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1：证明：:实数域R上全体n阶方阵的集合Mn(R)，关于矩阵的加法构成一个交换群。
证：（1）显然，Mn(R)为一个具有“+”的代数系统。
（2）∵矩阵的加法满足结合律，那么有结合律成立。
（3）∵矩阵的加法满足交换律，那么有交换律成立。
（4）零元是零矩阵。A∈Mn(R),A+0=0+A=A。
（5）A∈Mn(R),负元是-A。A+(-A)=(-A)+A=0。
∴（Mn(R),+）构成一个Abel群。
2：证明：实数域R上全体n阶可逆方阵的集合GLn(R)关于矩阵的乘法构成群。这个群称为n阶一般线形群。
证明：显然GLn(R)是个非空集合。
对于任何的A,B∈GLn(R)，令C=AB, 则C=|AB|=|A||B|≠0,所以C∈GLn(R)。
⑴因为举证乘法有结合律，所以结合律成立。
⑵对任意A∈GLn(R)，AE=EA，所以E是单位元。
⑶任意的A∈GLn(R)，由于∣A∣≠0,∴的逆矩阵，满足且∴A的逆元是 .所以，GLn(R)关于矩阵的乘法构成群。
3：证明:实数域R上全体n阶正交矩阵的集合On(R)关于矩阵的乘法构成群.这个群称为n阶正交群.
证：（1）由于E∈On (R),∵On (R)非空。
(2 ) 任意A,B∈On (R)，有（AB）T=BTAT=B-1A-1=(AB) -1,
∴AB∈On(R),于是矩阵的乘法在On(R)上构成代数运算。
(3) ∵矩阵的乘法满足结合律，那么有结合律成立。
（4）对任意A∈On (R)，有AE=EA=A．
∴E为On (R)的单位元。
（5）对任意A∈On (R)，存在AT∈On (R)，
满足AAT=E=AA-1, ATA=E=A-1A．
∴AT为A在On (R)中的逆元。
∴On (R)关于矩阵的乘法构成一个群。
4：证明：所有行列式等于1的n阶整数矩阵组成的集合SLn(Z),关于矩阵的乘法构成群。
证明：∵En∈SLn(Z)，∴SLn(Z)是个非空集合。
对任意A,B∈ SLn(Z),记C=AB,则C是整数矩阵，且C=∣AB∣=∣A∣∣B∣=1,∴C∈SLn(R)，即SLn(R)关于矩阵的乘法封闭。
（1） ∵矩阵乘法有结合律，∴结合律成立。
（2） 对任意的A∈SLn(Z)，AE=EA=A,且E∈SLn9Z),∴A的单位元是单位矩阵E。
（3） 对任意的A∈ SLn(Z),因为A∈Mn(Z),故∈Mn(Z),又且
,所以∈SLn(Z),又,故的逆元为 。所以 ，SLn（Z）关于矩阵乘法构成群。
5:在整数集中,规定运算“∈”如下：a⊕b=a+b-2, a,b∈Z.证明：（Z, ⊕）构成群。
证 （1）对于任意a，b⊕Z有 a⊕b=a+b-2∈Z，
于是“⊕”在Z上构成代数运算。
（2）对于任意a，b∈Z有，（a⊕b）⊕c=a+b+c-4．
a⊕(b⊕c)=a⊕(b+c-2)=a+b+c-4，
∴(a⊕b) ⊕c=a⊕(b⊕c)于是结合律成立．
（3）对于任意的a，b∈Z ， a⊕b=a+b-2=b+a-2=b⊕a，
那么“⊕”在Z上有交换律。
（4）对于任意的a∈Z， 有2⊕a=2+a-2=a， ∴2为单位元．
（5）对于任意的a∈Z， 有4-a∈Z．
(4-a) ⊕a=4-a+a-2=2， ∴4-a为a的逆元。
∴（Z, ⊕）构成群。
6：分别写出下列各群的乘法表。
（1）例6中的群；

1
-1
i
-i
1
1
-1
i
-i
-1
-1
1
-i
i
i
I
-i
-1
1
-i
-i
i
1
-1
(3)群Z7*；

1
2
3
4
5
6
1
1
2
3
4
5
6
2
2
4
6
1
3
5
3
3
6
2
5
1
4
4
4
1
5
2
6
3
5
5
3
1
6
4
2
6
6
5
4
3
2
1
(4)群U(18).

