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2.1.2 两条直线平行和垂直的判定两条直线平行和垂直的判定 6 题型分类题型分类两条直线平行和垂直的判定1两条直线(不重合)平行的判定：类型斜率存在斜率不存在前提条件12901290对应关系l1l2k1k2l1l2两直线的斜率都不存在图示2两条直线垂直的判定：图示对应关系l1l2(斜率都存在)k1k21l1的斜率不存在，l2的斜率为 0l1l2（一）两条直线平行的判定两条直线平行的判定判断两条不重合的直线是否平行的方法：题型题型 1：两条直线平行的判定：两条直线平行的判定1-1（2024 高二上全国课后作业）判断下列不同的直线1l与2l是否平行.（1）1l的斜率为 2，2l经过1,2A，4,8B两点；（2）1l经过3,3P，5,3Q-两点，2l平行于 x 轴，但不经过 P，Q 两点；（3）1l经过1,0M-，5,2N-两点，2l经过4,3R-，0,5S两点【答案】（1）平行；（2）平行；（3）平行.【分析】（1）利用两直线的斜率是否相等进行判断即可.（2）根据直线PQ的斜率即可判断.（3）求出两直线的斜率即可求解.【详解】（1）2l经过1,2A，4,8B两点，则28224 1lk-=-，则12llkk=，可得两直线平行.（2）1l经过3,3P，5,3Q-两点，可得1l平行于 x 轴，2l平行于 x 轴，但不经过 P，Q 两点，所以12ll/；（3）1l经过1,0M-，5,2N-两点，10211 52lk+=-+，2l经过4,3R-，0,5S两点，则2351402lk-=-，所以12ll/.1-2（2024 高二江苏假期作业）判断下列各组直线是否平行，并说明理由(1)1l经过点(2,3),(4,0)AB-，2l经过点(3,1),(2,2)MN-；(2)1l的斜率为10-，2l经过点(10,2),(20,3)AB.【答案】(1)不平行，理由见解析(2)不平行，理由见解析【分析】（1）分别计算出1l和2l的斜率，再比较两斜率是否相等即可；（2）求出2l的斜率，再与1l的斜率比较即可.【详解】（1）设直线1l，2l的斜率分别为1k，2k，因为1l经过点(2,3),(4,0)AB-，2l经过点(3,1),(2,2)MN-，所以13012(4)2k-=-，21 213(2)k-=-，所以12kk，所以1l与2l不平行；（2）设直线1l，2l的斜率分别为1k，2k，则110k=-，因为2l经过点(10,2),(20,3)AB，所以232120 1010k-=-，所以12kk，所以1l与2l不平行.1-3（24-25 高一上全国假期作业）下列各对直线互相平行的是（）A直线1l经过点0,1,1,0AB，直线2l经过点1 32 0M,N,-B直线1l经过点1,2,1,2AB-，直线2l经过点2102M,N,-C直线1l经过点1 21 3A,B,，直线2l经过点1 11 4C,D,-D直线1l经过点3 231A,B,-，直线2l经过点1 13 2M,N,-【答案】A【详解】根据斜率公式求出各直线的斜率，判断直线的斜率是否相等或不存在，进而可得出结论.【解答过程】对于 A，因为120 1301,11 012llkk-=-=-，所以12/ll，故 A 对；对于 B，因为12122212,1 1202llkk-=-，所以直线12,l l不平行，故 B 错；对于 C，由直线1l经过点1,2A，1,3B，直线2l经过点1,1C-，(1,4)，得直线12,l l的斜率都不存在，且两直线重合，故 C 错；对于 D，因为直线1l经过点(3,2)，3,1B-，所以直线直线1l的斜率不存在，而21 231 32lk-=-，所以直线12,l l不平行，故 D 错.故选：A.题型题型 2：两条直线平行的应用：两条直线平行的应用2-1（2024 高二江苏假期作业）已知直线1l的倾斜角为45，直线2l的斜率为23km=-，若1l2l，则m的值为 【答案】2/2 或2-/2-或 2【分析】由直线倾斜角由斜率的关系可知直线1l的斜率为1tan45k=，再由两直线平行，斜率相等列出等式，即可求出答案.【详解】由题意知23tan45m-=，解得2m=.