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数量关系――数学运算
一、题型概要及解题技巧
考查四则运算及应用题的解决能力。要求快速、准确进行计算。
要求掌握专业解题方法。
技巧：基本知识、基本训练、特殊方法。
二、题型解析
(一)速算巧算：
1、加减法中的速算与巧算
方法一：运用加法运算定律（交换律、结合律）凑整。
（1）凑成整十、整百、整千进行计算；　例：66＋47＋34＋53＋45　　
找补数规律：个位数字与它的补数相加是10，其它位数相加是9。
（2）带符号搬家；　　例：4735＋427－431＋6431－735＋73
（3）分拆凑整；　　　例：9998＋3＋99＋998＋3＋9
方法二：运用四则运算性质凑整。运算性质：a-(b-c)=a-b+c a-(b+c)=a-b-c　
　例：3932＋2997＝3932＋（3000－3）＝6929
方法三：利用基准数凑整。
彼此接近的数相加时，选择其中一个数作为基准数，找出每个加数与这个基准数的差，把这些差累计起来。　　　例：1986＋1988＋1990＋1992＋1994
※方法四：运用等差数列求和公式计算　　例：4＋6＋8＋…＋22＋24
奇数项和＝中间项×项数　　　例：231＋232＋233＋234＋235＋236＋237
应用：（1）17个连续整数的和是306，求紧接在这17个数后的17个整数的和。（595）
（2）求1到800中能被12整除的自然数之和。（变形：不能？）
熟练掌握等差数列的几个相关公式

等比数列求和：

2、乘除法中的速算与巧算（除法转化成乘法――可约分）
方法一：凑整法：2×5　4×25　8×125　625×8＝5000
（1）乘法交换律：　　例：25×32×125
（2）乘法对加减法的分配律(逆：提公因式法)a×（b+c）=a×b+a×c a×(b-c)=a×b-a×c
例：331×11　　　　　242×9
（3）四则运算规则
a÷b÷c=a÷(b×c)=a÷c÷b 例：35000÷625÷8=35000÷(625×8)=7
a÷b×c=a÷(b÷c)=a×c÷b 例：100÷4×2=100÷(4÷2)=100×2÷4=50
a×b÷c=a÷c×b=a×(b÷c) 例：1998×432÷216=1998×(432÷216)=3996
3972×69÷1986=3972÷1986×69=138
　　练习：
方法二、特殊的巧算规律：
（1）一个数乘以以下数的规律　9 11　15　101　1001　10001　10101　1001001
循环数书写规律：循环节的长度减1对应0的个数；循环节的个数对应1的个数。

（2）两位数乘法中，十位数相同，个位数和为10的规律
例：38×32（首数加1再乘以首数做前两位，尾数乘积做后两位）
　　　　两位数乘法中，个位数相同，十位数和为10的规律
例：76×36＝2736（首数相乘再加尾数做前两位，尾数乘积做后两位）
被乘数的两个数字相同，乘数的两个数字之和为10的规律
例：33×64＝2112（首数相乘再加相同的数字做前两位，尾数乘积做后两位）
　　12345679与小于90的9的倍数的乘积　
123456789与小于90的9的倍数的乘积　

※（3）平方差公式：　例：322－312
练习：
（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）

（4）两个整数的和是一定值时，这两个数的差越小，乘积越大。
3、尾数计算法：注意1-9的n次方的尾数变化情况
4、分数巧算方法：（裂项求和法）
（1）
（2）　　　问：
（3）若，则　　问：
（4）
练习：

5、整体代换法：

（二）循环小数化为分数
循环小数分类：纯循环小数、混循环小数

（三）比较大小：
1．基本方法：（1）作差法：（2）作商法：（3）倒数法：
2．分数比较大小
（1）通分的方法：A、分子通分；B、分母通分　
例：
（2）
例：比较　　　的大小
（3）中间值法：向一个目标看齐“1”、“”、“”等
例：　　　　比较的大小
（4）如果
例：比较

提示：　　　　　　　
（四）单位分数分解：
（五）质因数分解：
240的约数的个数?
给出九个自然数30,33,42,52,65,66，77,78,105，把这九个数分成三组,使三组数的每组三数的乘积相同.
如果某数除492、2241、3195都余15，那么这个数是多少？
（六）整除问题：特征及性质
四位数45ab，能同时被2，3，4，5，9整除，求此四位数。
六位数能同时被3，4，5整除，要使尽可能小，a，b，c各是多少？
说明能被7和13整除。
（七）带余除法：（剩余定理）
957除以一个数商为15，且除数比余数大35，求除数，余数各是多少？
大、小两个数之和是119，大数除以小数商是4，余数也是4，求这两个数？
（八）同余问题：
（九）奇偶性：
（十）数阵图
(二)应用题：
1．和、差、倍分问题；年龄问题；
基本方法：线段图示法、方程法
例：甲乙丙丁4个数的和是549，如果甲数加上2，乙数减少2，丙数乘以2，丁数除以2后，四个数相等。求四个数各是多少？P48

