第4章 动量和动量矩定理.pdf

基础物理-力学-讲义 北京大学信息科学技术学院-周乐柱 v v1v 3v2v第四章 动量和动量矩 4.1 动量定理和动量守恒律 4.1 动量定理和动量守恒律 本节要点：1 质点动量定理 2 质点组的质心，内力和外力 3 质点组动量定理 4 动量定理应用举例、火箭问题 11 质点动量定理（质点动量定理（1）质点动量定义）质点动量定义 Kmv 特点：1 矢量 2 与参考系有关 如图所示，质点被墙弹回，动量的改变为 2mvmv 质点作匀速率圆周运动，动量的改变为 21|2mvmvmv 31|2mvmvmv （2）质点动量定理，力的冲量）质点动量定理，力的冲量 牛顿第二定律 dvdKFmdtdt dKFdt 质点动量定理：质点动量得改变等于力的冲量 积分形式：221121KtKtKKdKFdt （3）质点动量守恒律）质点动量守恒律 若0F，则，1KK，常矢量 若0lFF l，则lKK l 常量。例例 水平光滑面上，物体水平方向不受外力，则水平方向动量守恒。斜抛物体，忽略空气阻力，水平方向不受外力，则水平方向动量守恒。基础物理-力学-讲义 北京大学信息科学技术学院-周乐柱 22 质点组的内力、外力、质心（质点组的内力、外力、质心（1）内力和外力）内力和外力 定义：内力组内质点的相互作用力 外力组内物体所受组外物体的作用力 内力的特点：成对出现，大小相等，方向相反：()()()(i)i jjFF 内内 因作用在不同的质点上，不能相互抵消，但对整个质点组的总效果而言，其效果能否抵消，看问题而定总动量、总动量矩可抵消，总动能不一定。（2）质心）质心 质心概念的引入：质量分别为 mg 和 3 mg 的质点由质量可忽略的刚性杆连在一起。经验告诉我们，当支撑点位于 Xc 处时，杆便能平衡。Xc 称为质心，可由下面方法计算出来。0 xymgxmv常量()()i jF内()()j iF内ij()iF外基础物理-力学-讲义 北京大学信息科学技术学院-周乐柱 x yzOir im 1215 31,5,43cmmxxxmm 由此可见，质心坐标是各质点坐标的质量加权平均值。质心的定义质心的定义：质心位矢是质点组各质点位矢的以质量 为权重的平均值。11ciiirr mrdmMM 分量表达式：111111ciiiciiiciiixxmxdmMMyymydmMMzzmzdmMM 质心的速度质心的速度：(,)ccccvxy z各质点速度的质量加权平均值 111111ciixiciiyiciizixxmv dmMMyymv dmMMzzmv dmMM 质心的加速度质心的加速度：(,)ccccaxy z 为各质点加速度的质量加权平均值 1 4 5 mg Xc 3mg X 基础物理-力学-讲义 北京大学信息科学技术学院-周乐柱 111111ciixiciiyiciizixxma dmMMyyma dmMMzzma dmMM 说明说明：（1）质心的位置决定于质量分布，与坐标的选取无关，选取不同的坐标只是为了计算和表达质心位置的方便。（2）质心，及其速度、加速度，有明确的物理含义。（不论质点组各质点运动如何复杂，质心的运动仅由外力决定，与内力无关）质心位置的求法：质心位置的求法：（1）按定义进行求和或积分 1 对分离质点，求和 例 1 03334cmm lxlmm 2 对质量连续分布的质点组，用积分 例 2 求长为l，杆质量不均匀分布（单位长密度为()xax）的杆的质心位置。解：3002001()2313()2llcllalxx dxxaxdxxalx dxaxdxal （2）质点组可分成若干组，求出每组的质心位置，然后把每组看成一个质点，求总质心。