吉林省实验中学高三数学第六次模拟试题-文-新人教B版.doc

吉林省实验中学2012届高三第六次模拟考试
数学（文科）试题

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第22~24题为选考题，其它题为必考题。
第Ⅰ卷（选择题）
一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，则=
A． B．
C． D．
2．复数在复平面上对应的点的坐标是
A． B． C． D．
3．已知命题，使 命题，都有给出下列结论：
① 命题“”是真命题 ② 命题“”是假命题
③ 命题“”是真命题； ④ 命题“”是假命题
其中正确的是
A．② ④ B．② ③ C． ③ ④ D． ① ② ③
4．如图，正方形中，点，分别是，的中点，那么
A． B．
C． D．
5．点为圆内弦的中点，则直线的方程为
A． B．
C． D．
6．角的终边经过点A，且点A在抛物线的准线上，则
A． B． C． D．
7．一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图与左视图均为半径是的圆，则这个几何体的体积是

A． B． C． D．
8．在平面直角坐标系内，若曲线：上所有的点均在第四象限内，则实数的取值范围为
A． B．
C． D．
9．函数（其中）的图象
如图所示，为了得到的图象，则只要
将的图象
A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度
10．已知正项组成的等差数列的前项的和,那么最大值是
A． B． C． D．不存在

11．在平面直角坐标系中，已知向量与关于轴对称，向量，满足不等式的点的集合为
A． B．
C． D．
12．椭圆上存在一点P，使得它对两个焦点，的张角，则该椭圆的离心率的取值范围是
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（非选择题）
二、 填空题：本大题共4小题，每小题 5分，共20分。
13．设函数，则= 。
14．给出两个函数性质：性质1：是偶函数；
性质2：在上是减函数，在上是增函数；
对于函数①，②，③，
上述两个函数性质都具有的所有函数的序号是 。
15. 若不等式组表示的平面区域为所表示的平面的区域为N，现随机向区域M内抛一粒豆子，则豆子落在区域N内的概率为 。
16．设a，b，c为单位向量，a，b的夹角为600，则（a + b + c）·c的最大值为 ．
三、 解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17. （本小题满分12分）
在等差数列中，，其前项和为，等比数列的各项均为正数，，公比为，且， ．
（Ⅰ）求与；（Ⅱ）设数列满足，求的前项和．

18．（本小题满分12分）
如图所示，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，且
B
A
C
D
E
F
P
G
2PA=AD=2,E、F、G分别是线段PA、PD、CD的中点。
（Ⅰ）求异面直线EF与AG所成角的余弦值；
（Ⅱ）求证：BC∥面EFG；
（Ⅲ）求三棱锥E-AFG的体积。

19．（本小题满分12分）
公安部发布酒后驾驶处罚的新规定（一次性扣罚12分）已于2011年4月1日起正式施行．酒后违法驾驶机动车的行为分成两个档次：“酒后驾车”和“醉酒驾车”，其检测标准是驾驶人员血液中的酒精含量（简称血酒含量，单位是毫克/100毫升），当时，为酒后驾车；当时，为醉酒驾车．某市公安局交通管理部门在某路段的一次拦查行动中，依法检查了200辆机动车驾驶员的血酒含量（如下表）．
血酒含量
（0，20）
[20,40）
[40，60）
[60，80）
[80，100）
[100，120]
人数
194
1
2
1
1
1

依据上述材料回答下列问题：
（Ⅰ）分别写出酒后违法驾车发生的频率和酒后违法驾车中醉酒驾车的频率；
（Ⅱ）从酒后违法驾车的司机中，抽取2人，请一一列举出所有的抽取结果，并求取到的2人中含有醉酒驾车的概率． （酒后驾车的人用大写字母如表示，醉酒驾车的人用小写字母如表示）

20．（本小题满分12分）
已知圆C1的方程为，定直线l的方程为．动圆C与圆C1外切，且与直线l相切．
（Ⅰ）求动圆圆心C的轨迹M的方程；
（II）直线与轨迹M相切于第一象限的点P，过点P作直线的垂线恰好经过
点A（0，6），并交轨迹M于异于点P的点Q，记为POQ（O为坐标原点）的面积，求的值．

21．（本小题满分12分）
已知函数， ．
（Ⅰ）如果函数在上是单调函数，求的取值范围；
（Ⅱ）是否存在正实数，使得函数在区间内有两个不同的零点？若存在，请求出的取值范围；若不存在，请说明理由．

请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。
F

B
A
C
D

O
E

22. （本小题满分10分）选修4-1 ：几何证明选讲
如图，BA是⊙O的直径，AD是切线，BF、BD是割线，
求证：BE•BF=BC•B D．

23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系和参数方程
已知圆，直线l:
（Ⅰ）求圆C的普通方程。若以原点为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，写出圆C的极坐标方程。
（II）判断直线l与圆C的位置关系，并说明理由；若相交，请求出弦长。