1
5
7
11
13
17
1
1
5
7
11
13
17
5
5
7
17
1
11
13
7
7
17
13
5
1
11
11
11
1
5
13
17
7
13
13
11
1
17
7
5
17
17
13
11
7
5
1

7：设G=证明：G关于矩阵的乘法构成群。
证：记=aI，I=。
（1） G非空，∈G。
（2）aI,bI∈G，则a,b∈R,a,b0，∴2ab0,aIbI=2abI∈G。
（3）a,b,c∈R,且a,b,c0,有（aIbI）cI=2abIcI=4abcI=aI2bcI=aI(bIcI),结合律成立。
（4）单位元为I∈G. a∈R,a0,aI(I)= IaI=aI。
（5）aI∈G，则I∈G。aI(I)=(I)aI=I。
∴（G，•）为群。
8：证明：所有形如的有理数（m，nZ）的集合关于数的乘法构成群。
证明：记G={| m，nZ}
（1） G是一个非空集合；
（2） G，有=G，
是G上的一个代数运算；
（3） 结合律，交换律均成立（数的乘法满足结合律和交换律）；
（4） 1是单位元。
1=G，且1=；
（5）G，有G，且=1；
G关于数的乘法构成群。
9：证明：所有形如的3*3实矩阵关于矩阵的乘法构成一个群。这个群以诺贝尔物理学奖获得者海森伯（Heisenberg）的名字命名，称为海森伯群（Heisenberg group）。
证：（1）显然非空。
（2）保持代数运算：。
（3）结合律：
（4）单位元为，==。
（5）∈G，∈G，使=
=。
∴G构成群。
10：设G是群，a1,a2,…,ar∈G。证明（a1a2…ar）= ar-1ar-1-1…a1-1.
证：∵G为群，ai∈G,i=1,2,…r.则a1a2…ar ∈G, ar-1ar-1-1…a1-1∈G.
∴（ar-1ar-1-1…a1-1）（a1a2…ar）=（ar-1…a2）(a1-1a1）(a2…ar）=（ar-1…a2）(a2…ar)=...= ar-1 ar=e.
又（a1a2…ar）（ar-1ar-1-1…a1-1）=（a1a2…）(arar-1）(ar-1-1…a1-1）=（a1…ar-1）（ar-1-1…a1-1）=…= a1 a1-1=e.
由逆元的惟一性知：（a1a2…ar）-1= ar-1ar-1-1…a1-1。
11：设G是群，a，bG，证明：如果=，则=。
证明：=== = =。
或=====。
12.设G是群。证明：如果对任意的x∈G,都有x2=e，则G是一个交换群。
证明：对任意a,b属于G,∵∴。故，所以群G是交换群。
13：设G是群。证明：G是交换群的充分必要条件是对任意的a,b∈G,(ab)2=a2b2.
证：“=>”∵G是交换群。∴对于任意的a，b∈G，有ab=ba
那么 (ab)2=(ab)(ab)=a(ab)b=a2b2
“<=”令G为群假设对于任意的a，b ∈G， “（ab）2=a2b2，
即abab=aabb．
=> ba=ab， (消去律)
∴G为交换群。
14:设G是一个具有乘法运算的非空有限集合。证明：如果G满足结合律，有左单位元，且右消去律成立，则G是一个群.
证 ∵G是具有乘法运算的非空有限集合，
设G= {a１,a2```,an}，
对于任意的a∈G， Ga={a1a,a2a,```ana}=G．
且G满足结合律，有左单位元．
∴存在aia=e ∈G，
即ai为a的左逆元．
于是G是一个群。
15.证明：一个具有乘法运算的非空集合G，如果满足结合律，有右单位元（即有G，使对任意的G，有=），且G中的每个元素有右逆元（即对每个G，有G，使=），则G构成群。
证明：（必要性）由群的定义，这是显然的。
（充分性）只需证：是G的单位元，是的逆元即可。
设G，由条件知，存在G，使
=。
同时又存在G，使
=。
于是
======，
且
====。
联系题设条件知，是G的单位元，是的逆元。
G为群。
16:设G是有限群。证明：G中使x3=e的元素x的个数是奇数.
证：∵G是有限群， A= {x∈G| x3=e }．
∵e∈G 且e3=e ， ∴e∈A．
又 对于任意的x∈A , x≠e,存在x-1∈A，
满足（x-1）3=（x2）3=x6=（x3）2=e2=e。
∴A中的元素个数是奇数。
17：设p,q是不同的素数。假设H是整数集的真子集，且H关于加法是群，H恰好包含集合{p,p+q,pq,pq,qp}中的三个元素。试确定以下各组元中哪一组是H中的这三个元素？
（A）pq,pq,qp; (B) p,p+q,pq: (C) p,pq,pq: (D) p+q,pq,pq: (E) p,pq,qp.
解：（C）。（（A）(pq,qp)=1,p(mpq+nqp)=p∈H,矛盾。（B）(p,p+q)=1,q∈H,矛盾。（C）全为p的倍数，不能生成q的倍数，故也没有p+q。（D）q(p+q)-pq=q2∈H,( pq,q2)=1,=>p,q∈H,矛盾。（E）(pq,qp)=1, mpq+nqp=1,(p+q)( mpq+nqp )=p+q∈H,矛盾。）
18：假设下表是一个群的乘法表，试填出未列出的元。

e
a
b
c
d
e
e
a
b
c
d
a
a
b
c
d
e
b
b
c
d
e
a
c
c
d
e
a
b
d
d
e
a
b
c