故答案为：22-2（2024 高二全国课后作业）若直线1l与直线2l平行，直线1l的斜率为33-，则直线2l的倾斜角为 .【答案】56p【分析】由两条直线的位置关系可得直线2l的斜率与直线1l的斜率相等，然后根据斜率与倾斜角的关系即可求解.【详解】解：因为直线1l与直线2l平行，直线1l的斜率为33-，所以直线2l的斜率与直线1l的斜率相等，即直线2l的斜率为33-，设直线2l的倾斜角为0aap，则3tan3a=-，所以56pa=，即直线2l的倾斜角为56p，故答案为：56p.2-3（2024 高二江苏假期作业）已知过(2,)Am-和(,4)B m的直线与斜率为2 的直线平行，则 m 的值是（）A8B0C2D10【答案】A【分析】由两点的斜率公式表示出直线AB的斜率ABk，再由两直线平行斜率相等列出等式，即可解出答案.【详解】由题意可知，422ABmkm-=-+，解得8m=-故选：A2-4（2024 高二上天津蓟州阶段练习）过点,3,1,A mBm-两点的直线与直线l平行，直线l的倾斜角为45o，则m=【答案】1【分析】根据题意,求出直线AB的斜率和直线l的斜率，由/AB l，二者斜率相等构造方程解得答案.【详解】因为直线l的倾斜角为45o，所以直线l的斜率tan451k=o，过,3,1,A mBm-两点的直线的斜率31ABmkm-=+，由直线AB与直线l平行，所以311mm-=+解得1m=.故答案为：1.（二）两条直线垂直的判定两条直线垂直的判定判断两条直线是否垂直：在这两条直线都有斜率的前提下，只需看它们的斜率之积是否等于1 即可，但应注意有一条直线与 x 轴垂直，另一条直线与 x 轴平行或重合时，这两条直线也垂直题型题型 3：两条直线垂直的判定：两条直线垂直的判定3-1（24-25 高二上全国课前预习）判断下列两条直线是否垂直(1)直线1l的斜率为10-，直线2l经过点10,2A，20,3B；(2)直线1l经过点3,4A，3,7B，直线2l经过点2,4P-，2,4Q；(3)直线1l的法向量为1,2，直线2l的法向量为2,1-【答案】(1)垂直(2)垂直(3)垂直【分析】（1）根据斜率关系判断两直线是否垂直；（2）根据斜率关系判断两直线是否垂直；（3）根据法向量关系判断两直线是否垂直.【详解】（1）直线1l的斜率110k=-，直线2l的斜率232120 1010k-=-，因为12110110k k=-=-，所以1l与2l垂直（2）直线1l的斜率不存在，故1l与x轴垂直，直线2l的斜率为 0，故直线2l与x轴平行，所以1l与2l垂直（3）因为1 2 1 20-=，所以1l与2l的法向量垂直，所以1l与2l垂直3-2（2024 高一上陕西宝鸡期末）下列说法中正确的是（）A两条平行直线的斜率一定相等B两条平行直线的倾斜角一定相等C垂直的两直线的斜率之积为-1D互相垂直的两直线的倾斜角互补【答案】B【分析】根据直线平行与垂直满足的关系，即可结合选项逐一求解.【详解】对于 A,若两条直线平行，但没有斜率，故 A 错误，对于 B，两条直线平行，则倾斜角相等，故 B 正确，对于 C，若两条直线分别与坐标轴平行，则此时有一条直线没有斜率，故 C 错误，对于 D，若两条直线分别与坐标轴平行，则两条直线的倾斜角分别为0o和90o，则倾斜角不互补，故 D 错误，故选：B3-3（2024 高二江苏假期作业）判断下列各组直线是否垂直，并说明理由(1)1l经过点(3,4),(1,3),AB-2l经过点(4,3),(3,1)MN-；(2)1l经过点(3,4),(3,10),AB2l经过点(10,40),(10,40)MN-【答案】(1)不垂直，理由见解析(2)垂直，理由见解析【分析】（1）由题知直线1l，2l的斜率存在，分别计算出1l、2l的斜率，即可判断（1）组直线不垂直；（2）由题知1lx轴，2lx轴，即可判断（2）组直线垂直.【详解】（1）由题知直线1l，2l的斜率存在，分别设为12,k k，1347134k-=-，2134347k-=-，121kk=，1l与2l不垂直（2）由题意知1l的倾斜角为 90，则1lx轴；由题知直线2l的斜率存在，设为3k，34040010(10)k-=-，则2lx轴，12ll题型题型 4：两条直线垂直的应用：两条直线垂直的应用4-1（2024 高一全国课后作业）过点(,1)A m，(1,)Bm-的直线与过点(1,2)P，(5,0)Q-的直线垂直，则m的值为（）A2-B2C12D12-【答案】A【分析】由两线垂直则斜率之积为-1，列方程求 m 的值即可.