高一讲义2016版.doc

第一讲
集合的含义与表示

一、关于集合需要注意的几点：
1、 集合的几种表示形式：列举法、描述法、图示法。
2、 集合与元素之间的关系及表示方法：属于、不属于。
3、 元素具有的三个性质及应用：确定性、互异性、无序性。
4、 集合的分类：有限集、无限集、空集。
5、 几种常用数集的符号表示：实数集、整数集、自然数集、非负自然数集。
6、 空集与0的区别。
二、例题解析
例1 下列每组对象能否构成一个集合。
1、 著名的数学家。
2、 不超过20的非负数。
3、 一个一元二次方程的解。
4、 直角坐标系中第一象限内的点。
例2 用适当的方法表示下列集合
1、方程组的解。
2、方程的所有实数解的集合。
3、 是15的正约数}
4、
5、被3除余1的整数
例3 元素性质的应用
1、 若2∈{1，a，a2-a}，则a=
2、 已知实数a∈{1，3，a2}，则a的值为
3、 “booknote中的字母”构成一个集合，该集合的元素个数是
4、 设a，b都是非零实数，y＝可能取的值组成的集合是
5、已知集合A＝{x|-3<x<3，x∈Z}，B＝{(x,y)|y＝x+1，x∈A}，则集合B用列举法表示是
6、已知集合C={x|6\(3-x)∈Z,x∈N*},用列举法表示C
例4 已知集合P的元素为, 若3∈P且-1P，求实数m的值。

例5 集合A满足条件，若a∈A，则∈A，a≠1，若1/3∈A,求集合A的其它元素。

例6 已知集合A={x|ax2－3x+1=0},
(1) 若1∈A，求实数a的值
(2) 若集合A中只有一个元素，求实数a的值
(3) 若集合A中含有两个元素，求实数a的值
(4) 若集合A中至少含有1个元素，求实数a的值
(5) 若集合A中至多含有1个元素，求实数a的值

课堂练习：
1、集合A={y|y＝x2+1}，B={x|y＝x2+1}，C={(x，y)|y＝x2+1}是否为同一个集合，如果不是请说明理由。
2、已知集合A={y|2＜y＜k，y∈N，k∈R}只有三个元素，求实数k的取值范围。

3、已知集合P={x||ax-b+x+2=0}是一个无限集，则实数a=
4、已知集合M={-2，3x2+3x-4，x2+x-4}，若2∈M，求x
5、若集合{a，b，c，d}＝{1，2，3，4}，且下列四个关系：
①a＝1；②b≠1；③c＝2；④d≠4有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组(a，b，c，d)的个数是________．
6、0、、{}、{0}之间的区别。

第二讲
集合间的基本关系

B
A

一、相关概念
1.子集：
2.集合相等：若，则
3.真子集：集合，但存在元素，A B（或B A）
4、几个重要的结论：
（1） 空集是任何集合的子集；
（2） 空集是任何非空集合的真子集；
（3） 任何一个集合是它本身的子集；
5、传递性：对于集合A，B，C，如果，且，那么
说明：
1.注意集合与元素是“属于”“不属于”的关系，集合与集合是“包含于”“不包含于”的关系；
2.在分析有关集合问题时，要注意空集的地位。
二、例题解析
例1用适当符号填空
（1） 2 N； N； A; {x|x+1＝0}
（2）已知集合A＝{x|x－3x＋2＝0}，B＝{1,2}，C＝{x|x<8,x∈N}，则 A B； A C； {2} C； 2 C

例2 写出集合{1，2，3}的所有子集，并指出哪些是它的真子集、子集、非空真子集、非空子集？
例3若集合 B A，求m的值

例4 设集合B={1,3，a}，A＝{1，x－x＋1}，，求x的值

例5 已知集合且，求实数m的取值范围。

例6 已知集合A={x|1<ax<2}，B={x|-1<x<1}，求满足的实数a的取值范围。

例7 已知集合 A={a|a=1+x2}，B={b|b=x2-4x+5}，试判断两个集合之间的关系。

例8 集合A={1，2，4}⊆B⊆C={1，2，3，4，5，8}，求满足条件的C

三、课堂练习
1、 若集合{1，a，b/a}={0，a+b，a2}，则a2017+b2016的值为
2、 A＝{1、4、2x}，B＝{1、x2}，B⊆A，则x=
3、 已知集合A＝{x|0<ax+1≤5}，B＝{x|-1/2<x≤2}，
（1） 若B⊆A，求实数a的取值范围
（2） 若A⊆B，求实数a的取值范围
（3） A、B能否相等，若能求出a的值；若不能，说明理由。

