电磁场有限元法(2)教学教材.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,电磁场有限元法(2),有限元的基本思路,将计算空间离散，划分为有限个小单元，小单元形式简单，数量有限；,根据小单元的不同形状，定义单元内的基函数，要求各基函数之间线性无关；,基函数是坐标的函数，每个基函数在单元内与各自特定的点或线相关。在这个特定的点或线上，定义在其上的基函数等于,1,，其它基函数等于,0,；,求解的目标就是单元内这些特定的点或线上的电场值。一旦已知，则单元内任一点的电场值都可以表示为单元内所有基函数的一个线性组合。,2,区域离散的概念,为了模拟复杂的区域形状，需要针对不同的问题采用不同的剖分单元形式，通常对于二维问题，我们采用三角形单元剖分；对于三维问题，采用的是四面体单元：,3,有限元边值问题,典型的边值问题可用区域内的控制微分方程和包围区域边界上的边界条件来定义,：,L,=,f,其中,L,为微分算符，,f,为激励或者强加函数，,是未知量。,在电磁学中，控制微分方程包括简单的泊松方程以及复杂的标量波动方程，甚至也有更复杂的矢量波动方程。,边界条件有简单的狄利克雷,(Dirichlet),条件和诺曼,(Neumann),条件，也有复杂的阻抗和辐射边界条件，甚至还有更复杂的高阶条件。,4,求解边值问题两种经典方,里兹,(Ritz),变分方法,用变分表达式,(,也称为泛函,),表示边值问题，泛函的极小值对应于给定边界条件下的控制微分方程。通过求泛函相对于其变量的极小值，可得到近似解,。,伽辽金,(Galerkin),方法,残数加权方法类型，它通过对微分方程的残数求加权方法来得到方程的解。,5,里兹,(Ritz),变分方法,L,=,f,的解等于下式泛函对 的解,泛函：,v,j,是定义在全域上的展开函数,c,j,是待定的展开系数,6,里兹,(Ritz),变分方法,将试探函数代入泛函：,令其对,c,i,的偏导数为零，从而得到线性代数方程组,7,里兹,(Ritz),变分方法,其中：,（应用算符,L,的自伴性质）,求解该方程组可以得到,L,=,f,的近似解,8,伽辽金,(Galerkin),方法,假设 是,L,=,f,的近似解，则得到非零的残数为：,使用残数加权法求解微分方程,残数加权方法要求,w,i,是所选择的加权函数,9,伽辽金,(Galerkin),方法,在伽辽金方法中，加权函数与近似解展开中所用的函数相同，这样可得到最精确的解。,假设近似解为：,则取加权函数选为：,因此：,得到：,在算符,L,为自伴算符的情况下，伽辽金方法与里兹方法得到相同的方程组。,10,二维标量场有限元分析过程,二维边值问题,Dirichlet,边界条件：,混合边界条件：,Neumann,边界条件：,11,空间离散,1,2,3,5,6,4,1,2,3,4,这是二维区域离散的示意图。,黑色数字表示节点的全局编码，,红色数字,表示三角形单元的全局编号。,组成每个三角形单元的节点在三角形内有一组局部编码。显然，该局部编码与节点的全局编码有一一对应关系。,12,选择插值基函数,使用,线性三角形单元,，在第,e,个单元内，可以近似为：,节点坐标带入：,解得：,其中，为插值基函数,13,插值基函数,其中：,14,当观察点,(,x,y,),位于第,i,个结点的对边上时：,二维插值基函数的性质,性质,1,：,性质,2,：,一个单元边的 值与其相对结点处的 值无关，而由该边两端点处的 值确定。从而保证了单元两侧解的连续性,结论：,15,用伽辽金法建立公式,其中：,16,组合成方程组,组合：,其中：,用矩阵表示为：,17,K,矩阵的形成,1,2,3,5,6,4,1,2,3,4,图中,箭头,所指为相应三角形单元的起始结点,1,，并且规定结点,1,、,2,、,3,按顺时针排列。