m3mO cxlxdxl x O 基础物理-力学-讲义 北京大学信息科学技术学院-周乐柱 xydmydx 2C 1CO x 11211121111112111122111NNNci ii iii NNNNi ii iii Nccrm rm rMMMm rm rMMMM rM rM 例 3 求半径为 R，质量为 M 的匀质圆盘的质心。解：如图，由对称性0cx，只需求cy。把整个圆盘分成若干平行于 y 轴的竖条，每条的质心都位于该条的中点，及 y/2 处。22220322021122()2213()|13243RcRRRRRyyydmydxMMydxrxdxMMRR xxMrR 例 4 求偏心铜钱的质心，其中空心部分为边长为 R，中心在圆中心偏左 R/6 处。解：以圆心为坐标原点，如图。该铜钱可看作两部分组成一部分 质量为21MR，质心为10cx；另一部分质量为22MR，质心为26cRx。1122122221()0()(/6)(1)6(1)CccxM xM xMMRRRRR 3 质点组的动量定理质点组的动量定理（1）质点组动量定义质点组动量定义：基础物理-力学-讲义 北京大学信息科学技术学院-周乐柱 1m2m x 质点组总动量定义为该质点组所有质点的动量的矢量和，即：iiiiiKKm v 由质心的定义可得：()iicciMKm vMVKM 即质点组的动量即为质心的动量。（2）质点组动量定理）质点组动量定理 对第i个质点im，有：()()()iiiidFFm vdt外内 对所有点求和：左()()()()iiiFFF外内外 右()ciiidKddKm vdtdtdt 上式用到了所有内力矢量和为零。()cciidKdvdKFMdtdtdt 外 该式称为质点组动量定理，又称质心运动定理。该式表明，质点组的总体运动，即质心的运动，仅由外力决定，与内力无关。这是一个有用而有趣的结论。积分形式：2211()21()tticccttiFdtdKKK外 用途：已知力动量变化，或 动量变化力的冲量 分量形式：21()21()tixccxxtiFdtKK外 守恒律：在时间12tt内，若合外力为零，即()0,iF外 00cccKKMv 常矢量 若合外力的 x 分量为零，即 0,ixiF 00cxcxcxKKMv常量 例例：水平光滑钢丝上套一小环1m，再连一单摆2(,)l m，在钢丝所在竖 直面内摆动。系统12()mm在水平 基础物理-力学-讲义 北京大学信息科学技术学院-周乐柱 方向（x方向）上不受外力，在水平方向动量守恒。1 1220 xxKm xm xK常量 若初始时静止，则 1 1220cm xm xMx 质心水平位置静止不动。有趣的现象有趣的现象 炮弹炮弹在空中炸成数块，求其重心的轨迹。炮弹爆炸前后，外力为重力不变。炸力为内力，不影响质心轨迹。质心轨迹不变，仍为斜抛运动轨迹，直至有部分落地（落地部分外力变为重力+支持力）后为止。跳远跳远 起跳后初速度决定了质心的轨迹，运动员在空中的动作或姿势不会改变质心的轨迹，但在空中的姿势决定了落地前瞬间的姿态，决定了实际跳远距离。跳高跳高 4 动量定理、守恒律应用举例动量定理、守恒律应用举例 实际跳远距离 质心最高 实际最高 跨越式 背越式 基础物理-力学-讲义 北京大学信息科学技术学院-周乐柱 O A C B FF m l 1 0mv 类型类型 1 由质心加速度由质心加速度 ca 求总外力求总外力。例例 1 质量均匀、长为l、质量为m的杆绕过一端的垂直轴在水平面内以0te转动。求其中点 A 两边的相互作用力。解：隔离 A 点外的杆 AB。水平方向受外力来自 A 点里的杆 OA 质心运动定理：C 作圆周运动。022203()2 432 4tABcABtABcABmFMaMOClemFMaMOCle 另一个例子：求复摆与其转轴的相互作用力。类型类型 2 打击、碰撞、爆炸一类瞬间相互作用问题，有限外力的冲量可忽略，总动量守恒。打击、碰撞、爆炸一类瞬间相互作用问题，有限外力的冲量可忽略，总动量守恒。