24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
（Ⅰ）已知都是正实数，求证：；
（II）已知a,b,c,且a+b+c=1, 求证：a2+b2+c2≥．

参考答案

题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
C
D
B
D
C
B
B
A
A
A
B
B
一、选择题：
二、 填空题：
13. 14． ② 15． 16．
三、 解答题：17．解：（Ⅰ）设的公差为，
因为所以，即---2分
或（舍），．---4分
故 ，． ----------6分
（Ⅱ）=，------8分
． ---10分
．-12分
18. （Ⅰ）解：因为E,F分别是PA,PD的中点，所以EF∥AD,
于是，∠DAG是EF与AG所成的角．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分

EF与AG所成角的余弦值是．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分
（Ⅱ）因为BC∥AD,AD∥EF,所以BC∥EF．．．．．．．．．．6分
∥平面EFG．．．．．．．．．．．．8分
（Ⅲ）VE-AFG=VG-AEF=．．．．．．．．．．．．．．．12分
19．（Ⅰ）解：由表可知，酒后违法驾车的人数为6人，………………………1分
则违法驾车发生的频率为：或;………………………3分
酒后违法驾车中有2人是醉酒驾车，则酒后违法驾车中醉酒驾车的频率为．…………………5分
（Ⅱ）设酒后驾车的4人分别为A、B、C、D；醉酒驾车的2人分别为a、b……………6分
则从违法驾车的6人中，任意抽取2人的结果有：（A，B），（A，C），（A ，D），（A，a），
（A，b），（B，C），（B，D），（B，a），（B，b），（C，D），（C，a），（C，b），（D，a），（D，b），
（a，b）共有15个． …………………8分
设取到的2人中含有醉酒驾车为事件E，…………………9分
则事件E含有9个结果：（A，a），（A，b），
（B，a），（B，b） ，（C，a），（C，b），（D，a），（D，b），（a，b）． …………………11分
A
∴ …………………12分
20解:（Ⅰ）设动圆圆心C的坐标为，动圆半径为R，
则，且．．．．．．．．．．2分
可得 ．．．．．．．．．．．．．3分
由于圆C1在直线l的上方，所以动圆C的圆心C应该在直线l的上方，所以有，
，整理得，即为动圆圆心C的轨迹M的方程．．．．．5分
（II）如图示，设点P的坐标为，则，．．．．．．．．6分
，所以直线PQ的方程为．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分
又,．点P在第一象限，，--9分
点P坐标为（4,2），直线PQ的方程为．--------------10分
联立得，解得或4，点Q的坐标为．所以---------12分
21．解：（Ⅰ）当时，,符合题意．---------1分
当时，的对称轴方程为，-------2分
由于在上是单调函数，所以，解得或，
综上，a的取值范围是，或． …………………………4分
（Ⅱ），---------5分
因在区间（）内有两个不同的零点,所以，
即方程在区间（）内有两个不同的实根． …………6分
设 ，
………7分
令，因为为正数，解得或（舍）
当时, , 是减函数；
当时, ，是增函数． …………………………8分
为满足题意，只需在（）内有两个不相等的零点, 故
解得 ……………………………12分
22．证法一：连接CE，过B作⊙O的切线BG，则BG∥ADB
A
C
F

D

O
E

∴∠GBC=∠FDB，又∠GBC=∠CEB
∴∠CEB=∠FDB-----------5分
又∠CBE是△BCE和△BDF的公共角
∴△BCE∽△BDF ∴，
即BE•BF=BC•BD…………10分
证法二：连接AC、AE，∵AB是直径，AC是切线
∴AB⊥AD，AC⊥BD，∠CEB=∠CAB
∵在中，∠CAB=,在中，∠D=
∠CAB=∠D, ∠CEB=∠D----------------5分
C,E,F,D四点共圆∴BE•BF=BC•BD…………10分
证法三：连接AC、AE，∵AB是直径，AC是切线
∴AB⊥AD，AC⊥BD，AE⊥BF--------3分
由射线定理有AB2=BC•BD，AB2=BE•BF-------9分
∴BE•BF=BC•BD…………10分
23．（Ⅰ）---------2分
---------------5分
（II）解法一：由于直线l过圆心，-----------6分
所以直线与圆相交-----------------------------8分
弦长为4-------------------------------------------10分
解法二：-----------6分
圆心到直线的距离，所以直线与圆相交-------------8分
由于直线l过圆心，所以弦长为4-------------------------------------------10分
24．解：（Ⅰ）证明：∵
，
又∵，∴，∴，
∴．…………………５分
（II）证明：由a+b+c=1, 得1=（a+b+c）2= a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac≤3（a2+b2+c2）
∴a2+b2+c2≥．（当且仅当a=b=c时取等号） …………………10分

9
用心 爱心 专心