放缩法证明不等式.doc

用放缩法证明不等式
放缩法是不等式证明中一种常用的方法，但放缩的范围较难把握，常常出现放缩之后得不出结论或得出相反结论的现象。因此，使用放缩法时，如何确定放缩目标尤为重要。要想正确确定放缩目标，就必须根据欲证结论，抓住题目的特点。常用的放缩技巧还有：
（1）若（2）
（3）若则（4）（5）（6）或（7）等.例1 （海南理11）若求证：
证明：因为所以因为［因为（放大），所以又所以是增函数］，所以，所以
练习1. 求证： 2. 求证：

例2  （贵州省理21）若求证：
证明：因为而所以所以同理可证（当且仅当时，取等号）。
练习3. 已知求证：

练习4.已知  ,求证： 
分析 由可想到二项式系数的和为，由可想到二项式定理，利用放缩法把转化成构造出二项式定理公式，从而得出结论。

例3    　证明  
  　　分析  左式很难求和，可将右式拆成n项相加的形式，然后证明右式各项分别大于左式各项，叠加得出结论。
 　注：放缩法是一种技巧性较强的不等变形，一般用于两边差别较大的不等式。常用的有“添舍放缩”和“分式放缩”，都是用于不等式证明中局部放缩。
　证明   

总之，如何确定放缩的尺度，是应用放缩法证明中最关键、最难把握的问题。但是，只要抓住了欲证命题的特点，勤于观察和思考，许多问题都能迎刃而解。
练习5. 求证： 
　　分析  左式是n个因式连乘的形式，应把各因式化为分式，通过放缩，使之能交替消项，达到化简的目的。由于右式是，因此所放缩后的因式应与有关。 

练习6. 已知a、b、c分别是一个三角形的三边之长，求证：

练习7.求证：

练习8. 求证：

练习9.  求证

练习10.已知，求证：

1.证明：因为所以左边因为99＜100（放大）＜所以
2.证明：（因为）
［又因为（放大）］，所以所以
3. 证明：因为

 4. 证明   设且。对任意，有
 将上述各式叠加：

6.不妨设据三角形三边关系定理有：便得所以原不等式成立。
7.因为又所以原不等式成立。
8.因为左边证毕。
9.因为所以左边
10.由 （x>0）单增得再放大