例例 2 单摆，摆长l，质量m，质量为1m的质点以水平速度0v与之发生完全非弹性碰撞。求碰后瞬间质点的速度。解：解：1 01101()mvmm vmvvmm 例例 3 书练习题书练习题 4.13 质点m在空中爆炸为质量相同的两块。已知：炸前速度方向水平，大小为0cosmv，炸后其中一块速度方向向下，大小为1v，求另一块的速度v。cos,mt求N。N C基础物理-力学-讲义 北京大学信息科学技术学院-周乐柱 m0cosv 2m2mv 1v yxmx Cxl Cxhxx y解：解：爆炸前后瞬间总动量守恒 炸后：01cos22mmmvxvv 0011:cos2cos2:022xxyymx mvvvvvvmmyvv 例例 4 书练习题书练习题 4.14,4.15。某一固定方向外力为 0，该方向总动量守恒 书练习题书练习题 4.15 质量为M的大木块置于光滑水平面上，初始时质量为m的小木块置于大木块的光滑斜面的顶端，然后放手任其自由下滑。求小木块的运动轨迹。解：解：建立固定于地面的直角坐标系，大木块质心的水平坐标为cx，小木块在斜面上的相对坐标为x，如图。水平方向不受外力水平方向动量守恒(cos)0ccMxm xx 1()coscMm xmx 1 设0t时，0 x时，0cx()coscMm xmx 2 设0t时，c 距左立边的距离为l，则m的绝对坐标为 cos1sinsin1cosmccmcMxlxxlxmMmyhxhxm 消去 sin()coscmmMmxyhxlM 为直线。若要求x或cx的大小，还需一方程。以M为参考系，m受力为,mmg N惯性力,cmx列出在斜面和垂直斜面方向上的运动微分方程：cossin50cos sin6ccmxmxmgmymgNmx 基础物理-力学-讲义 北京大学信息科学技术学院-周乐柱 xlx l xlx1、5 两式联立()cos1cossin5ccMm xmxxxg 可得cxx和。由 6 式可得 cossincNmgmx 例例 5 书上例题书上例题。长为l的软绳，底端着地，然后放手任其自由下落，求绳对桌面的压力。解：解：隔离整根绳子。由质心运动定理 gcNmgNlMx 关键是求出cx。20()22cxxlxxxll，绳子下落时，未被拉伸 空间任何一部分绳子不受相邻绳子作用，只受重力作用，是自由下落 2()22xg lxxxgglx 1cxxxl，2111()2()(23)cxxxxg lxxgglgxlll 23()()3()ccNMgMxglgxNM gxlgg lxl 落地瞬间 0,33xNglmgMg 为什么N由03Mg，大于绳自重Mg？因为要使速度不为 0 的绳子速度为 0，需要向上的冲量。类型类型 3“变质量”问题“变质量”问题 基础物理-力学-讲义 北京大学信息科学技术学院-周乐柱 v v vdv mu mu dmmdm0dm 例例 6 火箭问题火箭问题 t 时刻 tt 时刻 t 时刻，动量为mv，tt 时刻，动量变为()()()()mdm vdvvdvudm 在ttt，受合外力的冲量为()()()()F tmdm vdvvdvudmmvmvvdmmdvdm dvdm dvvdmu dmmvmvmdvu dm dvdmFmudtdt 当0F 时，dvdmmudtdt 对火箭问题，u与v反向，以v方向为正 ,mdvu dm 积分得 00()()()()v tm tv tm tdmdvum 000()()()lnln()mm tvv tv tnum tm 作业作业：4.7 补充：三级火箭每级燃料和外壳的质量均为 m，有效载荷质量也为 m 分两种情况计算最后 m 所具有的速度：1 全烧光三级燃料一起扔掉外壳；2 烧完一级扔掉一级外壳 m m m m 1 2 3 基础物理-力学-讲义 北京大学信息科学技术学院-周乐柱 Cr ir ()i Cr imxyzxy z C OrF d 支点（转轴）5 质心系、质心系中的动量质心系、质心系中的动量 质心系质心系：坐标原点固定在质心，并随质心一起运动的平动参考系。