量X;(i=l，.，N)的PDF，通过模型传播，给出输出量刊协DF的过程的示意图。图、1中列出了3个相互独立的输入量，它们的概率分布分别为正态分布、三角分布和正态分布，输出量的PDF显示为不对称分布。g,(,)4二十mlc卜J g,(,)圄13个独立输入量的概率分布传播示意圄44 中国计量2014.1二、蒙特卡滔法评定测量不确定度的步骤蒙特卡洛法是通过如下步骤来实现概率分布的传播和不确定度的评定的。1.MCM输入(1)定义输出量Y，即被测量。(2)确定与T节关的输人量凡，XNO(3)建立Y与凡，XN之间关系的测量模型Y吁(凡，XN)。(4)利用可获得的信息X;设定PDF，如正态分布、均匀分布等。(5)选择蒙特卡洛试验样本量的数M，也就是蒙特卡洛试验次数即测量模型计算的次数，M.至少应大于1/(1-p)的104倍。M=106通常会为输出量提供包含概率p为95%的包含区间。2.MCM传播(1)从输入量X;的概率密度函数抽取M个样本值凡，下标i为输入量数(i=l，N)，r为样本数(r=l，M)。(2)对每个样本值(XjX纭，.,XN)，计算相应的模型值y厅Xtr，X2r，XN),r=1，M。3.MCM输出将这些M个模型值按严格递增次序排列，由这些排序的模型值得到输出量Y的分布函数的离散表刁G。4.报告结果(1)由G计算输出量叫台估计值y以及y的标准不确定度u(y)。(2)由G计算包含概率为p时的Y的包含区间 YIOW,Yhigh。三、几个MCM所用的术语1.缩煎平移份布(scaledand shifted t-distribu-tion)t分布又称学生分布(studentdistribution)，是连续随机变量t的概率分布。如果随机变量X是期望值为X一的正态分布，贝Ij变量一=一的分布为t分布，可写成s(X)儿(X节，而n)。6t布的概率密度函数为I(乓1p(t)1+二一)-肘叫一t2日寸，其方差是pl(p-2)。当n时，t分布趋近于=0且=1的正态分布。t分布图如图2所示。p(t)0.2。5 图2t分布固当(fL)，(三In)时，t分布峰值对应的横坐标值为零。而当比(二，而n)或飞x，(乌/鸟)2)肘，t分布峰值对应的横坐标值不为零，t分布曲线发生平移现象;同时，对于不同的自由度P，t分布的形状出现缩放现象(见图2)，所以基础知识讲台t=一一至一一=一三或t=_x_时的分布称作s(x)1飞rns(王)叼Ikp缩放平移t分布。2.包含区间长度(Iengthof a coverage interval)在包含区间内，最大值减去最小值。3.最短包含1&闽(shortestcoverage interval)在具有相同包含概率的一个量的所有包含区间中，长度最短的包含区间。4.数值容差(numericaltolerance)最短区间的半宽度，该区问包含能正确表达到指定位数的有效十进制数的所有数。例如，大于1.75且小于1.85的所有数可以表达为两位有效十进制数1.8的数值容差就是(1.85-1.75)12=0.05。四、用蒙特卡滔法验证GUM法虽然GUMi:去在许多情况下被认为是非常适用的，但是确定是否满足其所有适用条件并不总是一件容易的事。由于MCM的适用范围比GUM法更广泛，可能情况下，建议用MCM及GUM法两种方法评定，并对结果进行比较。如果比较结果较好，则GUM法适用于此场合及今后类似场合。否则，应考虑采用MCM或者其他合适的替代方法。验证步骤如下:(1)应用GUM法得到输出量的包含概率为p的包含区间y:tup。(2)运用自适应蒙特卡洛方法获得输出量的标准不确定度u(y)和概率为p的对称或最短包含区间的端点值Ylow和Yhigho(3)确定由GUM法及MCM获得的包含区间在约定的数值容差下是否一致。此数值容差根据包含区间的端点来评定，且与不确定度u(y)的有效十进制数字的有效数位相符合。具体过程如下:确定u(y)的数值容差。此数值容差与不确定度u(y)的有效十进制数字的有效位数相符合。