波动方程的应用：海洋中的声传播 理论.doc

波动方程的应用：海洋中的声传播理论
潘宇航 14010006025
杨诚诚 14010006035

波动方程或称波方程(wave equations）由麦克斯韦方程组导出的、描述电磁场波动特征的一组微分方程，是一种重要的偏微分方程，主要描述自然界中的各种的波动现象，包括横波和纵波，例如声波、光波和水波。波动方程抽象自声学，电磁学，和流体力学等领域。
本篇论文将从声传播理论出发来了解波动方程在海洋科学中的应用。
首先利用一幅图来介绍声场常用分析方法。

波动理论（简正波方法）是研究声信号的振幅和相位在声场中的变化，它适用低频，数学上复杂、物理意义不直观的声场分析方法。在封闭空间或半关闭空间，反射波的互相干涉要形成一系列的固有振动，称之为简正波。简正方式理论是引用量子力学中本征值的概念并加以发展而形成的。
本篇论文将从介绍波动方程和两种基础生场中的简正波两部分来讨论。
１波动方程
１．１在理想海水介质中，小振幅波的运动方程、连续性方程和状态方程：

１．２引入新变量：

１．３考虑简谐波，则有：

备注：φ不是声场势函数，K不是波数，且均为三维空间函数。

１．４在海水中，与声速相比密度变化很小，将其视为常数，则有：　　

＊如果介质有外力作用，例如有声源情况，则有：

1.5定解条件
定解条件就是满足物理问题的具体条件
1.5.1边界条件
边界条件是物理量在介质边界上必须满足的条件
1.5.1.1绝对软边界条件
假定声压为零为绝对软边界条件，可设
界面方程：
界面声压：
此时此条件为第一类齐次边界条件
如果已知边界面上的压力分布，则有：
此条件为第一类非齐次边界条件
1.5.1.2绝对硬边界条件
假定法向质点振速为零为绝对硬边界条件
此时界面方程：
界面声压：
此为第二类齐次边界条件
如果已知边界面上的质点振速分布，则有：
此为第二类非齐次边界条件
1.5.1.3混合边界条件
此时条件为压力和振速线性组合
形式如此式：
若a为常数，则为第三类边界条件
若，则为阻抗边界条件：
1.5.1.4边界上密度或声速有限间断
边界上压力和法向质点振速连续，可表示如下式:

若压力不连续，质量加速度趋于无穷；若法向振速不连续，边界上介质“真空”或“聚集”。
1.5.2辐射条件
无穷远处没有声源存在时，其声场应具有扩散波的性质。
1.5.2.1平面波情况

1.5.2.2柱面波情况

1.5.2.3球面波情况

*这种条件也称之为索末菲尔德（Sommerfeld）条件。
1.5.3奇性条件
对于声源辐射的球面波，在声源处存在奇异点，即 不满足波动方程；如果引入狄拉克函数，它满足非齐次波动方程
根据狄拉克函数的定义，

下列将证明非齐次波动方程正确性
证：
简谐球面波有：
体积积分后为：
利用高斯定理：

证明左端＝右端，证毕。
1.5.4初始条件
当求远离初始时刻的稳态解，可不考虑初始条件。
2. 波动声学
2.1、硬底均匀浅海声场
硬底均匀浅海声场的波导模型为上层为均匀水层，下层为硬质均匀海底，海面和海底均平整。

2.1.1简正波
由于问题圆柱对称性，则水层中声场满足波动方程：

在圆柱对称情况下，根据狄拉克函数定义可求得：

常数A与声源强度有关，不失一般性取A=1，则有：
常数A与声源强度有关，不失一般性取A=1，则有：
常数A与声源强度有关，不失一般性取A=1，则有：

令 ，由分离变量法可求得本征函数通解：

根据边界条件：
• 自由海面：
• 硬质海底：

根据正交归一化条件：

同理可得 的解（零阶贝塞尔方程）：

此时声场中声压为：

在远场，根据汉克尔函数近似表达式：

n阶简正波表达式：

*每阶简正波沿深度z方向作驻波分布、沿水平r方向传播的波；不同阶数的简正波其驻波的分布形式不同。
2.1.2.截止频率

2.1.2.1简正波阶数最大值：

当简正波数n>N时，水平波数变为虚数，简正波振幅随r作指数衰减。在远场，声场可表示成有限项：

2.1.2.2临界频率：
临界频率是最高阶简正波传播频率

声源激发频率时，波导中不存在第N阶及以上各阶简正波的传播。
2.1.2.3截止频率：
截止频率是简正波在波导中无衰减传播的最低临界频率

声源激发频率时，所有各阶简正波均随距离按指数衰减，远场声压接近为零。
2.1.3相速度和群速度
相速：等相位面的传播速度（振动状态在介质中的传播速度）

群速：声波能量的传播速度

简正波的群速小于相速。

相速：虚斜线沿r方向传播速度
群速：波形包络传播速度
2.1.4传播损失
2.1.4.1传播损失
假设单位距离处声压振幅为1，则远处传播损失为：

当 和 均为实数时，可得：

当声传播条件充分不均匀，简正波之间相位无关：

对于硬质海底的浅海声场的传播损失：

假设声源和接收器适当远离海面和海底：
在0和1之间随机取值
0和1之间随机取值
在0和1之间随机取值

如果波导中简正波个数较多：

深度取平均后，传播损失为：
此时声能被限制在层内，随距离r作柱面波衰减。
2.1.4.2声波掠射角和声源位置
2.1.4.2.1 掠射角
掠射角变化在传播损失中：
此时分为两种情况，分别为硬质海底与非绝对硬质海底
1）硬质海底：
2）非绝对硬质海底：

带入了掠射角变化在传播损失，可以得出非绝对硬质海底传播损失大于硬质海底的TL值。
2.1.4.2.2声源位置
声源位于海面附近，TL变大；声源位于海底附近，TL变小。
2.2 液态海底均匀浅海声场

波导模型（Pekeris模型——分层介质模型）：液态海底没有切变波，其声速通常大于海水声速，但对于高饱和海底沉积层会出现相反情况。

2.2.1液态海底均匀浅海声场的简正波
同硬质海底情况一样，可以求得液态海底均匀浅海声场底简正波为：

在液态下半空间中，振幅沿深度按指数规律衰减，频率越高，振幅衰减越快。高频声波在界面发生全反射时，能量几乎全被反射会水层中，波的能量几乎被限制在层内传播。
2.2.2截止频率
简正波临界频率和截止频率：

2.2.3传播损失
此时掠射角为：
传播损失为：
3波动理论在声学研究中利弊：
优点：易于加入源函数，给出完整的解析
缺点：很难解释简正波物理意义；在实际运算中不易处理实际边界条件，计算繁琐，实际应用中更适合适用于低频。