浙江省嘉兴一中11-12学年高二数学下学期摸底试卷-理-新人教A版.doc

嘉兴市第一中学2011学年度第二学期摸底考试
数 学（理科）
本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。
请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。
选择题部分
1. 答题前，考生务必将自己的姓名、准备考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试卷个答题纸规定的位置上。
2. 每小题选出答案后，用2B铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。不能答在试题卷上。
参考公式：
如果事件互斥，那么柱体的体积公式

如果事件相互独立，那么其中表示柱体的底面积，表示柱体的高
锥体的体积公式

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．已知幂函数的图象经过点，则的值为
（A） （B） （C）2 （D）1
7
9

8
4
4
6
4
7
9
3

2．图1是某次歌咏比赛中，七位评委为某参赛选手打出
分数的茎叶图．去掉一个最高分，再去掉一个最低分，
则所剩数据的平均数和方差分别为
（A）84，4.84 （B）84，1.6
图1
（C）85，4 （D）85，1.6
3．若是纯虚数（其中是虚数单位），且，则的值是（ ）
A、 B、 C、 D、或

4．下面四个命题中正确的是：（ ）
A、“直线不相交”是“直线为异面直线”的充分非必要条件
B、“平面”是“直线垂直于平面内无数条直线”的充要条件
C、“垂直于在平面内的射影”是“直线”的充分非必要条件
D、“直线平行于平面内的一条直线”是“直线平面”的必要非充分条件
5．已知点的坐标满足 为坐标原点, 则的最小值为（ ）
A. B. C. D.

6、已知点H为△ABC的垂心，且，则的值（ ）
A、3 B、2 C、0 D、

7．如图是函数在一个周期内的图象，、分别是最大、最小值点，且，则的值为（ ）
A、 B、 C、 D、
8．将3个相同的黑球和3个相同的白球自左向右排成一排，如果满足：
从任何一个位置（含这个位置）开始向右数，数到最末一个球，黑球的个数大于等于白球的个数，就称这种排列为“有效排列”，则出现“有效排列”的概率为（ ）
A、 B、 C、 D、
9．已知点P是双曲线右支上一点，、分别是双曲线的左、右焦点，I为的内心，若成立，则双曲线的离心率为（ ）
A、4 B、 C、2 D、

10．已知函数满足，且，若对任意的总有成立，则在内的可能值有（ ）
A、1个 B、2个 C、3个 D、4个
非选择题部分（共100分）
二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分。
11. 已知等差数列中，若，则　　．

12．已知、、三点在同一直线上，，，若点的横坐标为，则它的纵坐标为 ．
13．的展开式中常数项为 ．
14．若函数（）有两个极小值点，则实数的取值范围是 .
15．给出下列命题：
①在△ABC中，若A＜B，则；
②将函数图象向右平移个单位，得到函数的图象；
③在△ABC中，若，，∠，则△ABC必为锐角三角形；
④在同一坐标系中，函数的图象和函数的图象有三个公共点；
其中真命题是 （填出所有正确命题的序号）。
16．三棱锥的四个顶点都在体积为的球的表面上，平面所在的小圆面积为，则该三棱锥的高的最大值是 ．
17. 已知是定义在R上的增函数，函数的图象关于点对称．若对任意的，不等式恒成立，则当时，的取值范围是 ．
三、解答题;本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
18．（本小题共14分）
在ΔABC中，内角A，B，C所对的边分别为a,b,c，已知.
(1) 求的值； (2) 若是钝角，求sinB的取值范围．

19．（本小题共14分）
在等比数列中，，。
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）令，求数列的前n项和。

20．（本小题共14分）
F
E
A
D
B
C
图1
图2
1
1
1
C
2
D
A
B
F
E
1
将如图1的直角梯形ABEF（图中数字表示对应线段的长度）沿直线CD折成直二面角，连结EB、FB、FA后围成一个空间几何体如图2所示，
（1）求异面直线BD与EF所成角的大小；
（2）求二面角D—BF—E的大小；
（3）求这个几何体的体积.

21. （本小题共15分）
已知直线：与圆C：相交于两点．
（Ⅰ）求弦的中点的轨迹方程；
（Ⅱ）若为坐标原点，表示的面积，，求的最大值.

22．（本小题满分15分）
已知函数
（Ⅰ）求函数的极值；
（Ⅱ）对于曲线上的不同两点，，如果存在曲线上的点，且，使得曲线在点处的切线∥，则称为弦的伴随切线。特别地，当时，又称为的λ－伴随切线。
（ⅰ）求证：曲线的任意一条弦均有伴随切线，并且伴随切线是唯一的；
（ⅱ）是否存在曲线C，使得曲线C的任意一条弦均有伴随切线？若存在，给出一条这样的曲线 ，并证明你的结论； 若不存在 ，说明理由。
自选模块考试
1　参数方程与极坐标
自极点O作射线与直线相交于点M，在OM上取一点P，使得，求点P的轨迹的极坐标方程．