质点组中任一点 im 相对于质心系（S系）和 S 系的位矢满足：()ici crrr 由相对运动的运动学公式，有：()ici cvvv()iiicii ciiim vm vm v ()ccKKK ()()cii ciKm v 称为质点组在质心系中的总动量。该式表明，质点组在质心系中的总动量恒为零。用另一方法也可证明质点组在质心系中的总动量恒为零：若0ca ，则质心系 S为非惯性系 在 S系中，()()()()0iiicciiidK cFdtma dtFdtMa 外外()K c 常量 可见，质心系是特殊的参考系，即使他是非惯性系，其惯性力对质点组总动量的影响也可不考虑。6 非惯性系中的动量定理非惯性系中的动量定理 在非惯性系中，()()iid m vFFdt真实惯 参考本节的推导过程，可知，非惯性系动量定理仍成立，只要将惯性力考虑进去就可以了。4.2 质点动量矩定理，动量矩守恒律质点动量矩定理，动量矩守恒律 本节要点：1力矩；2质点动量矩；3质点动量矩定理；4质点动量矩守恒律 1 力矩力矩力矩反映了受力质点相对参考点是否有转动趋势 中学的概念：sinLf dF r 把该概念推广到1矢量2对点的力矩：(),0ccKKK 基础物理-力学-讲义 北京大学信息科学技术学院-周乐柱 xy zrF xyrxyF1O 2O 1r 2r v1 对轴的力矩,r F 同在与转轴垂直的平面内 1sin垐0()0yxxyLrFFrzxyzxyz xFyFFF 2 对点的力矩,r F 与转轴不垂直 对点 O：xyzxyzLrFxyzFFF 对轴 z：()()zyxLzrFxFyFrFz 由此可见，平行于转轴的力的分量对于转轴的力矩没有贡献。2 质点的动量矩质点的动量矩动量矩反映相对参考点是否有转动 定义：Jrmv 参考点，不特别指出，即指坐标原点 参考系，不特别指出，即指地面惯性系 例例 质点作匀速直线运动，如图 参考点为11,0O rmv，有转动；参考点为22,0O rmv，无转动 3 质点动量矩定理质点动量矩定理 根据牛顿第二定律，dFmvdt()()dKddrdLrFrrmvmvrmvdtdtdtdt （上式最后一步用到：当参考点是参考系中的定点时，有 drvdt）基础物理-力学-讲义 北京大学信息科学技术学院-周乐柱 rv rv v r k 质心也看成一质点，它也满足：()iccidLrFJdt 外 证明：质心运动定理()()icidFMvdt外()()icccciddrFrMvJdtdt 外 4 质点动量矩守恒律质点动量矩守恒律 若0rF，则Jrmv 常矢量 若力矩的某一分量为零：()0rFl，则力矩在该方向的分量()ll Jrmv 为常量 例例（1）写出质点在平面极坐标系中的动量矩和动量矩定理。（2）若2GMmFrr，有何结论？解：（1）,vrrrrrr 22()Jrmvmrrrrmrrmrk ()rrFrrF rFrF rrF k drFJdt 2()drFmrdt 可见，质点在平面极坐标系中的动量矩定理就是牛顿第二定律在方向的分量方程（2）若2rGMmFrF rr，则0,F 2()0dmrdt 20mrJJ常量 对质点而言，动量矩定理就是动量定理（牛二）的另一种形式，没有给出更多的信息，基础物理-力学-讲义 北京大学信息科学技术学院-周乐柱 Cr ir()i Cr im xyzxy z OCiv 但质点组则不同。4.3 质点组动量矩定理，动量矩守恒律质点组动量矩定理，动量矩守恒律 本节要点：1质点组动量矩的定义和计算法；2，质点组动量矩定理和动量矩守恒律；3，质点组定轴转动时对轴的动量矩，转动惯量。