4、集合M={x|x=m+1/6，m∈Z}，N={x|x=n/2-1/3，n∈Z}，
Q={x|x=p/2+1/6，p∈Z}，判断M、N、P之间的关系。

第三讲
集合间的运算（一）
一、并集
，记作：A∪B（读作：“A并B”）
例1 若集合A={0，1，2，3}，B={1，2，4}，则 A∪B=
例2 已知集合A={0，2，a}，B={1，a2}，若 A∪B={0，1，2，4，16}则a=
例3 已知集合A={x|x-2>3}，B={x|3x-3>3x-a}，求A∪B
例4 满足{1，3}∪A={1，3，5}的所有集合A的个数。
注：讨论A∪B与集合A、B的关系？
A∪A＝ , A∪Ф＝ , A∪B B∪A A A∪B
A∪B＝A , A∪B＝B .
二、交集
A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}，记作A∩B（读“A交B”）
例5 设集合A={-1，1，3}，B={a+2，a2+4}，A∩B={3}，则实数a=
例6 若集合A={x|-2＜x＜1}，B={x|0＜x＜2}，则A∩B=
例7 M={（x，y）|x+y=4}，N={（x，y）|x-y=2}，则M∩N=
例8 已知集合M={x|2x-4=0}，N={x|x2－3x+m＝0}
（1） 当m=2时，求M∩N。
（2） 当M∩N=M时，求实数m的值。

讨论：A∩B与A、B、B∩A的关系？
A∩A＝ A∩Ф＝ A∩B B∩A
A∩B＝A A∩B＝B
三、并集交集的综合运算及应用
例1 已知集合A={a+1，a2，-3}，B={a-3，a2+1，a-2}，若A∩B={-3}，求 A∪B

例2 设集合A＝{x|2a≤x≤a+3}，B={x|x＜-1或x>5}，当a满足什么条件时，有：
（1） A∩B=Ф
（2） A∪B＝B

例3 设集合A＝{-2}，B＝{x|ax+1＝0}，若A∩B＝B，求实数a的值

例4已知集合A＝{x|x2－4x+2m+6＝0}，B={x|x＜0}，若A∩B≠∅，求实数m的取值范围。

四、二次不等式与二次方程
例1 求x2－2x-3＝0的解集

例2 解不等式
（1） x2－2x-3≤0
（2） -x2－2x+3≤0

根与系数之间的关系
ax2+bx+c＝0，（a≠0）
a b c满足什么条件时，两根均大于0？两根均小于0？两根异号？

五、含绝对值的不等式
例1 |x-2|≤4

例2 |2x+1|>6

第四讲
集合的基本运算（二）
一、 全集、补集
1.全集的定义：
一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集（universe set）,记作U，是相对于所研究问题而言的一个相对概念。
2.补集的定义：
对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合，叫作集合A相对于全集U的补集，记作：，读作：“A在U中的补集”，
即
3.补集的性质：

二、例题解析
例1 设集，求，．

例2 设全集，求，
，。
（结论：）

例3 设全集U为R，，若
，求

例4已知全集U={不大于20的质数}，M，N是U的两个子集，且满足
M∩（∁UN）={3，5}，（∁UM）∩N={7，19}，（∁UM）∩（∁UN）={2，17}，求集合M，N

例5 已知集合A={x|2＜x＜4}，B={x|（x-a）（x-3a）＜0}
（1） 若，求实数a的取值范围。
（2） 若A∩B=Ф，求实数a的取值范围。
（3） 若A∩B={x|3＜x＜4}，求实数a的值。

例6 某班有36名同学参加数、理、化兴趣小组，每名同学之多参加两个小组，参加数、理、化小组的人数分别为26、15、13，同时参加数、理小组的有6人，同时参加理、化的有4人，求同时参加数、化小组的人数。