2 不等式证明
设a、b、c均为实数，求证：++≥++．

高三数学练习参考答案
一、选择题（每小题5分）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
C
D
A
D
D
B
C
B
C
B
二、填空题（每小题4分）
11、11 12、13、 13、-33 14、 15、①③④ 16、8 17、
三、解答题
18、（I）由余弦定理得，，
∴，………………2分
∵ ，，∴,……………5分
∴.……………6分
（II）在ΔABC中，由是钝角得,，
∴， ∵y=sinx在[0，]上为增函数，
∴0＜sinB＜sin(-C)=cosC= ， ∴sinB的取值范围是0＜sinB＜.………………14分
19、本小主要考查等比数列、数列求和等基础知识，考查运算求解能力。满分13分
解：（Ⅰ） 设等比数列的公比为q。
依题意，得 ……………………………………………… 2分
解得， ………………………………………………………… 4分
∴数列的通项公式：。 …………………… 7分
（Ⅱ） 由（Ⅰ）得，。
。 ……………………… 10分
∴ 。 ………………………… 14分
//
＝
20、解法一：（1）将图形补充成长方体，
连，则 ，又连，易知
//
＝
∴，∴与所成角为 ………… 4分
（2）取的中点，连，则 ，而平面
∴平面，又过的中点，即平面
∴平面平面
∴二面角——的大小为 ………… 8分
（3）

………… 14分

F
E
A
D
B
C
y
z
x
解法二：建立空间直角坐标系（如图）
（1），

∴
∴异面直线与所成角为 ………… 4分
（2）显然平面的一个法向量为
设平面的一个法向量为
又 由，
得 取得
而 ∴平面平面
∴二面角——的大小为 ………… 8分
（3）同解法（1） ………… 14分
21. 解：（Ⅰ）直线与轴的交点为N（0，1），圆心C（2，3），设M（，），
∵与所在直线垂直，∴，（，
当时不符合题意，当时，符合题意，
∴中点的轨迹方程为：，
.……………6分
（Ⅱ）设，
∵，且，∴
将代入方程得,
∵，
∴4=，
∴=，……………………………12分
∵由，∴，∵得,
∴时，的最大值为.……………………15分
22、本小题主要考查函数、导数等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形
结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想。满分15分。
解法一：
（Ⅰ） ………………………………………………………… 2分
当，，函数在内是增函数，
∴函数没有极值。 …………………………………………………… 3分
当时，令，得。
当变化时，与变化情况如下表：

＋
0
－

单调递增
极大值
单调递减
∴当时，取得极大值。
综上，当时，没有极值；
当时，的极大值为，没有极小值。 ……………5分
（Ⅱ）（ⅰ）设是曲线上的任意两点，要证明
有伴随切线，只需证明存在点，使得
，且点不在上。 ……………………7分
∵，即证存在，使得，即成立，且点不在上。 …………………8分
以下证明方程在内有解。
记，则。
令，
∴，
∴在内是减函数，∴。
取，则，即。……9分
同理可证。∴。
∴函数在内有零点。
即方程在内有解。………………10分
又对于函数取，则
可知，即点Q不在上。
是增函数，∴的零点是唯一的，
即方程在内有唯一解。
综上，曲线上任意一条弦均有伴随切线，并且伴随切线是唯一的。
…………………………………………………………………………… 11分
（ⅱ）取曲线C：，则曲线的任意一条弦均有伴随切线。
证明如下：
设是曲线C上任意两点，
则，
又，
即曲线C：的任意一条弦均有伴随切线。 …………………15分
注：只要考生给出一条满足条件的曲线，并给出正确证明，均给满分。若只给曲
线，没有给出正确的证明，不给分。
解法二：
（Ⅰ）同解法一。
（Ⅱ）（ⅰ）设是曲线上的任意两点，要证明
有伴随切线，只需证明存在点，使得
，且点不在上。 …………………………… 7分
∵，即证存在，使得，
即成立，且点不在上。 …………… 8分
以下证明方程在内有解。
设。
则。
记，
∴，
∴在内是增函数，
∴。 …………………………………………… 9分
同理。。
∴方程在内有解。 …………10分
又对于函数，
∵，，
可知，即点Q不在上。
又在内是增函数，
∴方程在内有唯一解。
综上，曲线上任意一条弦均有伴随切线，并且伴随切线是唯一的。
…………………………………………………………………………… 11分
（ⅱ）同解法一。
自选模块考试
1．法一：将直线方程化为， ………4分
， ………6分
设动点P，M，则 ， ………8分
又 ，得； ………10分
法二：以极点为坐标原点建立直角坐标系，
将直线方程化为，………………4分
设P，M，，………6分
又MPO三点共线，， …………8分
转化为极坐标方程． ………10分
2．证明： ∵a、b、c均为实数．
∴（＋）≥≥，当a=b时等号成立；………………4分
（＋）≥≥，当b=c时等号成立；
（＋）≥≥．………………6分
三个不等式相加即得++≥++，………………9分
当且仅当a=b=c时等号成立. ………………10分

11
用心 爱心 专心