,18,列向量,b,的形成,1,2,3,5,6,4,1,2,3,4,19,列向量,g,的形成,1,2,3,5,6,4,1,2,3,4,其中：,20,经过以上各步，得到包含所有结点,未知量,的线性方程组：,求解方程组,其中，,b,来自于强加源,f,，,g,来自于边界条件，矩阵,K,中的每个元素表达了每个结点与其相邻所有结点在基函数上的相关性。求解该线性方程组即得到所有结点上的标量值，再通过原来每个单元中的展开函数回代，便可以得到该单元中的任意一点上所需要的标量值。,21,三维有限元分析,三维边值问题,Dirichlet,条件：,混合条件：,Neumann,边界条件：,22,空间离散,这是三维区域离散的示意图。,红色,部分为一个线性四面体单元，全部求解空间被有限个这样的四面体单元所离散。,组成每个四面体单元的结点在四面体内有一组局部编码。显然，该局部编码与结点的全局编码有一一对应关系。,1,2,3,4,5,6,7,23,选择插值基函数,在第,e,个单元内，未知函数 可以近似为：,将结点坐标带入：,解得：,其中，为插值基函数,24,节点插值基函数,其中：,25,当观察点,(,x,y,z,),位于四面体单元的第,i,个结点的对面上时：,三维插值基函数的性质,性质,1,：,性质,2,：,一个单元面上的 值与该面相对结点处的 值无关，而只与组成该面的三个顶点处的 值有关。因此保证了四面体单元两侧解的连续性。,结论：,26,用伽辽金法建立公式,27,组合成方程组,组合：,其中：,用矩阵表示为：,28,K,矩阵的形成,通过局部坐标与全局坐标的对应关系，将在每个四面体单元中形成的局部,K,e,矩阵中的所有元素，依次填入全局的,K,矩阵中，最终完成,K,矩阵的形成。,K,矩阵的行与列是节点全局编码的排序,，矩阵中每个元素表示,行号,所对应的节点与,列号,所对应的节点，在基函数上的相关性。显然，一个节点所对应的基函数只与相邻节点对应的基函数相关。而且两节点基函数之间的相关性是相互的，因此最终形成的,K,矩阵是一个对称的稀疏阵。,29,列向量,b,的形成,通过局部坐标与全局坐标的对应关系，将在每个四面体单元中形成的局部列向量,b,e,中的所有元素，依次填入全局的列向量,b,中。,b,中元素的排序是节点全局编码的排序,，如果一个节点处没有加源，那么,b,中与该节点全局编码有相同编号的元素为,0,。无源时,b,为,0,向量。,30,列向量,g,的形成,其中：,1,2,3,4,5,列向量,g,中第,i,个元素，是共用第,i,个节点的多个四面体，在该点与其它点在基函数相关性上的累加。,如果一个面被两个四面体共用，则该面同一点的、位于两个不同单元的基函数对,g,i,的贡献互相抵消。只有位于体积表面的那些节点才对,g,i,有贡献。,31,时变电磁场中标量有限元的缺点,无论是一维二维还是三维的情况，可以看出，所有的插值基函数都是基于单元节点定义的,标量,函数。他们被通称为节点有限元。这种有限元常常会伴有非物理的或所谓伪解的出现，而且很难处理材料界面以及导体和介质边缘及角的场的奇异性。克服这种缺陷最好的办法是使用,矢量,的基函数直接表征待求的场。,32,齐次矢量波动方程,边值问题：,在一个单元内：,33,二维矢量有限元,性质,1,：,其中：,性质,2,：,性质,3,：,34,二维棱边基函数,定义,:,表示沿第,i,个棱边的切向场。,单元内的矢量场可展开为：,35,三角形单元中矢量基函数示意图,各矢量基函数只在相关的棱边上有投影分量，而在其余棱边上的投影分量为,0,36,单元内的矢量场表示为,6,个,矢量插值基函数,的线性组合：,其中：,1,2,3,4,1,2,3,4,5,6,其中,a,i,e,、,b,i,e,、,c,i,e,、,d,i,e,是与,4,个节点坐标相关的量，是已知量。,V,e,是单元的体积。