第二单元专练篇16：九种几何模型综合训练其三-2024-2025学年五年级数学上册典型例题.pdf

2024-2025 学年五年级数学上册典型例题系列第二单元专练篇16：九种几何模型综合训练其三一、填空题。一、填空题。1下图中每个小方格的面积表示 1 平方米，面积最大的是()（填序号），它的面积是()平方米。【答案】15【分析】将图形采用合并、平移、割补、分割的办法，将不规则的图形转化为规则的图形如正方形、长方形等，然后再利用公式求解，从而使问题得到解决。【详解】如图：将左边的三角形平移到右边，可以化为一个长为 6 米，宽为 2 米的长方形面积为6212（平方米）可分为一个底为 3 米，高为 3 米的平行四边形和一个底为 2 米，高为 3 米的平行四边形，面积为：33239615（平方米）可分为一个底为 4 米，高为 2 米的三角形和一个上底为 4 米，下底为 5 米，高为 2 米的梯形，面积为：422（45）228292241824913（平方米）可分为一个上底为 1 米，下底为 4 米，高为 2 米的梯形；一个长为 3 米，宽为 1 米的长方形和一个底为 1 米，高为 2 米的平行四边形，面积为：（14）223l12522325328210（平方米）10121315面积最大的是，它的面积是 15 平方米。2下图是由两个正方形组成，大正方形边长是 8 厘米，求阴影面积是()平方厘米。【答案】32【分析】连接点 C 和点 D，如图：，AB 平行 CD 可知：AB 和 CD之间的垂直线段的长度都相等，因为三角形 ABC 和三角形 ABD 同底等高，所以它们的面积相等，再根据三角形的面积公式：Sah2，据此求出三角形 ABD的面积，即三角形 ABC 的面积。据此解答即可。【详解】88264232（平方厘米）则阴影面积是 32 平方厘米。3如图所示，已知四边形 ABCD 中，E 为 AD 边的中点，F 为 BC 边的中点，且四边形 EDFB 的面积是 10 平方厘米，则四边形 ABCD 的面积是()平方厘米。【答案】20【分析】连接 B、D 两点，将图形分成 a、b、c、d 四个部分，如图所示：E 为 AD 边的中点，F 为 BC 边的中点，可知：a 与 b 的面积相等，c 与 d 的面积相等。已知四边形 EDFB 的面积（b 与 c 的面积和）是 10 平方厘米，则四边形 ABCD 的面积是四边形 EDFB 的面积的 2 倍。据此解答。【详解】连接 B、D 作辅助线，将图形分成 a、b、c、d 四个部分。因为，E 为 AD 边的中点，F 为 BC 边的中点，所以，a 与 b、c 与 d 两个三角形分别是等底等高，即面积相等。四边形 EDFB 的面积bc10 平方厘米四边形 ABCD 的面积abcd2（bc）10220（平方厘米）所以，四边形 ABCD 的面积是 20 平方厘米。【点睛】解答此题的关键是通过作辅助线，利用线段的中点，将图形分成几个部分，再根据等底等高的三角形面积相等的特征求出部分图形已知面积与整体面积的关系巧求面积。4看图并按要求填空。(1)如图，D、E 分别是 BC、AC 的中点，如果把ADE 的面积当做 1 份，那么CDE 的面积是()份，ACD 的面积是()份，ABD 的面积是()份，ABC 的面积是()份。(2)如图，BDDC，E 是线段 AC 的一个三等分点（AC3AE）。如果把ADE 的面积当做 1 份，那么ACD 的面积是()份，ABC 的面积是()份。(3)如图，AE2DE，BD3DC，如果把CDE 的面积当做 1 份，那么ACE 的面积是()份，ABD 的面积是()份，ABC 的面积是()份【答案】(1)1 2 2 4(2)3 6(3)2 9 12【分析】（1）E 是 AC 中点，即 AEEC，那么ADE 与CDE 等底等高，面积相等；同理 D 是 BC 中点，那么ABD 与ACD 面积相等；（2）因为 AC3AE，说明ADC 的底边是ADE 底边的 3 倍，且两个三角形高相等，那么三角形 ACD 的面积也是三角形 ADE 面积的 3 倍；BDDC，ABD 与ACD 面积相等；（3）因为 AE2DE，所以ACE 的面积是CDE 面积的 2 倍；又因为 BD3DC，所以ABD 的面积是ADC 面积的 3 倍。