【详解】两条直线垂直，则：120111(5)mm-=-+-，解得2m=-，故选：A4-2（2024 高二上浙江杭州期末）已知点1,1A和2,4B，点P在y轴上，且APB为直角，则点P坐标为（）A0,2B0,2或0,3C0,2或0,4D0,3【答案】B【分析】设点0,Py，由APB为直角，得APBP，然后由1APBPkk=-列式计算即可.【详解】由题意，设点0,Py，APBQ为直角，APBP，由141,12APBPyyky k-=-=，4112APBPykky-=-=-，解得3y=或2，所以点P的坐标为0,2或0,3故选：B4-3（2024 高二下甘肃武威开学考试）已知三角形三个顶点的坐标分别为4,2A，1,2B-，2,4C-，则BC边上的高的斜率为（）A2B2-C12D12-【答案】C【分析】根据已知求出BC的斜率，再根据两直线垂直的斜率关系即可求解.【详解】1,2B-Q，2,4C-，4222 1BCk-=-设BC边上的高的斜率为k，则1BCk k=-，12k=故选：C4-4（2024 高二上山西晋中期末）已知直线1l经过3,7A，2,8B两点，且直线21ll，则直线2l的倾斜角为（）A30B45C135D150【答案】B【分析】先求出直线1l的斜率，再结合直线垂直的性质，即可求解【详解】设直线2l的倾斜角为a，因为直线1l的斜率178132lk-=-，由12ll，得121llkk=-，所以21lk=，即tan1a=，又0180a，则45a=，所以直线2l的倾斜角为45故选：B4-5（2024 高二下甘肃兰州开学考试）已知经过点2,0A-和点1,3Ba的直线1l与经过点0,1P-和点,2Q aa-的直线2l互相垂直，则实数a的值为（）A0B1C0或1D1-或1【答案】C【分析】求出直线1l的斜率为1ka=，分0a、0a=两种情况讨论，在0a 时，由两直线斜率之积为1-可求得实数a的值；在0a=时，直接验证12ll.综合可得结果.【详解】直线1l的斜率13012aka-=-当0a 时，直线2l的斜率2211 20aakaa-=-因为12ll，所以121k k=-，即121aaa-=-，解得1a=当0a=时，0,1P-、0,0Q，此时直线2l为y轴，又2,0A-、10B,，则直线1l为x轴，显然12ll综上可知，0a=或1.故选：C.（三）两条直线平行或垂直的综合应用两条直线平行或垂直的综合应用利用两条直线的平行或垂直判断图形形状题型题型 5：利用两条直线平行或垂直判定图形形状利用两条直线平行或垂直判定图形形状5-1（2024 高二上全国课后作业）以(2,1),(4,2),(2,6),(3,1)ABCD-为顶点的四边形是（）A平行四边形，但不是矩形 B矩形C梯形，但不是直角梯形 D直角梯形【答案】D【分析】先在坐标系内画出 ABCD 点，再根据对边和邻边的位置关系判断四边形 ABCD 的形状.【详解】在坐标系中画出 ABCD 点，大致如上图，其中1 1622,2,/3224ADBCADBCkkkkADBC+-=-=-=-+-，2 11,1,422ABABBCkkkABBC+=-+g，2222231 15,422620ADBCAD=-+-=-+-=，所以四边形 ABCD 是直角梯形；故选：D.5-2（2024 高二江苏假期作业）已知四边形MNPQ的顶点坐标为(1,1),(3,1),(4,0),(2,2)MNPQ-，求证：四边形MNPQ为矩形【答案】证明见解析【分析】先利用斜率的关系证明两组对边分别平行，可得四边形为平行四边形，再由一组邻边所在的直线的斜率乘积为1-，可得一组邻边垂直，从而可得结论.