,三维矢量有限元,37,矢量基函数的性质,N,i,沿棱边,l,i,的切向分量只与该棱边的长度有关；,N,i,在其它棱边上只有法向分量，没有切向分量；,38,在一个单元内：,电场用矢量基函数代替：,边值问题的求解,39,在单元内使用,伽辽金法,：,简写为：,（其中,i,、,j=16,）,测试基函数,基函数,40,第一矢量格林恒等式：,41,使用解析法求解，或使用高斯积分求解；,在每个单元内分别形成,6x6,的,S,矩阵和,T,矩阵，线性叠加后得到每个单元的系数矩阵；,42,解析法求解,S,矩阵、,T,矩阵,1,2,3,4,1,2,3,4,5,6,43,高斯积分法求解,S,矩阵、,T,矩阵,空间任一四面体单元，到体坐标系下直角四面体单元的映射关系。,1,2,3,4,n,L,1,L,2,L,3,节点基函数的几何意义：,映射关系,实际的点,44,高斯积分法求解,S,矩阵、,T,矩阵,根据基函数的性质：,取,1,2,3,4,1,2,3,4,5,6,令,45,高斯积分法求解,S,矩阵、,T,矩阵,高斯,-,勒朗德积分公式,46,小节,至此，在每个单元内形成了两个,6x6,的系数矩阵；,矩阵的行表示单元内测试基函数的顺序；,矩阵的列表示单元内棱边基函数的顺序；,矩阵的每个元素表示各相应棱边基函数之间的自作用或互作用关系；,如果求得基函数的系数，则单元内任一点的电场均可通过插值求出。,47,由于：,（,1,）矢量棱边基函数具有切向连续性；,（,2,）,E,i,e,表示在第,i,条棱边上电场的切向分量；,（,3,）电场在分界面上具有切向连续性；,所以，不同单元在相同棱边上的基函数的系数,E,i,e,必然相等。,从单元矩阵到全局矩阵的转换,48,全局矩阵的形成,通过局部编码与全局编码的对应关系，将在每个单元中形成的局部矩阵中的所有元素，依次填入全局矩阵中，最终完成全局矩阵的形成。,全局矩阵的行与列是未知量全局编码的排序,，矩阵中每个元素表示,行号,所对应的未知量与,列号,所对应的未知量，在基函数上的相关性。；,显然，一个未知量所对应的基函数只与临近未知量所对应的基函数相关。而且两个基函数之间的相关性是相互的，因此最终形成的全局矩阵是一个,nxn,的对称稀疏阵，,n,表示未知量的个数，在低阶矢量有限元方法里未知量个数也是棱边的个数。,49,全局矩阵的每个元素表示各单元中相应的棱边基函数在全局范围内的自作用或互作用关系的总和,；,形成全局矩阵的操作过程为：,（,1,）将每个单元内基函数的局部编码与与全局编码建立一一对应关系；,（,2,）假如某个单元中第,i,个基函数对应于全局第,u,个基函数，第,j,个基函数对应于第,v,个基函数，则将单元矩阵中第,i,行第,j,列元素填充到全局矩阵的第,u,行第,v,列元素中，以此类推；,（,3,）原始的全局矩阵为零矩阵，填充在相同元素位置的数据必须累加；,（,4,）每形成一个单元的矩阵，就立即填充进全局矩阵，直至所有单元循环一遍。,50,根据齐次矢量波动方程变分后的表达式：,最终可以形成“矩阵矢量乘”的方程组表达式：,该方程组需要强加边界条件：场源信号和金属边界条件,51,强加边界条件,52,经过以上各步，得到包含所有棱边,未知量,的线性方程组：,求解方程组,其中，,K,为稀疏对称阵，,E,为包含所有未知量的一组列向量，,b,来自于强加源,和,边界条件。求解该线性方程组，即得到在相应棱边上，空间电场的切向分量。想知道空间任一点的电场值，可以先找到该点所在的单元，再通过单元中电场的基函数展开表达式，便可得到。,53,基本有限元方法总结,选用合适的单元形式，对计算空间进行精确离散，常使用,Ansys,软件。一般拟合度越高，计算越精确；,在,每个单元,中，采用伽辽金法或里兹变分法将边值问题由微分形式转化为积分形式，以利于数值求解；,选取合适的基函数，带入上一步所形成的积分方程，从而在每个单元建立一个线性方程组；,将所有单元的线性方程组进行组合，建立全域的线性方程组；,求解该线性方程组；,54,有限元法中的误差来源,1.,由于离散单元的近似性产生的误差,2.,由于解的近似方法产生的误差,3.,由数值计算产生的误差,(,即在计算机中数值的积分和舍入误差,),55,有限元中开边界条件的处理,整体的边界条件截断：边界积分法,微分形式的局部吸收边界条件截断：基于辐射边界条件的,ABC,吸收边界条件，采用外向波算子展开而引入的,Mur,条件等,采用虚拟吸收体截断：高效的,PML,边界条件,56,有限元中开边界条件的处理,为了模拟开边界问题，在有限元技术中引入了,PML,的概念来处理截断边界，其目的是建立吸收边界条件。