1质点组动量矩定义和计算法质点组动量矩定义和计算法 定义：iiiiiiJJrm v 计算法：1 按定义直接计算 2 通过()ccJJJ 公式进行计算 证明：质心系是坐标原点在C，随C以cv平动的参考系，有：()(),icici ci cvvvrrr iiiiJrm v ()()()()()()()()()()()()()()()()()cci cii cicicci cci ci ci ciccccicii ci cii ciiicci cii cccirrm vvm rvrvrvrvrMvm rvrm vrm vrMvrm vJJ 其中用到质心在质心系中的坐标恒为零：()()()/0,cii cirm rM 及质点组在质心系中的总动量恒为零：()0ii cim v 当C与O重合时，0cJ ，()cJJ ，即用绝对速度iv与用质心系中的速度()i cv求()cJ，结果是一致的。基础物理-力学-讲义 北京大学信息科学技术学院-周乐柱 x yCxCv 例例 匀质圆盘m，以转动，求其对于坐标 原点的动量矩。解解：()()cccccJJJrmvJ 匀质对称()?cJ 后面将会讲到。2、质点组动量矩定理和动量矩守恒律、质点组动量矩定理和动量矩守恒律 对于第i二个质点：()iiiid JrFFdt（外）（内）对所有质点求和：()()iciiiiiciiiid JddrFr FJJJdtdtdt （外）（内）其中 0iiir F（内）因为内力成对出现，有()()()()()()()()()0ii jjj iii jji jiji ji ji jrfrfrfrfrrfrf （内）（内）（内）（内）（内）（内）从而得质点组的动量矩定理质点组的动量矩定理：()()ciiciddLrFJJJd td t （外）又因为 ()()()()()ciiCi CiCii CiciiiidrFrrFrFrFJJdt （外）（外）（外）（外）但是，对于质心有 cCCiidLrFJdt （外）从而得到质心系中的动量矩定理：()()()Ci CicidLrFJdt（外）即使质心系是非惯性系，惯性力的力矩也为零，因为()()()()()0i CiCi i CCC CCiirmam raMra 动量矩守恒律动量矩守恒律 基础物理-力学-讲义 北京大学信息科学技术学院-周乐柱 若0iiiLrF 外，则()ccJJJ 为常矢量。若力矩的某一分量为零：0L l ，则力矩在该方向的分量 ll JJ 为常量。为了方便地应用动量矩定理，有必要对质点组(特别是刚体)的动量矩的表达式作进一步分析，进一步研究动量矩与角速度和质量分布的关系。3.定轴转动对轴时动量矩，转动惯量定轴转动对轴时动量矩，转动惯量（1）定轴转动对轴时动量矩，转动惯量的定义定轴转动对轴时动量矩，转动惯量的定义 设质点组或刚体作定轴转动，则 i2i()=()()=()iiiiiiiiiiiiiiiiiJrmvrmrr rrrmrrrm 可见，一般情况下J与并不平行。J在方向（转轴方向）上的分量为 2i22222ii2i(cos(cos)(cos)(sin)()iiiiiiiiiiiiii iJJrrrmrrmrmmr 定义 2i()i iImr 为刚体或质点组对于该转轴的转动惯量。则 JI 由动量矩定理()ddddLJLJIIdtdtdtdt 可以看出，对于同样的力矩，I越大，的变化越小，即I越大，惯性越大，转动情况越不易改变，因此称I为转动惯量。根据动量矩守恒律，当0L时，I为常量。即II当，当，。芭蕾舞演员在作旋转运动时，四肢张开，I较大，较小；四肢收缩，I较小，变大。