【详解】（1）D、E 分别是 BC、AC 的中点，则ABD 的面积等于ACD 的面积；ADE 的面积等于CDE 的面积。把ADE 的面积当做 1 份，则CDE 的面积是 1 份；ACD 的面积ADE 的面积CDE 的面积2（份）ABD 的面积ACD 的面积2（份）ABC 的面积ABD 的面积ACD 的面积224（份）因此CDE 的面积是 1 份，ACD 的面积是 2 份，ABD 的面积是 2 份，ABC 的面积是 4 份。（2）BDDC，则ABD 与ACD 面积相等AC3AE，ACD 的面积等于ADE 面积的 3 倍。把ADE 的面积当做 1 份，则ACD 的面积133（份）ABD 的面积ACD 的面积3（份）ABC 的面积ABD 的面积ACD 的面积336（份）因此ACD 的面积是 3 份，ABC 的面积是 6 份。（3）AE2DE，则ACE 的面积等于CDE 面积的 2 倍。把CDE 的面积当做 1 份，则ACE 的面积122（份）ADC 的面积ACE 的面积CDE 的面积213（份）BD3DC，ABD 的面积等于ADC 面积的 3 倍ABD 的面积339（份）ABC 的面积ABD 的面积ADC 面积9312（份）因此ACE 的面积是 2 份，ABD 的面积是 9 份，ABC 的面积是 12 份。5如图，长方形 ABCD 中，AB12，BC15，G 为边 BC 上一点，阴影部分的面积总和是 110，则四边形 EFGH 的面积为()。【答案】20【分析】长方形的长和宽已知，于是可以求出长方形的面积，长方形的面积减去阴影部分的面积，就是空白部分的面积，又因三角形 AGC 的面积与三角形DBG 的面积和等于长方形的面积的一半，因此用三角形 AGC 的面积与三角形DBG 的面积和减去空白部分的面积，就是中间四边形的面积。【详解】12152（1215110）12152（180110）1215270907020四边形 EFGH 的面积为 20。【点睛】解答此题的主要依据是：三角形 AGC 的面积与三角形 DBG 的面积和是与其等底等高的平行四边形面积的一半。6如图 ABCD 是一个平行四边形，CE 的长度是 BE 的 2 倍，F 是 DC 的中点，三角形 ABE 的面积是 9 平方厘米，那么三角形 ADF 的面积是()平方厘米。平行四边形 ABCD 的面积是()平方厘米。【答案】13.5 54【分析】如图，连接 ACCE 的长度是 BE 的两倍，那么 BC 的长度是 BE 的三倍；因为三角形 ABC 和三角形 ABE 的高相等，根据三角形的面积公式：三角形面积底高2 可以推出三角形 ABC 的面积是三角形 ABE 面积的三倍，所以三角形 ABC 的面积是 27 平方厘米；三角形 ADC 与三角形 ABC 面积相等，都等于平行四边形面积的一半，即三角形 ADC 的面积也是 27 平方厘米，平行四边形的面积是 54 平方厘米；又因为 F 是 DC 的中点，可以推出三角形 ACD 的底是三角形 ADF 底边的两倍，且两个三角形高相等，所以三角形 ADF 的面积是三角形 ACD 面积的一半。【详解】ABCADCSS=9327（平方厘米）ADFS27213.5（平方厘米）ABCDS27254（平方厘米）三角形 ADF 的面积是 13.5 平方厘米，平行四边形 ABCD 的面积是 54 平方厘米。7如图，已知四边形 ABCD 中，E、F 分别是 AD、BC 的中点，连接 DF、BE。四边形 ABCD 的面积为 60，1S13，求2S()和3S()。【答案】30 17【分析】连接 BD，从“E、F 分别是 AD、BC 的中点”可得，线段 AE线段ED，线段 BF线段 FC；三角形 ABE 和三角形 BDE 底相等，高也相等，面积也相等，即1S三角形 BDE13；三角形 CDF 和三角形 BDF 底相等，高也相等，面积也相等，即3S三角形 BDF，用四边形 ABCD 的面积减去 2 个1S的面积，再除以 2，即可求出3S的面积；用1S加上3S即求出2S的面积。