例7 设全集U=R，集合A＝{x|x2+3x+2＝0}，
B＝{x|x2+（m+1）x+m＝0}，若（∁UA）∩B=Ф，求实数m的值。

三、课堂练习
1、 设集合A={x|x2+4x＝0}，B＝{x|x2+2（m+1）x+m2-1＝0}。
（1） 若A∩B=B，求实数m的取值范围。
（2） 若A∩B=A，求实数m的取值范围。

2、已知集合A={x|x2-4mx+2m+6＝0}，B={x|x＜0}，若A∩B≠Ф，求实数m的取值范围。

3、设P、Q是两个集合，定义集合P+Q={x|x∈P或x∈Q，且x∈P∩Q}，若P={x|x2-3x-4≤0}，Q={x|x2-2x--3>0}，求P+Q

第五讲
函数的概念、定义域及值域

回顾初中函数的定义：
在一个变化过程中，有两个变量x和y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与之对应，此时y是x的函数，x是自变量，y是因变量。
表示方法有：解析法、列表法、图象法.
一、函数的概念：
实例解析：
一枚炮弹发射，经26秒后落地击中目标，射高为845米，且炮弹距地面高度h（米）与时间t（秒）的变化规律是。
对于数集A中的每一个x，按照某种对应关系f，在数集B中都与唯一确定的y和它对应，记作：

（一）函数的定义：
设A、B是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数和它对应，那么称为从集合A到集合B的一个函数，记作：

其中，x叫自变量，x的取值范围A叫作定义域，与x的值对应的y值叫函数值，函数值的集合叫值域。显然，值域是集合B的子集。
（1）一次函数y=ax+b (a≠0)的定义域是R，值域也是R；
（2）二次函数 (a≠0)的定义域是R，值域是B；当a>0时，值域；当a﹤0时，值域。
（3）反比例函数的定义域是，值域是。
（二）区间及写法：
设a、b是两个实数，且a<b，则：
（1） 满足不等式的实数x的集合叫做闭区间，表示为[a,b]；
（2） 满足不等式的实数x的集合叫做开区间，表示为（a,b）；
（3） 满足不等式的实数x的集合叫做半开半闭区间，表示为；
这里的实数a和b都叫做相应区间的端点。
符号“∞”读“无穷大”；“－∞”读“负无穷大”；“+∞”读“正无穷大”。我们把满足的实数x的集合分别表示为。
巩固练习：
用区间表示R、{x|x≥1}、{x|x>5}、{x|x≤-1}、{x|x<0}

（三） 例题解析：
例1 用区间表示下列集合：

例2．已知函数，求f(0)、f(1)、f(2)、f(－1)的值。

变式：求函数的值域

例3．已知函数，
（1） 求的值；
（2） 当a>0时，求的值。

例4 求下列函数的定义域（用区间表示）
⑴ f(x)=； ⑵ f(x)=； ⑶ f(x)=－；

函数相同的判别方法：函数是否相同，看定义域和对应法则。
例5．下列函数中哪个与函数y=x相等？
（1）； （2）；
（3）； （4） 。
复合函数的定义域求法：
（1）已知f(x)的定义域为（a,b），求f(g(x))的定义域；
求法：由a<x<b，知a<g(x)<b，解得的x的取值范围即是f(g(x))的定义域。
（2）已知f(g(x))的定义域为（a,b），求f(x)的定义域；
求法：由a<x<b，得g(x)的取值范围即是f(x)的定义域。

例5．已知f(x)的定义域为[0,1]，求f(x＋1)的定义域。

例6 已知f(x-1)的定义域为[-1,0]，求f(x+1)的定义域。

函数值域：
例7 函数的值域

例8 求下列函数值域（分离常数法）
（1） ， （2）

例9方程法（判别式）
（1） （2）

课堂练习：
1．求下列函数定义域：
（1）； （2）
2．（1）已知函数f(x)的定义域为[0，1]，求的定义域；
（2）已知函数f(2x-1)的定义域为[0，1]，求f(1-3x)的定义域。
第六讲
函数的表示法
一、函数的表示方法
解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系
优点：简明扼要；给自变量求函数值。
图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系，回顾初中一次函数、二次函数、反比例函数的图像。
优点：直观形象，反映两个变量的变化趋势。
列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系
二、解析式及图像
巩固练习
求下列函数定义域
1、 求函数的定义域？
2、 已知函数的定义域为，求的定义域．
3、 已知的定义域为求的定义域。
4、 函数定义域是求的定义域
5、 若的定义域为，求的定义域．
6、 已知函数的定义域为求实数的取值范围。
7、 已知函数的定义域是求实数的取值范围。

