一元二次方程应用导学案.doc

实际问题与一元二次方程导学案
————面积问题
一、 学习目标导告：
掌握面积法建立一元二次方程的数学模型并运用它解决实际问题．
利用提问的方法复习几种特殊图形的面积公式来引入新课，解决新课中的问题．
重点：根据面积与面积之间的等量关系建立一元二元方程的数学模型并运用它解决实际问题．
难点与关键：根据面积与面积之间的等量关系建立一元二次方程的数学模型．
二、 学习过程导学
一）独学：
上节课，学习了解决“平均增长(下降)率问题”，现在要学习解决“面积、体积”问题。
回顾知识并回答下列问题
1．直角三角形的面积公式是什么？一般三角形的面积公式是什么呢？
2．正方形的面积公式是什么呢？长方形的面积公式又是什么？
3．梯形的面积公式是什么？
4．菱形的面积公式是什么？
5．平行四边形的面积公式是什么？
6．圆的面积公式是什么？
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二）对学 ：学习对子讨论学习下列内容
探究３：要设计一本书的封面,封面长27㎝,宽21㎝,正中央是
一个与整个封面长宽比例相同的矩形,如果要使四周的
边衬所占面积是封面面积的四分之一,上、下边衬等宽
,左、右边衬等宽,应如何设计四周边衬的宽度（精确到0.1cm）?
分析:这本书的长宽之比是9:7,依题知正中央的矩形两边之比也为9:7
解法一:设正中央的矩形两边分别为9xcm，7xcm
依题意得
解得
故上下边衬的宽度为:

左右边衬的宽度为:

分析:这本书的长宽之比是9:7,正中央的矩形两边之比也为9:7,由此判断上下边衬与左右边衬的宽度之比也为9:7
解法二:设上下边衬的宽为9xcm，左右边衬宽为7xcm
依题意得

解方程 （方程的哪个根合乎实际意义? 为什么）

三）群学：学习小组讨论学习下列内容
例题1、某校为了美化校园,准备在一块长32米,宽20米的长方形场地上修筑若干条宽度相同的道路,余下部分作草坪,并请全校同学参与设计,现在有两位学生各设计了一种方案(如图),根据两种设计方案各列出方程,求图中道路的宽分别是多少?使图(1),(2)的草坪面积均为540平方米。

（１题图） （２题图）
解:(1)如图，设道路的宽为x米，则
化简得 解之得
其中的 x=25超出了原矩形的宽，应舍去.
∴图(1)中道路的宽为1米.
（2）分析：此题的相等关系是矩形面积减去道路面积等于540米2。
解法一： 如图，设道路的宽为x米，

化简得：

其中的 x=50超出了原矩形的长和宽，应舍去.

解法二：利用“图形经过移动，它的面积大小不会改变”的道理，把纵、横两条路移动一下，使列方程容易些（目的是求出路面的宽，至于实际施工，仍可按原图的位置修路）
相等关系是：草坪长×草坪宽=540平方米 （下略）

例题2(2004年,镇江)学校为了美化校园环境，在一块长40米、宽20米的长方形空地上计划新建一块长9米、宽7米的长方形花圃.
（1）若请你在这块空地上设计一个长方形花圃，使它的面积比学校计划新建的长方形花圃的面积多1平方米，请你给出你认为合适的三种不同的方案.
（2）在学校计划新建的长方形花圃周长不变的情况下，长方形花圃的面积能否增加2平方米？如果能，请求出长方形花圃的长和宽；如果不能，请说明理由。
解：（1）本题 方案有无数种（长宽分别是64的约数但注意长宽的数据和40、20的关系）
（2）在长方形花圃周长不变的情况下，长方形花圃面积不能增加2平方米.
由题意得长方形长与宽的和为16米.设长方形花圃的长为x米，则宽为（16-x）米.
x(16-x)=63+2， x2-16x+65=0

∴此方程无解.
∴在周长不变的情况下，长方形花圃的面积不能增加2平方米。

四）、分组展示，纠错提升
1、分组展示独学、对学、群学内容

教师精讲：这类的题型有些需要我们通过平移把图形重新整理，再来求面积。求出来的结果我们要考虑与生活的实际情况符合，不符合的都应该舍去。

五）、训练反馈

1、在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周80cm
x
x
x
x
50cm

镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示
，如果四周金色纸边的面积是1400cm2，设金色纸
边的宽为xcm，那么x满足的方程是（ ）。
A．x2+130x-1400=0 B．x2+65x-350=0
C．x2-130x-1400=0 D．x2-65x-350=0
2、用20厘米长的铁丝能否折成面积为30平方厘米的矩形,若能够,求它的长与宽;若不能,请说明理由.
3、 (2003年,舟山)如图，有长为24米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度a为10米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃。设花圃的宽AB为x米，花圃ABCD的面积为S米2，
（1）S与x的函数关系式为—————。
（2）如果要围成面积为45米2的花圃，
AB的长是——————。

（附答案：2.解:设这个矩形的长为xcm

根据题意得：
x2 -10x+30=0

∴此方程无解
∴用20cm长的铁丝不能折成面积为30cm2的矩形.）

3. 设宽AB为x米，
则BC为(24-3x)米，这时面积
S=x(24-3x)=-3x2+24x
(2)由条件-3x2+24x=45
化为：x2-8x+15=0解得x1=5，x2=3
∵0＜24-3x≤10得14/3≤x＜8
∴x2不合题意，AB=5，即花圃的宽AB为5米

六、学习内容反思：小结
l 列一元二次方程解应用题的步骤与列一元一次方程解应用题的步骤类似，即审、设、列、解、检、答．
l 这里要特别注意:在列一元二次方程解应用题时，由于所得的根一般有两个，所以要检验这两个根是否符合实际问题的要求．