【详解】因为(1,1),(3,1),(4,0),(2,2)MNPQ-，所以1(1)201,11 324MNPQkk-=-=-，121 01,11234MQPNkk-=-，所以MNPQkk=，MQPNkk=，所以MNPQ，MQNP，所以四边形MNPQ为平行四边形，因为1MNMQkk=-，所以MNMQ，所以四边形MNPQ为矩形.5-3（2024 高二江苏）已知点4,3A-，2,5B，6,3C，3,0D-，试判定四边形 ABCD 的形状【答案】直角梯形【分析】求出四边斜率，然后再判断形状【详解】由斜率公式可得：5312(4)30313630333(4)351622ABCDADBCkkkk-=-=-=-=-ABCDkk=，/ADBCABCDkkQAD与 BC 不平行又1(3)13ABADkk=-=-Q，ABAD，故四边形 ABCD 是直角梯形【点睛】本题考查四边形形状的判断，要关注四条边的斜率关系，是否有垂直或者平行，是基础题题型题型 6：两条直线平行或垂直的综合应用两条直线平行或垂直的综合应用6-1（2024 高三上重庆阶段练习）已知直线1l过点(0,1)A，直线1l与直线2:lyx=的交点 B 在第一象限，点 O 为坐标原点.若三角形 OAB 为钝角三角形时，则直线1l的斜率的范围是（）A(,1-B(,1)(0,)-+C(,1)(0,1)-UD(,1)(1,)-+U【答案】C【分析】找到三个极端位置的斜率值，并旋转相关直线得到斜率范围.【详解】当三角形OAB为直角三角形时，OBBA或OABA，此时1l的斜率1k=-或 0.当1l从1k=-顺时针旋转到y轴之间时，三角形OAB为钝角三角形，此时1k -；当1l从0k=逆时针旋转到与直线2:lyx=平行之间时，三角形OAB为钝角三角形，此时01k，综上，(,1)(0,1)k-，故选：C.故选：C.6-2（2024 高二上全国课后作业）已知ABCD 的三个顶点的坐标分别为 A(0,1)，B(1,0)，C(4,3)，则顶点 D的坐标为 .【答案】(3,4)【分析】设 D 为(x,y)，由平行四边形知对边所在的直线斜率相等，列方程组即可求 D 的坐标.【详解】设顶点 D 的坐标为(x,y)，AB/DC，AD/BC，0 131 0413004 1yxyx-=-=-，解得34xy=，点 D 的坐标为(3,4).故答案为：(3,4).6-3（2024 高二上青海海东期中）已知点2,2A-，6,4B，5,2H，H是ABCV的垂心则点 C 的坐标为（）A6,2B2,2-C4,2-D6,2-【答案】D【分析】先设点 C 的坐标,再求出直线BHAH，的斜率，则可求出直线AC的斜率和直线BC的倾斜角，联立方程组求出 C 的坐标；【详解】设 C 点标为,x y，直线 AH 斜率22052AHk-=+，BCAH，而点 B 的横坐标为 6，则=6，直线 BH 的斜率42265BHk-=-，直线 AC 斜率21622ACyk-=-+，=2y-，点 C 的坐标为(6,2)-故选:D.一、单选题一、单选题1（2024 高二上全国课后作业）下列说法中正确的有（）A若两直线平行，则两直线的斜率相等B若两直线的斜率相等，则两直线平行C若两直线的斜率乘积等于1-，则两直线垂直D若两直线垂直，则两直线的斜率乘积等于1-【答案】C【分析】根据直线斜率与位置关系的相关知识直接判断即可.【详解】对于 A，两直线平行，可以是斜率都不存在，所以 A 错误；对于 B，若两直线的斜率相等，则两直线平行或重合，所以 B 错误；对于 C，若两直线的斜率乘积等于1-，则两直线垂直，故 C 正确；对于 D，若两直线垂直，可能是一条直线斜率为 0，另一条直线斜率不存在，则不是两直线的斜率乘积等于1-，故 D 错误；故选：C2（2024 高二下福建学业考试）已知直线1l：2yx=-，2l：ykx=，若12/ll，则实数k=（）A2B1C0D1【答案】D【分析】两直线平行，则斜率相等求解.【详解】已知直线1l：2yx=-，2l：ykx=，因为12/ll，所以1k=故选：D【点睛】本题主要考查两直线的位置关系，属于基础题.3（2024 高二全国课后作业）下列说法中正确的是（）A若两条直线斜率相等，则它们互相平行B若12ll，则12llkk=C若两条直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则这两条直线相交D若两条直线的斜率都不存在，则它们相互平行【答案】C【分析】根据直线平行和斜率之间的关系对选项一一判断即可得出答案.