解析式的求法
例1.已知，求， ， ；

例2．已知f(x)是一次函数，且满足3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17，求函数f(x)的解析式。（待定系数法）

例3．已知f(2x+1)=3x-2，求函数f(x)的解析式。（配凑法或换元法）

例4．已知函数f(x)满足，求f(x)的解析式。（消去法、方程法）

例5.已知，求函数f(x)的解析式。

函数的图像
例6画出函数的图象。

例7画出下列各函数的图象：
（1）
（2）；

例8求函数的解析式，并画出它的图象。

三、课堂练习：
1． 已知 ，求函数f(x)的解析式。

2．已知，求函数f(x)的解析

3.画出函数的图象。
第七讲
分段函数及映射
一、*分段函数的定义：
在函数的定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数，
说明：
（1）．分段函数是一个函数而不是几个函数，处理分段函数问题时，首先要确定自变量的数值属于哪个区间段，从而选取相应的对应法则；画分段函数图象时，应根据不同定义域上的不同解析式分别作出；
（2）．分段函数只是一个函数，只不过x的取值范围不同时，对应法则不相同。
例1 求函数的定义域、值域.

例2．已知函数求

例3．求函数的最大值.

例4设函数, 则使得的自变量的取值范围？

例5已知f(x)＝，求f(0)、f[f(-1)]的值

例6求函数的解析式

变式2：解不等式。

二、*映射
一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应为从集合A到集合B的一个映射记作：
讨论：映射有哪些对应情况？一对多是映射吗？
例1．以下给出的对应是不是从A到集合B的映射？
（1） 集合A={P | P是数轴上的点}，集合B=R，对应关系f：数轴上的点与它所代表的实数对应；
（2） 集合A={P | P是平面直角坐标系中的点}，B= ，对应关系f： 平面直角坐标系中的点与它的坐标对应；
（3） 集合A={x | x是三角形}，集合B={x | x是圆}，对应关系f：每一个三角形都对应它的内切圆；
（4） 集合A={x | x是新华中学的班级}，集合B={x | x是新华中学的学生}，对应关系：每一个班级都对应班里的学生。
例2 设集合A={a,b,c}，B={0,1} ，试问：从A到B的映射一共有几个？并将它们分别表示出来。

例3设集合A和B都是坐标平面上的点集，映射把集合A中的元素(x,y)映射成集合B中的元素(x+y,x-y)，则在映射f下，象(2,1)的原象是（ ）
例4设集合A和B都是自然数集合N，映射f：A→B把集合A中的元素n映射到集合B中的元素，则在映射f下，象20的原象？
例5设是从集合A到集合B的映射，其中A=B=，那么A中元素（1，3）的像是 ， B中元素（1，3）的原像是 。
例6、已知=2x－1，= ，求f(g(x))和g(f(x))的表达式.

第八讲
函数的单调性
一、单调函数的概念
观察下列各个函数的图象，并探讨下列变化规律：

1）函数的单调性定义
如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量，x2，当时，都有f(x1)<f(x2)（或f(x1)>f(x2)），那么就说f(x)在区间D上是增函数（减函数），区间D是该函数的增区间（减区间）
（2）判断函数单调性的方法步骤
任取∈D，且 作差f(x1)－f(x2)； 变形（通常是因式分解和配方）； 定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）； 下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）
（3） 单调性的应用：求最值问题（值域）
（4） 复合函数的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u)的单调性密切相关，其规律：“同增异减
二、例题解析
例1 如图是定义在区间[－5，5]上的函数y=f(x)，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？

例2 求证f(x)＝x＋的(0,1)上是减函数，在[1,+∞]上是增函数。

例3 求函数在区间[2，6] 上的最大值和最小值

例4求函数的最大值

例5已知是定义在上的增函数，且，求的取值范围。

例6 定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝－f(x＋4)，当x>2时，f(x)单调递增，如果x1＋x2<4，且(x1－2)(x2－2)<0，则f(x1)＋f(x2)的值(　　)
A． 恒小于0 B．恒大于0 C．可能为0 D．可正可负
例7 已知函数f (x)在R上是增函数，若a + b＞0，则（ A ）
A．f (a) + f (b)＞f (-a) + f(-b) B．f (a) + f(b)＞f (-a) – f(-b)
C．f (a) + f (-a)＞f (b) + f (-b) D．f (a) + f (-a)＞f (b) – f (-b)
例8 已知函数f(x)对于任意x，y∈R，总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且当x>0时，f(x)<0，f(1)＝－.
(1)求证：f(x)在R上是减函数；
(2)求f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值