,PML,的概念是基于,Maxwell,介质对电磁波的无反射吸收现象，最早用于,FDTD,，在有限元中相当于建立了多层对角各向异性的有耗介质。,57,有限元中开边界条件的处理,PML,介质参数的选取,其中：,58,含,PML,的齐次矢量波动方程,在自由空间中，为,0,，方程自动变为普通的齐次矢量波动方程。,有了截断边界条件，有限元法可以用于求解各种开域问题：散射问题、辐射问题、微波传输线路问题等。,59,时域有限元法,（,TDFEM,）,频域算法：通过频域算法，可以得到某一频率的电磁波在整个计算空间所引起的各点的场强。,|V|,mm,90GHz,的,TE,波在一端短路的波导中形成的驻波,61,时域算法：通过时域算法，可以得到空间任一点在整个时间段上的场强的变化。,V,T,1,2,3,微带中在,3,个观察点得到的时域波形,62,时域有限元法概述,TDFEM,法的理论原型是频域的有限元法。最初应用点匹配法,只能求解,Maxwell,旋度方程中的一个,可能造成较大的误差。后来发展为能够同时求解两个旋度方程,并且采用合适的差分方式提高了运算结果的精度。方法的稳定性取决于在场量更新过程中涉及到的矩阵运算。,63,时域有限元法概述,目前，针对时域有限元的应用有两种思路：,1,、从,Maxwell,方程的两个旋度方程出发，采用伽辽金法，得到,TDFEM,的,“,蛙跳,”,格式，可同时求出空间的电场和磁场。（第一类,TDFEM,）,2,、从电场的矢量波动方程出发，采用伽辽金法，得到波动方程的差分格式，可求出空间的电场。（第二类,TDFEM,）,64,第一类,TDFEM,令：,有关系：,65,第一类,TDFEM,0,1,2,3,0,1,2,3,4,5,0,1,2,3,66,第一类,TDFEM,其中：,伽辽金测试基函数,67,对时间的差分格式,前向差分格式,后向差分格式,中心差分格式,68,第一类,TDFEM,得到时间域的,FEM,方法的“蛙跳”格式：,69,CN,差分方法在,TDFEM,的应用,CN,差分方式对时间偏微分处理，得：,70,CN,差分方法在,TDFEM,的应用,令：,通过求和运算，并采用全局结点编码，可得到最终求解方程：,71,CN,差分方法在,TDFEM,的应用,最终得到的方程组，只有,E,场需要求解稀疏矩阵，,B,场显式求解就可以得到。在整个求解过程中即不涉及矩阵和矩阵的乘法也不涉及矩阵逆的运算，大大的降低了计算复杂度；采用,CN,差分方式后，时间步长不再受稳定性条件的限制，节约了大量的计算时间。,72,第二类,TDFEM,时域波动方程：,频域波动方程：,73,第二类,TDFEM,伽辽金法,第一矢量格林定理,74,第二类,TDFEM,其中：,75,Newmark,差分格式,第二类,TDFEM,76,时，,Newmark,差分格式,表示的时间步进过程是无条件稳定的。通常取,，此时计算误差最小。,第二类,TDFEM,Newmark,差分格式,时，,Newmark,差分法退化为中心差分法,77,时域有限元加源的方法,采用在加源点或加源面，按时间步，逐步加源。,78,各向异性介质完全匹配层（,PML,）,时域有限元,PML,波导体,PML,源,.,1,2,n,，,。,其中：,79,80,各向异性介质完全匹配层（,PML,）,带入频域波动方程：（由频域转化得到时域公式）,其中：,81,82,整理，得：,83,利用关系式，将频域公式转化为时域公式,得：,使用,Galerkin,法,：,84,得：,85,另外：,86,采用,差分方法,87,The End,88,此课件下载可自行编辑修改，仅供参考！感谢您的支持，我们努力做得更好！谢谢,