【详解】若两条直线斜率相等，则它们互相平行或重合，A 错误；若12ll，则12llkk=或1l，2l的斜率都不存在，B 错误；若两条直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则这两条直线相交，C 正确；若两条直线的斜率都不存在，则它们互相平行或重合，D 错误故选：C.4（2024 高二上山东泰安期末）若直线1:1lykx=+与直线2:3lyx=平行，则实数 k 的值为（）A13-B13C33D3【答案】D【分析】利用两直线平行斜率相等，求出实数 k 的值.【详解】因为直线1:1lykx=+与直线2:3lyx=平行，所以两直线斜率相等，即3k=.故选：D.5（2024 高二上广东广州期中）已知直线1l的倾斜角为30，直线12ll/，则直线2l的斜率为（）A3B3-C33D33-【答案】C【分析】利用直线的斜率公式与直线平行的性质求解即可.【详解】因为直线1l的倾斜角为30，所以13tan303lk=，又12ll/，所以2133llkk=.故选：C.6（2024 高一下江西抚州期末）已知直线1l经过3,4A-，8,1B-两点，直线2l的倾斜角为135o，那么1l与2lA垂直B平行C重合D相交但不垂直【答案】A【解析】根据两点求出直线1l的斜率，根据倾斜角求出直线2l的斜率；可知斜率乘积为1-，从而得到垂直关系.【详解】Q直线1l经过3,4A-，8,1B-两点 直线1l的斜率：14 1138k+=-+Q直线2l的倾斜角为135o 直线2l的斜率：2tan1351k=-o121kk=-12ll本题正确选项：A【点睛】本题考查直线位置关系的判定，关键是利用两点连线斜率公式和倾斜角求出两条直线的斜率，根据斜率关系求得位置关系.7（2024 高二上上海浦东新期中）“两条直线的斜率乘积为1-”是“两条直线互相垂直”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分又不必要条件【答案】A【解析】根据两直线垂直与斜率的关系判断即可得到结果.【详解】当两条直线斜率乘积为1-时，两条直线互相垂直，充分性成立；当两条直线互相垂直时，其中一条直线可能斜率不存在，必要性不成立；“两条直线的斜率乘积为1-”是“两条直线互相垂直”的充分不必要条件.故选：A.8（2024 高二全国课后作业）顺次连接 A(4,3)，B(2,5)，C(6,3)，D(3,0)所构成的图形是（）A平行四边形B直角梯形C等腰梯形D以上都不对【答案】B【分析】结合直角梯形的性质，利用两直线间的平行和垂直关系来判断即可得出结论.【详解】3513042363ABCDkk-=-，305313,43262ADCBkk-=-=-+-，则ADCBkk，所以/ABCD,AD与BC不平行，1ADABkk=-因此ADAB故构成的图形为直角梯形.故选：B.9（2024 高三上浙江丽水期中）若直线3yx=-+与=+y kx b平行，则（）A1,kb=-RB,kbRRC1,3kb=-D3,bkR【答案】C【分析】斜率存在的两直线平行，斜率相等截距不等.【详解】直线3yx=-+与=+y kx b平行，所以，1,3kb=-.故选：C.二、多选题二、多选题10（2024 高二上江苏）以(1,1),(2,1),(1,4)ABC-为顶点的三角形，下列结论正确的有（）A23ABk=-B14BCk=-C以A点为直角顶点的直角三角形D以B点为直角顶点的直角三角形【答案】AC【分析】对于 AB，利用斜率公式计算判断，对于 C，通过计算ABACkk判断，对于 D，通过计算ABBCkk判断.【详解】对于 A，因为(1,1),(2,1)AB-，所以1(1)2123ABk-=-，所以 A 正确，对于 B，因为(2,1),(1,4)BC-，所以1 4152 14BCk-=-，所以 B 错误，对于 C，因为23ABk=-，1431 12ACk-=-，所以22133ABACkk=-=-，所以ABAC，所以ABCV以A点为直角顶点的直角三角形，所以 C 正确，对于 D，因为23ABk=-，5BCk=-，所以1ABBCkk-，所以 D 错误，故选：AC11（2024 高二上江苏扬州阶段练习）若1l与2l为两条不重合的直线，则下列说法中正确的有（）A若12/ll，则它们的斜率相等B若1l与2l的斜率相等，则12/llC若12/ll，则它们的倾斜角相等D若1l与2l的倾斜角相等，则12/ll【答案】BCD【分析】由两直线斜率不存在可知 A 错误；根据两直线平行与斜率和倾斜角的关系可知 BCD 正确.