三、 课堂练习
1、 f(x)是定义在(-1,1)上的减函数，如何f(2－a)－f(a－3)<0。求a的范围。

2、 求二次函数f(x)=x－2ax＋2在[2,4]上的最大值与最小值。

3、 求函数y＝x＋的值域。

4、判断函数y=单调区间并证明。
（定义法、图象法； 推广： 的单调性）

第九讲
最大值与最小值
一、函数的最值
前提
设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足
条件
.
①对于任意x∈I，都有f(x)≤M；
①对于任意x∈I，都有f(x)≥M；
②存在x0∈I，使得f(x0)＝M
②存在x0∈I，使得f(x0)＝M.
结论
M为最大值
M为最小值

两条结论
(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值．当函数在闭区间上单调时最值一定在端点取到．
(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值．
二、例题解析
1．函数f(x)＝2x－x2的最大值是(　　)
A．－1　　　 B．0 C．1 D．2
2． 函数y＝|x＋1|在[－2,2]上的最大值为
5．函数f(x)＝11－x(1－x)的最大值是
3． 已知函数f(x)＝－x2＋4x＋a，x∈[0,1]，若f(x)有最小值－2，求f(x)的最大值

4． 函数y＝－x2＋6x＋9在区间[a，b](a<b<3)有最大值9，最小值－7，则a＝__________
5.已知f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间x∈[1,5]上的最小值为f(5)，则a的取值范围为__________．
6.已知函数f(x)＝x2＋2ax＋2，x∈[－5,5]．
(1)当a＝－1时，求函数f(x)的最大值与最小值；
(2)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间[－5,5]上是单调函数．

7..函数的最小值是 ，最大值是
8.函数的最大值是 ，此时
9.函数的最小值是 ，最大值是
10.函数的最小值是 ，最大值是
11.函数y=-的最小值是 。的最大值是
12.函数f（x）=的最大值是 的最大值是
13.已知二次函数 在 上有最大值2，求的值。

14．当m为何值时，方程有4个互不相等的实数根。

15.已知函数f(x)对于任意x，y∈R，总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且当x>0时，f(x)<0，f(1)＝－23.
(1)求证：f(x)在R上是减函数；
(2)求f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值
求复合函数定义域
设复合函数y= f[g(x)]，其中u=g(x) , A是y= f[g(x)]定义域的某个区间，B是映射g : x→u=g(x) 的象集：
①若u=g(x) 在 A上是增（或减）函数，y= f(u)在B上也是增（或减）函数，则函数y= f[g(x)]在A上是增函数；
②若u=g(x)在A上是增（或减）函数，而y= f(u)在B上是减（或增）函数，则函数y= f[g(x)]在A上是减函数。
例1求的单调区间。

例2求函数的单调区间。

例3f（x）=8+2x-x2，g（x）=f（2-x2），试求g（x）的单调区间。

三、课堂练习
1、不等式对恒成立，求m的取值范围。
2.求函数y=x2-2ax-2在区间[0，2]上的最小值．
3、求函数y=2x2+x- 1在区间[t, t+2]上的最小值
4、函数f(x)＝x2－2ax＋a＋2在[0，a]上的最大值为3，最小值为2，求a的值

第十讲
函数的奇偶性
一、函数的奇偶性
（1）偶函数
一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数
（2）奇函数
一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=—f(x)，那么f(x)就叫做奇函数
（3）具有奇偶性的函数的图象的特征：函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称．
（4）利用定义判断函数奇偶性的步骤：
首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称；
确定f(－x)与f(x)的关系；
作出相应结论：若f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) = 0，则f(x)是偶函数；若f(－x) =－f(x) 或 f(－x)＋f(x) = 0，则f(x)是奇函数．
（5）函数的奇偶性与单调性的关系（图像理解）
偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反；
奇函数在关于原点对称的区间上单调性一致．
二、 例题解析
例1判断下列函数的奇偶性
（1） （2） （3）
（4）．（5） （6）