例：甲对乙说当我的岁数是你现在岁数时，你才4岁。乙对甲说当我的岁数到你现在的岁数时，你将有67岁。甲乙现在各多少岁？P49

例：母子年龄和是41岁，4年前母亲的年龄恰好是儿子年龄的10倍，母子现在的年龄各是多少岁？（34,7）

例：被除数、除数、商三数的和是639，商是3，被除数、除数各是多少？（477,159）

2．还原问题；
基本方法：图表法、线段图示法、方程法
例：甲、乙、丙三人各有球若干个，甲给乙的球如乙现有的那么多球，甲给丙的如丙现有的那么多球，然后乙也按甲和丙手中的球数分别给甲、乙添球，最后丙也按甲和乙手中的球数分别给甲、乙添球，此时三人都各有16个球，问开始时三人各有多少个球？

例：一位牧羊人说：“我的羊数减去7，除以5，再加上8，乘以4，正好是100只。”请你算一算，牧羊人有多少只羊？

例：有一堆桃子，第一个猴子拿走了这堆桃的一半中一个桃子，第二个猴子拿走了余下的一半加一个，第三个猴子拿走了最后剩下的一半加一个，桃子就被拿光了，这堆桃子原有多少个？

3．植树问题；
基本方法：图示法、方程法
例：一列火车共25节，每节长5米，每两节之间相距1米，求火车全长多少米？（149米）

在一条长75米的大路两旁各栽一行树，起点和终点都栽，一共栽52棵，相邻两棵树之间距离相等，求相邻两树之间的距离？（3米）

有5段长20米的木料，每4米锯一段，每锯下一段需要3分钟，全部锯完需要多少分钟？（60）

A、B两人比赛爬楼梯，A跑到4层时，B恰好跑到3层，照这样计算，A跑到16层楼时，B跑到几层楼？（11）

一次检阅，接受检阅的一列车队共30辆，每辆车长4米，前后每辆车相距5米，这列车队有多长？如果车队每秒行驶2米，那么这列车队要通过535米长的检阅场地，需要多少时间？（265米，6分40秒）

4．方阵问题（空心方阵、实心方阵）；
知识点：一层点数、相邻两层点数差8、
基本方法：图示法、方程法
例：小红把平时节省下来的全部五分硬币先围成个正三角形，正好用完。后来又改围成个正方形，也正好用完。如果正方形的每条边比三角形的每条边少用5枚硬币，则小红所有五分硬币的总价值是多少元？P47

例：有若干人，恰好能排成5层的中空方阵，最外层每边人数是12人，共有多少人？（140）

例：用棋子摆成方阵，恰好可排成每边24粒的实心方阵，若改为三层的空心方阵，它的最外层每边应放多少粒棋子？（51）

例：小刚用棋子摆成一个实心方阵，后来他又加了11个棋子，横竖各增加了一排，成为大一点的方，求原来实心方阵有多少个棋子？（25）

5．行程问题（相遇问题、追及问题、流水问题、火车过隧道问题）；
例：甲、乙两人同时分别从两地骑车相向而行，甲每小时行20千米，乙每小时行18千米，两人相遇时距全程中点3千米，求全程长多少千米？

甲、乙两人同时从两地出发，相向而行，距离是100千米，甲每小时走6千米，乙每小时走4千米，甲带着一只狗，狗每小时走10千米，这只狗同甲一道出发，碰到乙的时候，它又掉头朝甲这边走，碰到甲时又往乙这边走，直到两人相遇，问这只狗一共走了多少千米？

6．时钟问题；
从5时整开始，经过多长时间后，时针与分针第一次成了直线？

5．在7点到8点之间，分针与时针什么时候在一条直线上？

7．工程问题；
例：师徒二人合作生产一批零件，6天可以完成任务，师傅先做5天后，因事外出，由徒弟接着做3天，共完成任务的7/10，如果每人单独做这批零件各需几天？

