高三数学含参数不等式恒成立问题.doc

含参数的不等式恒成立问题
在近些年的数学高考题及高考模拟题中经常出现含参数不等式恒成立问题，题目一般综合性强，可考查函数、不等式及导数等诸多方面的知识，同时兼顾考查转化化归思想、数形结合思想，是高考热点题型之一。下面结合例题浅谈恒成立问题的常见解法。
1 转换主元法
首先确定题目中的主元，化归成初等函数求解。此方法常适用于化为一次函数。
对于一次函数有：

例1：若不等式 2x－1>m(x2-1)对满足－2m2的所有m都成立，求x的取值范围。
分析：注意题目条件给出信息，“对满足－2m2的所有m都成立”确定主元为m。构造出关于m的一次函数
解：原不等式化为 (x2－1)m－(2x－1)<0
记f(m)= (x2－1)m－(2x－1) (－2m2)
根据题意有：
即：
解之：得x的取值范围为
例2：安徽08文科（20）．设函数为实数。
（Ⅰ）已知函数在处取得极值，求的值；
（Ⅱ）已知不等式对任意都成立，求实数的取值范围。
本题第二问可以采用这种方法
分析：注意题目条件给出信息，“对任意都成立”确定主元为a。构造出关于a的一次函数
(2) 由题设知：对任意都成立
即对任意都成立
设 , 则对任意，为单调递增函数
所以对任意，恒成立的充分必要条件是
即 ， 于是的取值范围是
2 化归二次函数法
根据题目要求，构造二次函数。结合二次函数实根分布等相关知识，求出参数取值范围。
对于一元二次函数有：
（1）上恒成立；
（2）上恒成立
例3：在R上定义运算：xy＝(1－y) 若不等式(x－a)(x＋a)<1对任意实数x成立，则 ( )
(A)－1<a<1 (B)0<a<2 (C) (D)
分析：根据条件得出二次不等式对任意恒成立，可借助二次方程的的符号求解
解：由题意可知 (x-a)[1-(x+a)] <1对任意x成立
即x2-x-a2+a+1>0对xR恒成立
记f(x)=x2-x-a2+a+1
则应满足
化简得 4a2-4a-3<0
解得 ,故选择C。
例4：已知向量=(x2,x+1), =(1-x,t) 若函数f(x)＝·在区间(－1，1)上是增函数，求t的取值范围。
解：依题意，
f(x)＝x2(1-x)+(x+1)t=-x3+x2+tx+t
则f＇(x)=-3x2+2x+t
∵f(x)在(－1，1)上是增函数，则在(－1，1)上有f＇(x)0
即-3x2+2x+t0在x(-1，1)上恒成立
设g(x)=3x2-2x
∴tg(-1) 即 t5
例5：若不等式x2-2mx+2m+1>0对满足0x1的所有实数x都成立，求m的取值范围。
分析：根据条件得出二次不等式对某个区间上的x恒成立，可借助二次函数在这个区间上的的最值求解。也可考虑下面第三种方法（分离参数法）
解：设f(x)=x2-2mx+2m+1
本题等价于函数f(x)在0x1上的最小值大于0，求m的取值范围。
(1)当m<0时，f(x)在[0,1]上是增函数，因此f(0)是最小值，
解 得 <m<0
(2)当0m1时，f(x)在x=m时取得最小值
解 得 0m1
(3)当m>1时，f(x)在[0,1] 上是减函数，因此f(1)是最小值
解 得 m>1
综合(1)(2)(3) 得
注：当化归为二次函数后，自变量是实数集的子集时，应用二次函数知识解决有时较繁琐。此型题目有时也可转化为后面的法3求解，可避免较复杂的分类讨论。
3 分离参数法
在题目中较容易分离出参数，化成a>f(x) （a<f(x)）型恒成立问题，再利用a>fmax(x) （a<fmin(x)）（转化为求最值问题），求出参数范围。有时可避免较复杂的分类讨论（如例5）
（1）对任意都成立；
（2）对任意都成立。
简单计作：“大的大于最大的，小的小于最小的”。由此看出，本类问题实质上是一类求函数的最值问题。
例6：（2008江苏卷）设函数，若对于任意
的,都有成立，则实数的值为 ．
解： 若x＝0，则不论取何值，=1≥0显然成立；
当x＞0 即时，≥0可化为:
,设，则，
所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，
因此，从而≥4；
当x＜0 即时，≥0
可化为， ,
在区间上单调递增， 因此，从而≤4.
综上
例7：（2010济宁一摸21）已知函数
（1）当时，求函数的单调区间和极值。
（2）若函数在[1，4]上是减函数，求实数的取值范围。
本题第二问采用这种方法：
解:（2）由得 8分
又函数为[1，4]上的单调减函数。
则在[1，4]上恒成立，所以不等式在[1，4]上恒成立，
即在[1，4]上恒成立。 10分
设，显然在[1，4]上为减函数，所以的最小值为
的取值范围是 12分
K=1
4.数型结合法
例8：如果对任意实数x，不等式恒成立，则实数k的取值范围是
分析：本题目可转化为在同一坐标系中研究y1=,y2=kx的图像的位置关系
解：画出y1=,y2=kx的图像，由图可看出 0k1
例9：已知a>0且a1,当x(-1，1)时，不等式x2-ax<恒成立，则a的取值范围
分析：本题目可转化为在同一坐标系中研究y1= ax,y2= x2-，对 x(-1，1)的图像的位置关系
1
解析：不等式x2-ax<可化为 ax> x2-
画出y1= ax,y2= x2-的图像。由图可看出 a<1或1<a2

此外，我们还有一种解恒成立问题的方法，即求出不等式的解集后再进行处理。如下题的第二问
例10：08全国21．
已知函数，．
（Ⅰ）讨论函数的单调区间；
（Ⅱ）设函数在区间内是减函数，求的取值范围．
解：（I）f '(x)=3x2+2ax+1 判别式△=4(a2-3)
(i)若a>或a<－，则在()上f '(x)>0，f(x)是增函数；
在（）内f '(x)<0, f (x)是减函数；
在（）上f '(x)>0， f(x)是增函数
(ii)若，则对所有x都有f '(x)>0，故此时f(x)在R上是增函数
(iii)若a=±，则f '()=0，且对所有的x≠都有f '(x)>0，故当
a=±时，f(x)在R上是增函数
（II）由（I）知，只有当a>或a<时，
f(x)在（）内是减函数
因此≤ ①
且≥ ②
当|a|>时，由①、②解得a≥2
因此a的取值范围是[2,+)
在解综合性较强的不等式恒成立问题时，有时一题多法。应以题为本，关键抓住恒成立的本质，具体问题具体分析，灵活运用这几种方法，选择最行之有效的方法，而不要拘泥于一种方法。

用心 爱心 专心