【详解】根据分析，连接 BD 如下图：1S三角形 BDE13，3S三角形 BDF3S：（60132）2（6026）2342172S：131730【点睛】作出合适的辅助线，将四边形的面积转化成三角形的面积是解本题的关键。8如图是一张三角形 ABC 的硬纸块，D、E 分别为边 AC、BC 上的点，且 AEEC，CD2BD，连接 BE、AD 使得 BE、AD 相交于点 F，已知三角形 BDF的面积为 5cm2，那么这张硬纸块的面积为()cm2。【答案】60【分析】连接 CF，根据底边关系可得：CDF 的面积是BDF 的 2 倍，即 5210cm，BCF 的面积CDF 的面积BDE 的面积51015（cm2），因为 AEEC，得出BCE 的面积BAE 的面积，FCE 的面积FAE 的面积，所以ABF 的面积BCF 的面积15（cm2），因为ABD的面积ABF 的面积BDF 的面积，所以ABD 的面积15520（cm2）由 CD2BD，可得ACD 的面积2ABD 的面积22040（cm2），因为ABC 的面积ACD 的面积ABD 的面积，所以 ABC的面积402060（cm2），据此解答即可。【详解】如图连接 CF，因为 CD2BD，所以CDF 的面积是BDF 的 2 倍，因为BDF 的面积为 5cm2，所以CDF 的面积是 5210cm2，BCF 的面积CDF 的面积BDF 的面积51015（cm2）因为 AEEC，所以BCE 和面积BAE 的面积，FCE 和面积FAE 的面积，所以ABF 的面积BCF 的面积15（cm2）因为ABD 的面积ABF 的面积BDF 的面积，所以ABD 的面积15520（cm2）因为 CD2BD，所以ACD 的面积2ABD 的面积22040（cm2）因为ABC 的面积ACD 的面积ABD 的面积所以ABC 的面积402060（cm2）所以这张硬纸块的面积为 60cm2。【点睛】本题主要考查了三角形的面积与高和底的关系，解题的关键是求出ABD 的面积。9如图，图中 BO2DO，阴影部分的面积是6平方厘米，求梯形 ABCD 的面积是()平方厘米。【答案】27【分析】在等高的三角形中，三角形底边的比等于它们面积的比。在三角形BCD 中，三角形 CDO 与三角形 BCO 等高，因为 BO2DO，所以三角形CDO 的面积等于三角形 BCO 面积的一半；三角形 BCD 与三角形 ACD 同底等高，所以三角形 BCD 与三角形 ACD 的面积相等，即三角形 AOD 的面积等于三角形 BCO 的面积，因为 BO2DO，所以三角形 ABO 的面积是三角形AOD 面积的 2 倍，最后将三角形 BCO、CDO、ADO、ABO 的面积相加即可得到梯形 ABCD 的面积，列式解答即可得到答案。【详解】因为 BO2DO，所以CDO 的面积12BCO 面积；CDO 的面积：623（平方厘米）；BCD 与ACD 等底等高，所以BCD 与ACD 的面积相等，AOD 的面积BCO 的面积；AOD 的面积6 平方厘米；BO2DO，ABO 的面积是AOD 面积的 2 倍；AOB 的面积：6212（平方厘米）；梯形 ABCD 的面积为：63612961227（平方厘米）【点睛】明确在等高的三角形中，三角形的底边的比等于它们的面积比是解答本题的关键，然后再根据阴影部分的面积进行计算。10如图，在长方形 ABCD 中，三角形 ABP 的面积是 30 平方厘米，三角形CDQ 的面积为 45 平方厘米，则阴影部分的面积是()。【答案】75 平方厘米【详解】试题分析：由题意可知：三角形 AFD 的面积和三角形 EBC 的面积都等于长方形 ABCD 的面积的一半，且三角形 ABF 与三角形 DCF 的面积和也等于长方形 ABCD 的面积的一半，所以三角形 EBC 的面积就等于三角形 ABF 与三角形 DCF 的面积和，分别去掉公共部分三角形 PBF 和三角形 QFC，则剩余的部分的面积仍然相等，即三角形 APB 与三角形 CDQ 的面积和就等于阴影部分的面积，于是问题得解解：30+45=75（平方厘米）；答：阴影部分的面积是 75 平方厘米故答案为 75 平方厘米点评：解答此题的关键是推导出：三角形 APB 与三角形 CDQ 的面积和就等于阴影部分的面积二、解答题。