加工一批零件，甲、乙合作24天可以完成，现在由甲先做16天，然后由乙再做12天，还剩下这批零件的2/5没完成。已知甲每天比乙多加工3个零件，求这批零件共有多少个？

8．比例问题；
分数知识，列方程，份数知识
（1）求一个数的几分之几是多少？
解法：这个数分率＝分率所对应的量
例：已知一个数是360，求这个数的是多少？
（2）已知一个数的几分之几是多少，求这个数？
解法：分率所对应的量÷分率＝这个数
例：某数的是144，求这个数是多少？
若甲数的等于乙数的，则甲数是乙数的；乙数是甲数的；如果甲数是乙数的，则乙数是甲数的。
一块长方形的地，长和宽的比是4:3，长方形的周长是154米，这块地的面积是多少平方米？（1452）

甲、乙两同学的分数比是5:4，如果甲少得22.5分，乙多得22.5分，则他们分数比是5:7，问甲乙原来各得多少分？（90、72）

某校初中一年级举行数学竞赛，参加的人数是未参加人数的3倍，如果该年级学生减少6人，未参加的学生增加6人，那么参加与未参加竞赛的人数之比是2∶1．求参加竞赛的与未参加竟赛的人数及初中一年级的人数．(24,72,96)
例：我的年龄的是你年龄的，问你的年龄占我年龄的几分之几？

例：：一个筐里有桔子和苹果共90千克，其中桔子的与苹果的共56千克，桔子和苹果各有多少千克？

9．利润问题；
若进货价降低8％，而售出价不变，那么利润可由目前的p％增加到(p+10)％，求p．
x(1+p％)=0.92x[1+(10+p)％] (p=15)

10．容斥原理问题；
某学校共有三个科技兴趣小组：天文、无线电和计算机。已知参加这三个兴趣小组的学生分别有25、24、30人；同时参加天文、计算机兴趣小组的有2人；同时参加天文、无线电兴趣小组的有5人，同时参加无线电、计算机兴趣小组的有4人，有1人同时参加这三个兴趣小组。问：
（1）共有多少学生参加科技兴趣小组？
（2）只参加天文兴趣小组的学生有多少？
（3）只参加一个兴趣小组的学生有多少？
（4）只参加两个兴趣小组的学生有多少？

11．浓度问题；
掌握基本数量关系；
2．应根据稀释前、后或混合前后溶质（重量不变）分析或根据溶液重量不变分析；
基本方法：方程法
在浓度为10%、重量为80克的盐水中，加入多少克水就能得到浓度为8%的盐水？

甲容器中有8%的盐水300克，乙容器中有12.5%的盐水120克，往甲、乙两个容器中倒入等量的水，使两个容器中盐水的浓度一样，每个容器中应倒入多少克水？

12．“牛吃草”问题；
知识点：（1）草原原有的草的总量是不变的，（2）每周（时间）新生长的草量是一定的（匀速生长？），只要设法求出这两个量，问题就可以解决了。
基本方法：线段图法、方程法
有一片匀速生长的草地，可以供27头年吃6周，或供23头牛吃9周，问可以供21头牛吃几周？（12）

有一只行驶在大海中的船，发现船仓漏水，水从一缝隙匀速进入。立即安排人员进行淘水，10人3小时可以把水淘干或5人8小时把水淘干，问2小时把水淘干，需要多少人？（14）

13．数的问题；
有四个小朋友,他们恰好一个比一个大一岁,他们年龄的乘积是360。问其中最大的一个是多少岁？

把462名学生分成人数相等的若干组参加课外活动小组，每组人数在10到25人之间，求每组人数及分成的组数。

小王是个中学生，参加了全区的数学竞赛，他说：“我的名次、分数和我的年龄乘积是4074。”你能算出他得了多少分？获得第几名吗？

有三根铁丝，长度分别为120厘米、180厘米、300厘米，现把它们截成相等的小段，每根不能有剩余，问每小段最长是多少厘米？一共可以截成多少段？
兄弟三人在外工作，大哥6天回家一次，二哥8天回家一次，小弟12天回家一次，兄弟三人同时在十月一日回家，问下一次三人再见面是哪一天？