（2）转动惯量的计算法转动惯量的计算法 质量连续分布时，,imdm，22i()i iImrr dm 垂直轴定理垂直轴定理：平面刚体 基础物理-力学-讲义 北京大学信息科学技术学院-周乐柱 222ZZ22 22yxyxI=r dm=(x+y)dm =x dm+y dm =r dm+r dm=I+I 平行轴定理平行轴定理：2()()()()i22()()22()()22()()()()()(2)()()220oi i oii Ci Ciii Ci Ciiii Ci i CiiiCCImrm drdrm drd rm dmrdmrMdIdMdI 常见刚体的转动惯量常见刚体的转动惯量 1 均匀杆，m，l.过端点 o 的轴 2232(0)01133lIx dmxdxlml 过质心的轴 2(0)()22()()2111()3412CClIImImlml 2 均质环过其中心的轴 222IR dmRdmmR 过环上一点的轴。22(0)()2CIImRmR 过直径 2221122ZXYXYXYZIIIIIIIImR 3 匀质圆盘 m,R.过质心的轴，分成很多小环，对半径为r宽为dr的小环 2dmr dr 基础物理-力学-讲义 北京大学信息科学技术学院-周乐柱 233420211222RdIr dmr drIdIr drRmR 过半径 21124XYZIIImR 4 球壳，分成很多平行于 xy 面的小环，每个小环 22322(sin)ZdIr dmrr dlRRd 4302sinZZIdIRd 428233RmR 其中关于 的积分为 320023140330(cos1)cos(coscos)|sindsindcmd 5 球体，分成很多同心薄球壳，每个球壳 22242284333dIr dmrrdrr dr 54208823355RRIdIr drmR 转动惯量的可加性转动惯量的可加性.根据转动惯量的可加性，复杂刚体或质点组的转动惯量可分解为若干部分的转动惯量之和。补充补充 a,b,m 补充补充 等边三角形，等边三角形，a,m,I(C)基础物理-力学-讲义 北京大学信息科学技术学院-周乐柱 4.4 初等刚体力学初等刚体力学 1.动力学基本公式动力学基本公式 2.静力学静力学(平衡问题平衡问题)3.定轴转动定轴转动 4.平面平行运动平面平行运动 1动力学基本公式动力学基本公式 刚体的动力学问题，一般以质心为基点()pcpcVVWCpaaWcpWWcp 因为，在外力已知的情形下，质心的运动可由质心运动定理确定，角速度可由动量矩定理确定：ds()i()i(C)idV,F=Mdtdr xF =JdtccVa 外外质心运动定理质心系中的动量矩定理，2、静力学问题。、静力学问题。刚体平衡时，()ic()iiF=00,=0 r xF=0V 外外平衡条件 例例长 a,高 b 均质木块，已知 m,求不翻不滑条件。解解受力,mg N f 合外力为零 cos0cossin=0 sinNmgNmgmgffmg斜面方向：斜面方向：对质心的力矩为零 0tan22bbfN ll 该式表明，支持力的作用点为重力作用线与斜面的交点。不滑条件：tanf 不翻条件：tan2bla 利用对 A 点的力矩为零可得相同的结果。补充作业补充作业，求平衡时的角 基础物理-力学-讲义 北京大学信息科学技术学院-周乐柱 3.定轴转动定轴转动 定轴转动问题，利用对轴的动量矩定理 dLId t，可求，利用质心运动定理可求转轴对于刚体的作用力。例例复摆问题。匀质杆 m,l 绕其一端在竖直面内无磨擦摆动，求：满足的方程。杆对轴的作用力。当1 时，杆的摆动周期。解：解：杆受力，mg,轴支持力，N11，N，对 O 的动量矩定理。21sinsin233sin02ZCzlLmglImgmlgl 当 320223gllTlg 要求外力，必须用质心运动定理:sinsin22CllemgNmamNmmg 22:coscos22rCrllemgNmamNmmg 小结：动量矩定理 质心运动定理()CCVaFN外，对任意复摆 (0)(0)(0)()sinsin0,02ZCzcLmglImglmgllIIITmgl 基础物理-力学-讲义 北京大学信息科学技术学院-周乐柱 对于老式钟的钟摆可通过调整螺帽来调整(0)(),CIl，从而调整钟的快慢。