二次函数与一元二次方程(教学设计).doc

二次函数与一元二次方程(教学设计)

江阴市祝塘中学 过家福
一、 教材内容分析：
本节是安排在学生已学了三个基本初等函数(指数函数、对数函数、幂函数)之后所学的内容,是函数知识的应用之一,其意图是使学生进一步体会函数知识在解决实际问题的重要性；会利用函数知识分析问题、解决问题；认识函数与方程是研究事物变化的重要工具,体会函数与方程的有机联系,也为二分法求方程的近似解提供理论依据,起链接和应用作用。
二、 教学目标分析：
依据知识与技能、过程与方法，情感态度与价值观三类目标，本节教学目标确定如下：
1． 知识与技能目标
使学生学会结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，了解函数零点与方程根之间的关系，初步形成用函数的观点处理问题的意识。
2． 过程与方法
①从具体的一元二次方程的根与对应二次函数的图象与x轴交点横坐标之间的关系到一般的求方程的根与零点的求法，揭示方程根与对应函数的零点间关系。
②从问题出发，多角度探索解决问题的方法，并从中提炼出一元二次方程根的特点与对应二次函数图象特征之间的关系。
3． 情感态度与价值观
体会函数与方程的相互转化，数与形结合的数学思想方法。
三、 教学过程：
㈠、问题情景：
（特殊问题）
提问设计：①下列方程与函数在形式上有何联系？

（方程左边式子就是函数的表达式）
②方程的根就是函数的什么值？
（是使y=0时的x的值，是函数图象与x轴交点的横坐标）
㈡、数学构建：
（过渡语）
（1） 由于有这样的联系、特点，我们把这个方程的根称为这个函数的零点。
（2） 推广：一般地，将一元二次方程的实数
根称为函数的零点。
因此有： 一元二次方程 二次函数

实数根 使y=0时的x值；
图象与x轴交点的横坐标；
零点；
（数） （形）
（3）再推广：更一般地，方程的实数根又叫做函数 的
零点。
㈢、数学运用：
1．互动巩固：
①函数的零点是____________；
②函数的零点是____________；
③函数的零点是____________； （④题图）
④函数的图象如右，则它的零点是____________；
⑤零点为-3和1的二次函数为____________；
⑥函数的零点为2和-4，则b=______；c=______；⑦函数的零点如何？
△=b2-4ac
△>0
△=0
△<0

方程无实根

零点个数
2个
1个
无

这就是方程的根与函数的图象和零点之间的关系。

※小结：①零点是个“数” ； ②数形结合（方程的根对应的是数，而函数我
们更多的是关注图象，以上实际上是研究了数与形的关系，体现了数形结合）

2．举例：
例1．求证：一元二次方程2x2+3x-7=0有两个不相等的实根。
证明：∵△=32-4×2×（-7）=65>0
∴方程2x2+3x-7=0有两个不相等的实根。

提问设计：有无其他证法?
①既然方程与对应函数有联系，能否考察对应函数？
②方程有两个不相等的实数根对应函数有两个零点函数图象与x轴有两个交点。
③图象具备什么特征，才能保证与x轴有两个交点？
④由于开口向上，只要图象上存在一点在x轴下方就可以了。
⑤问题就化归为：说明开口向上,且找到x轴下方的一点。
（顶点可以，但没有x=0时方便）

证法二：设函数,
∵a=2>0, ∴函数图象是一条开口向上的抛物线,
又∵<0, ∴函数的图象与x轴有两个不同的交点,即方程2x2+3x-7=0有两个不相等的实数根。

※小结：①证法一、证法二的过程体现的是两个不同的角度（数—形）；
②证法二：构造函数，说明图象具备什么特征，得出结论；
③证法二是说明有两根且x1<m<x2；
提问设计：①你能进一步估计x1,x2的范围吗？
②从证法二中能否得到一点启发?
③从图上发现根附近有,但也有n,使,如,很显然,有一个根在0与2之间。
④为什么？因为函数的图象是连续的，从点（0，-7）变化到（2，7），必与x轴相交，即有根x0且0<x0<2。
⑤你能得出更一般的结果吗？
⑥一个新的发现：若二次函数对于实数m,n，m<n,有,则存在x0∈(m,n), 。

例2．已知关于x的方程x2+x+4-2m=0的两实数根α，β满足α<1<β,求m的取值范围。

例3．若关于x的一元二次方程x2-2x+a+1=0的两个实根α，β满足
0〈α<1<β〈2，求实数a的取值范围。

㈣、回顾总结：
1、 互动讨论：本节课所学的内容，新的发现和获得的感悟！
2、 总结：
①一元二次方程的实数根二次函数的零点
②数形结合（构造函数，从研究形的特征，解决数的问题）
③根的分布（根的估计）
f(m)<0 （f(m)>0）……
f(m)·f(n)<0 ……
拓展延伸：通过进一步研究，完善，请你尝试就此问题写一篇小论文。
④f(m)·f(n)<0 f（x）=0在（m,n）内有根x0 x0≈…，
如例2中，f(0)·f(2)<0 …… x0≈…（“1”左右或大约“1”）

㈤、作业：
1、阅读课本2.5.1节,回顾复习本节课所学内容；
2、课本P76 1-4；
3、若关于x的一元二次方程3ax2+(9-7a)x+12=0的两个实根α，β，满足0<α<1<β<2,求实数a的取值范围。

四、设计思想
根据本节内容，采用问题启迪，互动交流的方法来引导学生探索研究，归纳总结，形成认知结构，培养思维能力。为此，我以简短的具体问题导入对每一环节都针对性地设计一些问题，并注意设问的技巧，以便促进学生对概念的理解和学习能力的提高，同时在设计过程中加强归纳总结，拓展推广，体现从特殊到一般的哲学思想是研究问题的常规方法之一，不断地引导学生发现新问题，提出新问题，激发学生的学习兴趣和求知欲。
本课亮点规划：①紧扣数与形两个条线；②分析提问设计，注重设问技巧，启迪思维，流畅过渡；③互动巩固，注意题型；④及时小结，注重升华；⑤回顾总结，注意拓展延伸和上下链接。

五、素材链接
① 新课程标准
②《怎样解题》
③《合情合理的推论》

4