例如，若u(y)取两位有效数字，u(y)=0.00035g=35X10-5=cX10-I，数值容差=(112)xlO-I=O.5 xlO-5=0.000005。2014.1中国计量45 l管理MANAGEMENT运基础知识讲座表1GUM法与MCM的比较GUM法(不确定度指南的方法)1由输入量的标准不确定度，通过不确定度传播律，得到输出量的测量不确定度2输入量的信息是输入量的标准不确定度、自由度和协方差3对各输入量进行A类或B类评定得到输入量的标准不确定度，计算灵敏系数，得到输出量的标准不确定度分量通过不确定度传播律，计算输出量的合成标准不确定度，从而得到扩展不确定度和包含区间。4输入量间相关时还要考虑协方差。由合成标准不确定度u，(y)乘包含因子h得到扩展不确定度U，获得包含区间y士 UGUM法主要适用于输出量Y的概率分布为正态分布或y/u，(y)5为缩放平移分布的情况，被测量的最佳估计值在分布的中心，即输出量的PDF是对称分布GUM法用于非线性模型时，可能要按泰勒级数展开，并考虑所有具有影响的高阶项后得到近似的线性模型:为获得不确定度传播6律中的灵敏系数，要对模型的输入量进行一阶或高阶偏导数的计算;有时GUM法还要计算输入量间的协方差和合成标准不确定度有效自由度，许多情况下这些都是有很大难度的一般，GUM法给出的测量结果:常以算术平均值作为被测量Y的最佳估计值h合成标准不确定7度uc;扩展不确定度U或Up;Y的包含区问:(于一U，豆+U)或(y-Up,y+Up)给出包含因子h或有效自由度d8用GUM法评定测量不确定度时计算量小，评定时一般可不用计算机软件进行计算又如，若u(y)取一位有效数字，u(y)=0.0004g=4x 1 O-l:cx 1 0-1，数值容差8=0.5x10-1=0.5 x 10-1:0.00005。对GUM法和MCM获得的包含区间进行比较，根据下式确定两个包含区间的各自端点差的绝对偏差:dkm=I(y-Up)寸如|d=1(y+乌)-y1如果dkm和d崎均不大于数值容差，贝IJGUM法可通过验证.dlaw8，d三通过验证，认为GUM法与MCM的评定结果是一致的。五、正确应用蒙特卡滔法的条件在以下条件下，能有效应用MCM实现概率分布传播，且随之确定所需的信息:(1)j关于输入量x;在其最佳估计值Xi附近是连46 中国计量2014.1MCM(蒙特卡洛法)基于贝叶斯定理或最大熔原则，由输入量的概率分布，通过模型传播分布，得到输出量的概率分布，从而得到输出量的测量不确定度输入量的信息是输入量的概率密度函数根据输入量的有关信息设定每个输入量的PDF，对输入量的PDF进行离散抽样，得到一系列离散抽样值通过测量模型，计算得到输出量的PDF离散值，由此直接获得输出量的最佳估计值、标准不确定度和包含区间。MCM不需要进行不确定度的A类或B类评定，不需要计算灵敏系数，也不计算合成标准不确定度及扩展不确定度MCM时，输出量Y的概率分布可以是任意形状的分布，可以是不对称分布，被测量的最佳估计值可以不在分布的中心MCM既可用于线性模型，又可用于复杂或非线性模型，无需使用一阶或高阶偏导数来提供不确定度传播律中的灵敏系数，无需计算协方差，不计算合成标准不确定度，不需要给出其有效自由度，可减小分析难度MCM给出的测量结果为Y的估计值y;y的标准不确定度u(y);包含概率p时的Y的包含区间Ylow，Yh;gh J。在输出量的PDF为非对称分布时，具有相同包含概率p的Y的包含区间不至一个，此时要给出最短包含区间用蒙特卡洛法评定测量不确定度时要进行大量的计算，通常试验次数M 在106左右，必须使用相应的计算机软件进行计算续的。(2)输出量凶9分布函数连续且严格递增。(3)输出量凶甘PDF为:在PDF严格为正的区间内连续。单峰。在峰值的左侧严格递增(或为零)且在峰值的右侧严格递减(或为零)。(4)存在期望和方差。(5)使用足够大的M值。六、GUM法与MCM的比较GUM法与MCM都是国际标准约定的用来评定测量不确定度的方法，但是目前GUM法仍然是主要的方法，MCM是GUM法的补充。各自的特点比较如表1所示。注:本系列讲座结束。回