例2 设f(x)＝ax＋bx＋5，已知f(－7)＝－17,求f(7)的值。

例3 f(x)是R上的奇函数，且当时，f(x)=,求f(-3)的值及f(x)=的解析式。

例4 已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(x)－g(x)＝，求f(x)、g(x)。

例5设 是定义在 上的增函数， ，且 ，求满足不等式 的x的取值范围

例6 已知f(x)是奇函数，且在[3,7]是增函数且最大值为4，那么f(x)在[-7,-3]上是 ）函数，且最 值是 。
例7 设f（x）是（－∞，+∞）上的奇函数，f（x+2）＝－f（x），当0≤x≤1时，f（x）＝x，则f（7.5）等于
例8 若f（x）为奇函数，且在（0，+∞）内是增函数，又f（－3）＝0，则xf（x）<0的解集为 若f（x）为偶函数，则解集为：
三、 课堂练习
1、函数f(x)在R上为增函数，则y=f(|x+1|)的一个单调递减区间是_________.
2、 已知奇函数f(x)是定义在(－3，3)上的减函数，且满足不等式
f(x－3)+f(x2－3)<0,设不等式解集为A，B=A∪{x|1≤x≤},求函数g(x)=－3x2+3x－4(x∈B)的最大值.

3、 已知定义域为(－1，1)的奇函数y=f(x)又是减函数，且f(a－3)+f(9－a2)<0,则a的取值范围？

4、 如果函数f(x)在R上为奇函数，在(－1，0)上是增函数，且f(x+2)=－f(x),试比较f(),f(),f(1)的大小关系_________.
5、 定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝－f(x＋4)，当x>2时，f(x)单调递增，如果x1＋x2<4，且(x1－2)(x2－2)<0，则f(x1)＋f(x2)的值(　)
A．恒小于0 B．恒大于0C．可能为0 D．可正可负

第11讲
习 题 课
一、 周期函数的概念：
（1）定义：如果存在一个非零常数T，使得对于函数定义域内的任意x，都有f(x+T)= f(x)，则称f(x)为周期函数；
（2）性质：①f(x+T)= f(x)常常写作若f(x)的周期中，存在一个最小的正数，则称它为f(x)的最小正周期；
①函数满足，则是周期为2的周期函数；
②若恒成立，则；
③若恒成立，则.
④，则
若函数关于及对称，则是周期函数且2是它的一个周期,
若既关于直线对称，又关于中心对称，则一定是周期函数，且是它的一个周期.一般而言，如果函数的图象是双对称，则此函数是周期函数
二、例题解析
例1若y=f(2x)的图像关于直线和对称，则f(x)的一个周期为（ ）A． B． C． D．
例2、函数对于任意实数满足条件，若则__________
例3已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=－f(x),则,f(6)的值为 ( )
(A)－1 (B) 0 (C) 1 (D)2
例4已知定义在R上的奇函数，满足,且在区间[0,2]上是增函数,则( ).
A. B.
C. D.
例5是定义在R上的以3为周期的偶函数，且，则方程=0在区间（0，6）内解的个数的最小值是 （ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
例6已知奇函数在定义域上是减函数且满足，求的取值范围

例7 定义在R上的函数f（x）满足，且当时，，求当时，f(x)的函数解析式

例8 设是定义在R上的奇函数，且，
则
例9 设f（x）是（－∞，+∞）上的奇函数，f（x+2）＝－f（x），当0≤x≤1时，f（x）＝x，则f（7.5）等于（ ）
A. 0.5 B. －0.5 C. 1.5 D. －1.5
例10 .定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝－f(x＋4)，当x>2时，f(x)单调递增，如果x1＋x2<4，且(x1－2)(x2－2)<0，则f(x1)＋f(x2)的值(　　)
A．恒小于0 B．恒大于0 C．可能为0 D．可正可负
例11已知f(x)是定义在R上的偶函数，g(x)是定义在R上的奇函数，且g(x)＝f(x－1)，则f(2 013)＋f(2 015)的值为(　　)．
A．－1 B．1 C．0 D．无法计算
例12已知函数f(x)在(－1，1)上有定义，f()=－1,当且仅当0<x<1时f(x)<0,且对任意x、y∈(－1,1)都有f(x)+f(y)=f(),试证明：(1)f(x)为奇函数；(2)f(x)在(－1，1)上单调递减