对于定轴转动问题，利用质心运动定理和对质心的动量矩定理，然后消去外力，也可得到关于的运动微分方程，但比直接利用对转轴的转动定理要复杂的多。例如：质心运动定理 2sinsincosCCaCNmgmlNmgmlNmgml 对质心动量矩定理 1()()coCCCOul(N+N)+Lmg=LNi cirF 外()()()ccCl NkIkIk 2()2()sinsin()0ccccccl mgmlIl mgIml (0)sin0cl mgI 结果与对转轴的动量矩相同，但复杂得多。4、刚体平面平行运动、刚体平面平行运动 定义定义：刚体上任一点的轨迹都在与一个固定平面平行的平面内。可看作平面刚体在自身平面内的运动。特点特点：r 22.0.20()().()prrrraaopopaopr 只考虑平面内的力。()()()()CcCcdJIJId t 三个自由度，需三个方程，外力完全已知时，由质心运动定理的 2 个方程和动量矩定理的 1 个方程可以完全求解运动。外力不是完全已知时，还要加上其他条件。基础物理-力学-讲义 北京大学信息科学技术学院-周乐柱 例例用手压乒乓球，使其以 0cVV x 和0 弹出，求以后的运动 解：解：受力分析，mg,N,摩擦力f方向待分析 刚弹出时，接地点的速度 00()ocVVcoVR x 沿正 x 方向，故 fNmg沿负 x 方向 列出质心运动定理的分量方程：0cNmgmyNmg 00cvtccvdvNmdvgdtdt 0cvvgt 01CVV0mgcV当t，当t=t时 （1）对质心动理矩定理 02002k:333=22tdmgRmRdtggddttRR 022Rt03 g当当t=t时 （2）0c00003 gV(t)=V+co=(V-gt)+(-t)Rx2R5 g V+R)-tx2(3002t=t=(V+R)5 g当 时 oV0 （3）下面讨论几种情况：基础物理-力学-讲义 北京大学信息科学技术学院-周乐柱 00120001c0101C00V2R21t t,0 (4)2R2R tt,VV-gt0 2R（情况）若即即时，则当时，球开始后滚。从零开始向后运动,速率逐渐增加。数值逐渐减少 3o33Ct tV0tt,f=0,tt,f 0|V|当 增加到 时，当 后如何运动？可以证明此后，小球作匀角速纯滚动反证法：设 oc V=V+R0f 0f t,0（情况）若则 先为，同小球继续向前边滑边滚，直至作纯滚动。注：（4）式可以用惯性系中对 O 的动量矩守恒得到 2()0002()()0322()()33ccccN ocmg ocddJJmRvmRd td tvRvR 当 0cv时，0032vR 刚体动力学的基本问题，除上述静力学（平衡问题）、定轴转动问题和平面平行运动问题外，还有一些问题包含刚体和刚体、刚体和质点相互作用（爆炸，碰撞）的问题。例例光滑水平面的质点以0V 与静止的杆 A 端相碰，并粘在一起，求碰后杆点系统的运动。基础物理-力学-讲义 北京大学信息科学技术学院-周乐柱 解解：质点与杆总动量守恒 0CC0(K=mVm+m V V=2V（后）前）K（）对系统质心 C 的动量矩守恒 00(C)00(c)02222(C)2J=J=mCAV=msin453 248515J=m()+()412424lVlVkkVlllkmlmkmlk 前前后 对 A 点的动量矩守恒 1(A)(A)()(C)222c20200J0JJJ1(2)V()()412452sin454224253 28245c AllAcmmmlmVlmmlklVVmmlkl 前后