常微分方程丁同仁李承志第二版第一章答案.doc

习 题 1-1
1.验证下列函数是右侧相应微分方程的解或通解:
（１）
证明： 则=∴
（２）　．
证明：∵　则　

（３）　．
证明：∵　则　
∴
（４）
证明： （1）当时，y=,==.
其他情况类似.
２．求下列初值问题的解：
（１）　　　．
解：∵　∴　∵，∴，
∴　∵　∴，　
∴，∵
满足初值问题的解为：．
（２）　　（这里是一个已知的连续函数）
　　解：∵　即　　∴　,
∴　∵,　∴　　
　∴　满足初值问题的解为：.
（３）　　
　　解：①　若　则
　　　　　　∵，　两边积分得：　∵　∴
　∴满足初值问题的解为：
（４），　　，
　　解：∵，　∴，两边积分得：.
∵，　∴.
∴满足初值问题的解为：.　
３．假设
（１） 函数是微分方程的通解，其中
是独立的任意常数，
（２） 存在一组常数和空间中的点
（３） 满足

试证明：存在点的某一邻域 ，使得对任意一点,
可确定一组数，使得
是初值问题
　的解．
证明：因为是微分方程的通解，
所以初值问题

的解应具有形式，其中应满足：
，（*）
如何确定呢？
由条件（２）及隐函数定理知，存在点 的某一邻域U，使得对任意一点可确定一组数 ，使得
（*）成立．得证．
4. 求出：
（１） 曲线族所满足的微分方程；
解：，　，　，
　　则有：.
（２） 曲线族所满足的微分方程；
解：由,
　　联立消去得：.
(3) 平面上以原点为中心的一切圆所满足的微分方程；
解：平面上以原点为中心的圆的方程为
　　将视为的函数，对求导得：
　　平面上以原点为中心的一切圆所满足的微分方程为　．
(4) 平面上一切圆所满足的微分方程．
解：平面上圆的方程为：
　　将视为的函数，对求导得：
　　联立消去得，．
习 题 1-2

１． 作出如下方程的线素场：
　（１）

（２）

（３）

2. 利用线素场研究下列微分方程的积分曲线族：
　（１）