二、解答题。11在下图所示的长方形 ABCD 中，AB5 厘米，BC4 厘米，三角形 ADE比三角形 CEF 的面积大 5 平方厘米，求 CF 的长。【答案】2 厘米【分析】由图可知，长方形 ABCD 的面积三角形 ADE 的面积梯形 ABCE的面积，三角形 FAB 的面积三角形 CEF 的面积梯形 ABCE 的面积，因为三角形 ADE 比三角形 CEF 的面积大 5 平方厘米，因此长方形 ABCD 的面积比三角形 FAB 的面积大 5 平方厘米；先根据长方形的面积长宽，计算出长方形的面积，再减 5，求出三角形 FAB 的面积，再根据三角形的高面积2底，求出 BF 的长，最后用 BF 的长减去 BC 的长，即可求出 CF 的长，据此解答。【详解】长方形的面积：5420（平方厘米）三角形 FAB 的面积：20515（平方厘米）BF 的长：15256（厘米）CF 的长：642（厘米）答：CF 的长度是 2 厘米。12如图，三角形 ABC，D 是 BC 的中点，E，F 是 AC 的三等分点。已知三角形 ABF 的面积是 108 平方分米，那么三角形 CDE 的面积是多少平方分米？【答案】54 平方分米【分析】E，F 是 AC 的三等分点，所以 AFEFEC。因为 EFEC FC，所以 2AFFC。三角形 BCF 和三角形 ABF 的高相等，且 2AFFC，所以三角形 BCF 的面积是三角形 ABF 的 2 倍，三角形 ABF 的面积是 108 平方分米，用乘法计算，求出三角形 BCF 的面积；D 是 BC 的中点，所以三角形 FDC的面积是三角形 BCF 的面积的一半，用除法计算，求出三角形 FDC 的面积；又因为 EFEC，所以三角形 CDE 的面积是三角形 FDC 的面积的一半，用除法计算，求出三角形 CDE 的面积，据此解答。【详解】1082216（平方分米）2162108（平方分米）108254（平方分米）答：三角形 CDE 的面积是 54 平方分米。13如图，把三角形 ABC 的 BA 边延长一倍到 D 点，CB 边延长两倍到 F 点，AC 边延长三倍到 E 点，连接 DE，EF，FD 得到三角形 DEF，三角形 ABC 的面积是 1 平方厘米，那么三角形 DEF 的面积是多少平方厘米？【答案】18 平方厘米【分析】连接 AF，因为 BF2BC，所以三角形 AFB 的面积是三角形 ABC 面积的 2 倍，因为 ABAD，所以三角形 AFD 的面积和三角形 AFB 的面积相等，也是三角形 ABC 面积的 2 倍。连接 BE，因为 CE3AC，所以三角形 EBC 的面积是三角形 ABC 面积的 3倍，因为 BF2BC，所以三角形 BEF 的面积是三角形 BEC 面积的 2 倍，2 36=也就是三角形 ABC 面积的 6 倍。连接 DC，因为 ABAD，所以三角形 DCA 的面积等于三角形 ABC 的面积，因为 CE3AC，所以三角形 DCE 的面积是三角形 DCA 面积的 3 倍，也就是三角形 ABC 面积的 3 倍。求出以上三角形与三角形 ABC 面积的关系，最后把三角形 AFB、三角形AFD、三角形 EBC、三角形 BEF、三角形 DCA、三角形 DCE、三角形 ABC 的面积加起来，就得到三角形 DEF 的面积。据此解答。【详解】12236 1 3 1+1 18=18=（平方厘米）答：三角形 DEF 的面积是 18 平方厘米。【点睛】弄清两个三角形底和高的关系，从而去判断它们面积的关系。14如图，正方形 ABCD 的面积是 100 平方厘米，三角形 ABE 的面积是 36 平方厘米。阴影部分的面积是多少平方厘米？【答案】14 平方厘米【分析】如图，连接 AC，三角形 ACF 和三角形 BCF 等底等高，面积相等，因此三角形ACE的面积三角形BEF的面积，三角形AEB三角形ACE三角形 ABC三角形 AEB三角形 BEF三角形 ABF正方形面积的一半，正方形面积ABCD的面积2三角形ABF的面积，三角形ABF的面积三角形ABE的面积阴影部分的面积，据此列式解答。