14．数列问题；
某剧院有25排座位，后一排比前一排多两个，第一排有24个座位，问这个剧院共有多少个座位？

求所有除以4余1的三位数的和。

15．杂题(统筹规划、概率)；

平均数问题
黑山敬老院有18位老奶奶，平均年龄75岁，有12位老爷爷，平均年龄70岁，这些老人的平均年龄多少岁？

7．甲、乙二数的平均数是72，丙数是18，问甲、乙、丙三个数的平均数是多少？

有10名学生，他们的成绩由第一名到第八名平均93分，由第一名到第十名平均91分，第九名比第十名多4分，求第九名和第十名的成绩？（85,81）

果品店把3千克酥糖，4千克水果糖，5千克奶糖混合成什锦糖，酥糖每千克4元，水果糖每千克5元，奶糖每千克8元，问什锦糖每千克多少元？（6元）

平均速度问题

鸡兔同笼问题（做对或做错题问题）
今有鸡兔同笼，鸡与兔的头共57个，鸡脚与兔脚共174只，问笼中鸡、兔各几只？（27，30）

2．现有5角和1元的硬币共68枚，共值55元5角，问5角硬币有多少枚？1元硬币有多少枚？（25,43）

3．李老师带领本班44名学生去划船，共租10条船？已知每条大船坐8人，每条小船坐3人，问他们租的大船、小船各多少只？（3，7）

4．数学竞赛共10题，规定做对一题得15分，做错一题扣10分，小亮在这次竞赛中得了100分，问他做错几道题？（2）

盈亏问题：
王阿姨给幼儿园小朋友分苹果，如果每人3个；则剩17个；如果每人分5个，则还差3个，问有多少个小朋友？多少个苹果？

2．学生们植树，如果说每人挖4个坑，则剩10个坑没人挖；若每人分配5个坑，则缺3个坑，问有多少学生？多少个坑？

3．学生分本，如果有4人每人分8本，其余每人分3本，则少10本；如果其中2人每人分10本，其余每人分2本，则多24本，问学生有几人？本有多少？（30人，100本）

定义新运算：

例：a，b是自然数。规定a*b=a×b－b÷a，求：2*（3*6）

例：已知1◎3=1×2×3 6◎5=6×7×8×9×10 计算：4◎5－5◎4

例：已知，如果，求。

抽屉原理：(极端原理)
例：一副扑克牌共有52张（去掉大小王），问（1）至少要取出多少张牌，才能保证其中必有3种或3种以上花色？（2）至少从中取出多少张牌，才能保证有花色相同的牌至少5张？（27,17）

逻辑推理：矛盾法、假设法、表格法
找矛盾：就是通过寻找完全对立的说法，随后迅速判断出某句话是真是假的方法。
A、B、C、D中有一人做好事
A说：“是B”
B说：“是D”
C说：“不是我”
D说：“B说的不对”
这四人中只有一人说了实话，这件好事是谁做的？(C)
假设法：有的逻辑推理问题，并不能立即找出完全对立的情况迅速得出判断，因此需要用到假设法。
假设法就是先假设某个结论正确，然后再看这个结论与已知情况是否有矛盾之处，如果有矛盾，则说明我们的假设不正确；如果没有矛盾，说明我们的假设是正确的，从而就可以得出正确的结论。
有A、B、C三人，一人是教师，一人是工人，一人是职员。又知道下面的三种说法只有一种是对的：
（1） A是工人；
（2） B不是工人；
（3） C不是职员
请问A、B、C三人各是什么职业？
列表法：解决这类问题可以使用假设法，但在分析与解答之前，我们首先列出一个表格，可以帮助我们更加清晰地分析问题。
某校最近举行一次“庆澳门回归知识竞赛”活动，赛前，人们对甲、乙、丙、丁四个班的比赛名次做如下估计：
（1） 丙得第二名，丁得第三名：
（2） 丙得第一名，乙得第二名；
（3） 甲得第二名，丁得第四名。
赛后，大家发现每一种估计都只对了一半，错了一半，请问他们各得第几名？(丙第一、甲第二、丁第三、乙第四)
在一次游戏中,主持人拿出A、B、C、D四种商品，让参加竞赛的甲、乙、丙、丁四人猜出商品价格的高低顺序，每个人只能猜两种商品，结果如下：
甲：“A第二贵，C第三”；
乙：“D最贵，其次是B”；
丙：“A第二贵，D最便宜”；
丁：“D最便宜，C最贵”。
正确答案公布后，发现每人都只猜对了一半，你能排出四种商品价格的高低顺序吗？（正确答案：A、B、C、D）
刘、张、冯三个女孩各有一个表弟，六人进行乒乓球混合双打比赛，规定姐弟俩人不许搭伴。第一场，张与小刚对冯与小强，第二场，冯和小明对张和刘的表弟，则刘、张、冯的表弟分别是： 、 、 。（正确答案：小强、小明、小刚）
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