资源描述
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一、选择题
1．(2008年辽宁高考)圆x2＋y2＝1与直线y＝kx＋2没有公共点的充要条件是( )
A．k∈(－，)
B．k∈(－，)
C．k∈(－∞，－)∪(，＋∞)
D．k∈(－∞，－)∪(，＋∞)
【解析】 方法一：由
得(1＋k2)x2＋4kx＋3＝0.
∴直线与圆没有公共点的充要条件是
判别式Δ＝(4k)2－4×3(1＋k2)＜0，
∴k2－3＜0，
∴－＜k＜，∴选B.
方法二：如图，直线y＝kx＋2过定点(0,2)，
当直线与圆相切时，两切线的斜率分别为－，，
∴当直线的斜率k∈(－，)时，直线与圆没有公共点．
【答案】 B
2．设O为坐标原点，C为圆(x－2)2＋y2＝3的圆心，且圆上有一点M(x，y)满足·＝0，则＝( )
A. B.或－
C. D.或－
【解析】 ∵·＝0，
∴OM⊥CM，∴OM是圆的切线．
设OM的方程为y＝kx，
由＝，得k＝±，即＝±.
【答案】 D
3．(2009年临沂模拟)已知直线x＋y＝a与圆x2＋y2＝4交于A、B两点，且|＋|＝|－|，其中O为坐标原点，则实数a的值
为( )
A．2 B．±2
C．－2 D．±
【解析】 如图，作平行四边形OADB，
∴四边形OADB为正方形，
易知为直线在y轴上的截距的绝对值，∴a=±2.
【答案】 B
4．直线2x－y＝0与圆C：(x－2)2＋(y＋1)2＝9相交于A，B两点，则△ABC(C为圆心)的面积等于( )
A．2 B．2
C．4 D．4
【解析】 圆C的圆心C(2，－1)，半径r＝3，
C到直线2x－y＝0的距离d＝＝，
∴|AB|＝2＝4，∴S△ABC＝×4×＝2.
【答案】 A
5．圆(x＋1)2＋(y＋2)2＝8上与直线x＋y＋1＝0的距离等于的点共有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
【解析】 圆心(－1，－2)到直线x＋y＋1＝0的距离，
d＝＝，圆的半径r＝2，
∴圆上到直线x＋y＋1＝0的距离等于的点共有3个．
【答案】 C
二、填空题
6．如果点P(5a＋1,12a)在圆(x－1)2＋y2＝1的内部，则a的取值范围是________．
【解析】 由已知得(5a＋1－1)2＋(12a2)＜1，
解得－＜a＜.
【答案】 －＜a＜
7．(2008年天津高考)已知圆C的圆心与点P(－2,1)关于直线y＝x＋1对称，直线3x＋4y－11＝0与圆C相交于A、B两点，且|AB|＝6，则圆C的方程为________．
【解析】 设点P(－2,1)关于直线y＝x＋1的对称点为C(a，b)，则，
解得a＝0，b＝－1.
∴圆心C(0，－1)，
∴圆心C到直线3x＋4y－11＝0的距离d＝＝3.
又|AB|＝6，∴r2＝()2＋d2＝9＋9＝18，
∴圆C的方程为x2＋(y＋1)2＝18.
【答案】 x2＋(y＋1)2＝18
8．设有一组圆：Ck：(x－k＋1)2＋(y－3k)2＝2k4(k∈N*)．下列四个命题：
①存在一条定直线与所有的圆均相切
②存在一条定直线与所有的圆均相交
③存在一条定直线与所有的圆均不相交
④所有的圆均不经过原点
其中真命题的代号是________．(写出所有真命题的序号)
【解析】 设直线为y＝ax＋b，
d＝＝.
∵d中无k的2次项，
∴不存在实数a、b使d＝k2，①错误，
当a＝3，b＝3时，d＝0，恒小于k2与圆相交，②正确．
同①项之理，③错误．
将(0,0)代入，方程不成立，④正确，选②④.
【答案】 ②④
三、解答题
9．已知圆C经过P(4，－2)，Q(－1,3)两点，且在y轴上截得的线段长为4，半径小于5.
(1)求直线PQ与圆C的方程；
(2)若直线l∥PQ，且l与圆C交于点A、B，∠AOB＝90°，求直线l的方程．
【解析】 (1)方法一：PQ为y－3＝×(x＋1)
即x＋y－2＝0，
C在PQ的中垂线y－＝1×(x－)
即y＝x－1上，
设C(n，n－1)，则r2＝|CQ|2＝(n＋1)2＋(n－4)2，
由题意，有r2＝(2)2＋|n|2，
∴n2＋12＝2n2－6n＋17，
∴n＝1或5，r2＝13或37(舍去)，
∴圆C为(x－1)2＋y2＝13.
方法二：设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
由已知得，
解得或，
当时，r＝＜5；
当时，r＝＞5(舍)，
∴所求圆的方程为x2＋y2－2x－12＝0.
(2)设l为x＋y＋m＝0，
由，
得2x2＋(2m－2)x＋m2－12＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝1－m，x1x2＝，
∵∠AOB＝90°，∴x1x2＋y1y2＝0，
∴x1x2＋(x1＋m)(x2＋m)＝0，
∴m2＋m－12＝0，
∴m＝3或－4(均满足Δ＞0)，
∴l为x＋y＋3＝0或x＋y－4＝0.
10．已知与曲线C：x2＋y2－2x－2y＋1＝0相切的直线l交x轴，y轴于A，B两点，且OA＝a，OB＝b(a＞2，b＞2)．
(1)求证：(a－2)(b－2)＝2；
(2)求线段AB的中点的轨迹方程；
(3)求△AOB面积的最小值．
【解析】 依题意直线l的方程为＋＝1，
即bx＋ay－ab＝0.
圆C的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1.
(1)∵直线l与圆C相切，
∴＝1，
化简得2－2a－2b＋ab＝0，
即(a－2)(b－2)＝2.
(2)设AB的中点的坐标为(x，y)，
则a＝2x，b＝2y，
代入(1)式得(2x－2)(2y－2)＝2，
即(x－1)(y－1)＝.
(3)由(a－2)(b－2)＝2，得ab＝2a＋2b－2.
S△AOB＝ab＝a＋b－1
＝(a－2)＋(b－2)＋3
≥2＋3＝3＋2，
当且仅当a＝b＝2＋时，面积有最小值3＋2. 高.考.资.源.网
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