【详解】100250（平方厘米）503614（平方厘米）答：阴影部分的面积是 14 平方厘米。【点睛】注意运用辅助线，找到相关联图形之间相等的关系，是解答本题的关键。15如图，将等腰直角三角形 ABC 与等腰直角三角形 DEC 重叠在一起，阴影部分是一个正方形。如果三角形 ABC 的面积是 36 平方厘米，那么三角形 DEC的面积是多少平方厘米？【答案】32 平方厘米【分析】如图，将三角形 ABC 平均分成 9 份，三角形 DEC 平均分成 8 份，阴影部分相当于这样的 4 份。三角形 ABC 的面积是 36 平方厘米，先用除法，求出平均 1 份是多少平方厘米，再用乘法，求出这样的 8 份是多少平方厘米，即三角形 DEC 的面积是多少平方厘米，据此解答。【详解】3694（平方厘米）4832（平方厘米）答：三角形 DEC 的面积是 32 平方厘米。16如下图，直角梯形 ABCD 的面积是 18 平方厘米，AC 长是 4 厘米，其他条件如图所示。阴影部分的面积是多少？【答案】12 平方厘米【分析】从图中可知，梯形的下底是上底的 2 倍，可以设梯形的上底是x厘米，则下底是 2x厘米；根据梯形的面积（上底下底）高2，列出方程，并求解；阴影部分是一个平行四边形，平行四边形的底等于梯形的上底，平行四边形的高等于梯形的高，根据平行四边形的面积底高，即可求出阴影部分的面积。【详解】解：设梯形的上底是x厘米，则下底是 2x厘米。（x2x）42183x42186x186x6186x3阴影部分的面积：3412（平方厘米）答：阴影部分的面积是 12 平方厘米。17学以致用：如图，正方形 ABCD 的边长是 5 厘米，点 D 是 EF 线段的中点，求直角梯形 ACEF 的面积。【答案】25 平方厘米【分析】如图所示，把直角梯形右上角阴影部分的三角形通过移动与线段 CE 接合后形成一个长方形，此时直角梯形 ACEF 的面积等于长方形的面积；长方形的面积长宽，其中长方形的长三角形 ACD 的底，长方形的宽三角形的高；根据三角形的面积底高2 得，长方形的面积三角形的面积2，也就是直角梯形 ACEF 的面积阴影部分的面积2，据此解答。【详解】阴影部分的面积：55225212.5（平方厘米）直角梯形的面积12.5225（平方厘米）答：直角梯形 ACEF 的面积是 25 平方厘米。18如图，王爷爷家有一块梯形菜地，有一条小河穿过这块菜地。如果每平方米菜地一年可收入 4.8 元，那么这块菜地一年可收入多少元？【答案】28080 元【分析】观察图形可知，这块菜地的种菜面积梯形菜地的面积小河的占地面积。梯形的面积（上底下底）高2，长方形的面积长宽，据此求出实际的种菜面积。根据乘法的意义，用每平方米菜地的一年收入乘实际的种菜面积，即可求出这块菜地一年可收入多少元。【详解】（12378）60260320160218060301805850（平方米）58504.828080（元）答：这块菜地一年可收入 28080 元。19鱼灯骨架完成后还要给鱼灯两面糊上棉薄纸。如图，这是鱼灯鱼鳍的平面图，糊这个鱼鳍至少需要多少棉薄纸？【答案】576cm2【分析】看图可知，绵薄纸的面积梯形的面积3 个三角形的面积，梯形面积（上底下底）高2，三角形面积底高2，据此求出一面的面积，乘2 即可。【详解】（206.5136.5）826.58213826.5824682265226184265226288（平方厘米）2882576（平方厘米）答：糊这个鱼鳍至少需要 576 平方厘米的棉薄纸。20如图，正方形的边长是 12 厘米，三角形甲的面积比三角形乙的面积大 24平方厘米，线段BC长多少厘米？【答案】8 厘米【分析】如图，三角形甲的面积比三角形乙的面积大 24 平方厘米，甲丙24平方厘米乙丙，即正方形面积24平方厘米三角形BDE的面积，根据三角形的底面积2底，求出 BD 长，BDCDBC，据此列式解答。【详解】12122414424120（平方厘米）12021220（厘米）20128（厘米）答：线段BC长 8 厘米。【点睛】关键是掌握并灵活运用正方形和三角形面积公式，根据三角形甲和三角形乙之间的关系，确定三角形 BDE 的面积。