例13设f(x)是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f(x)＝2x(1－x)，则f＝(　　)．
A.－ B.－ C. D.
例14设函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是(　　)．
A．f(x)＋|g(x)|是偶函数 B．f(x)－|g(x)|是奇函数
C．|f(x)|＋g(x)是偶函数 D．|f(x)|－g(x)是奇函数
例15若函数f(x)＝x2－|x＋a|为偶函数，则实数a＝________
例16 已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，且f(x)的图象关于x＝1对称，当x∈[0,1]时，f(x)＝2x－1，
(1)求证：f(x)是周期函数；
(2)当x∈[1,2]时，求f(x)的解析式；
(3)计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2013)的值．

第12讲
根式、指数幂运算
一、根式的概念及运算：
① ,就叫4的平方根；，3就叫27的立方根.
探究：,就叫做的？次方根, 依此类推,若,那么叫做的次方根.
② 定义n次方根：一般地，若,那么叫做的次方根,其中, 简记：. 例如：，则
③ 讨论：当n为奇数时, n次方根情况如何？, 例如: ,,
记：
当n为偶数时，正数的n次方根情况？ 例如: ,的4次方根就是, 记：
注意：负数没有偶次方根,0的任何次方根都是0, 即.
④ 练习：,则的4次方根为 ； , 则的3次方根为 .
⑤ 定义根式：像的式子就叫做根式, 这里n叫做根指数, a叫做被开方数.
⑥ 计算、、 → 探究： 、的意义及结果？
结论：. 当是奇数时，；当是偶数时，
例题解析
1、求下列各式的值

2. 计算或化简：； （推广：， a0）.

3、 化简： ；
4、求值化简： ； ； ； （）

二、指数与指数幂的运算
① 引例：a>0时， → ； → .
②定义分数指数幂：
规定；
③ 指数幂的运算性质：
·； ；
例题解析
1、求值:; ; ;

2、化简：；

3. 计算：的结果

4、 若

三、巩固提高
1．计算下列各式
（1） （2）

2、计算下列各式
（1） （2）＞0）

3．.已知=3，求下列各式的值:
（１）　；　（２）　；　（３）　．

四、课堂练习
1. 化简：.

2. 已知，试求的值

3. 用根式表示， 其中.

4. 已知x+x-1=3,求下列各式的值：

5. 求值：; ; ; ; ;
第13讲
指数函数的图像和性质
一、 指数函数的图像
定义：一般地，函数叫做指数函数
在同一个坐标系中画出下列各函数的图象：
　　①y＝2x；②y＝5x；③y＝（）x；④y＝（）x．

指数函数的性质：
结论：（1）一般地，指数函数y＝ax（a＞0且a≠1）与y＝a－x（a＞0且a≠1）的图象关于y轴对称．
　　（2）在y轴的右侧，由下向上函数图象相应的底数由小变大（可简记为“右侧底大图高”）；在y轴的左侧，由上向下图象相应的底数由小变大（简记为“左侧底大图低”）．
（3） （有界性）若a＞1，当x＞0时，y＞1当x＜0时，0＜y＜1．若0＜a＜1，当x＞0时，0＜y＜1；当x＜0时，y＞1．
二、 例题解析
例1 已知指数函数（＞0且≠1）的图象过点（3，π），求

例3函数是指数函数，求a的值。

例3 比较下列各题中的个值的大小
（1）1.72.5 与 1.73 ( 2 )与 ( 3 ) 1.70.3 与 0.93.1
例4求下列函数的定义域，值域：
　　（1）y＝；　　　　　　（2）y＝；
（3）y＝；　　　　（4）y＝＋2×－1．

例5 直线与函数的图像有两个公共点，则的取值范围是________。
例6如果函数y＝（a＞0且a≠1）在［－1，1］上有最大值14，试求a的值．

例7 若函数y＝＋m－1的图象在第一，三，四象限，则（　　）
　　　　A．a＞1且m＞1　　　　　　　　B．a＞l且m＜0
　　　　C．0＜a＜1且m＞0　　　　　　 D．0＜a＜1且m＜1
例8若，则
例9 若＞，则a的范围是（　　）
　　　　A．a＞1　　　　B