【详解】对于 A，当1l和2l倾斜角均为2p时，12/ll，但两直线斜率不存在，A 错误；对于 B，若1l和2l斜率相等，则两直线倾斜角相等，可知12/ll，B 正确；对于 C，若12/ll，可知两直线倾斜角相等，C 正确；对于 D，若两直线倾斜角相等，则两直线斜率相等或两直线斜率均不存在，可知12/ll，D 正确.故选：BCD.12（2024 高二上浙江丽水阶段练习）已知直线1l与2l为两条不重合的直线，则下列命题正确的是（）A若12/ll，则斜率12kk=B若斜率12kk=，则12/llC若倾斜角12aa=，则12/llD若12/ll，则倾斜角12aa=【答案】BCD【分析】利用直线的倾斜角和斜率的关系，直线的斜率和直线的平行问题的应用求出结果【详解】A 选项，12/ll，可能直线1l与2l的倾斜角都是90，斜率不存在，所以 A 选项错误.B 选项，根据直线的位置关系，当直线的斜率存在，并且相等，则直线平行，所以 B 选项正确.C 选项，当两条直线的倾斜角相等时，直线平行，所以 C 选项正确.D 选项，当两条直线平行时，则倾斜角必相等，所以 D 选项正确.故选：BCD13（2024 高二上吉林期中）已知两条不重合的直线111:l yk xb=+，222:l yk xb=+，下列结论正确的是（）A若12ll，则12kk=B若12kk=，则12llC若121k k=，则12llD若12ll，则121k k=-【答案】ABD【分析】根据直线的位置关系与斜率关系即可判断.【详解】对 A，若12ll，则12kk=，故 A 正确；对 B，若12kk=，又两直线不重合，则12ll，故 B 正确；对 C，若121k k=，则1l与2l不垂直，故 C 错误；对 D，若12ll，则121k k=-，故 D 正确.故选：ABD.14（2024高二全国课后作业）若12ll，为两条不重合的直线，他们的倾斜角分别为12aa，斜率分别为12kk，则下列命题正确的是（）A若12ll/，则斜率12kk=B若斜率12kk=，则12ll/C若12ll/，则倾斜角12aa=D若倾斜角12aa=，则12ll/【答案】ABCD【分析】根据直线平行、斜率、倾斜角之间关系，可直接判断出结果.【详解】因为12ll，为两条不重合的直线，他们的倾斜角分别为12aa，斜率分别为12kk，若12ll/，则斜率相等，即12kk=；又斜率是倾斜角的正切值，所以12aa=，故 AC 正确；若12aa=，则12kk=，所以12ll/，故 BD 正确；故选：ABCD15（2024 高二全国课后作业）（多选）若4,2A-，6,4B-，12,6C，2,12D，下面结论中正确的是（）A/AB CDBABADCACBD=D/AC BD【答案】ABC【分析】通过点的坐标得到相应直线的斜率，通过直线斜率判断直线的位置关系即可.【详解】423645ABk-=-+，12632 125CDk-=-，且 C 不在直线 AB 上，/AB CD，故 A 正确；又1225243ADk-=+，1ABADkk=-，ABAD，故 B 正确；16,4AC=uuur，4,16BD=-uuu r，4 17AC=，4 17BD=，ACBD=，故 C 正确；又6211244ACk-=+，124426BDk+=-，1ACBDkk=-ACBD，故 D 错误故选:ABC三、填空题三、填空题16（2024 高二下山东菏泽开学考试）已知5,111(),()2)3,(ABC-，三点，则ABC 为 三角形.【答案】直角【分析】根据直线斜率关系即得.【详解】如图，猜想,ABBCABCV是直角三角形，由题可得边AB所在直线的斜率12ABk=-,边BC所在直线的斜率2BCk=，由1ABBCkk=-，得,ABBC即90ABC=o，所以ABCV是直角三角形.故答案为：直角.17（2024 高二上全国专题练习）若1l与2l为两条不重合的直线，它们的倾斜角分别为1a，2a，斜率分别为1k，2k，则下列命题若12/ll，则斜率12kk=；若斜率12kk=，则12/ll；若12/ll，则倾斜角12aa=；若倾斜角12aa=，则12/ll；其中正确命题的个数是 【答案】4【分析】根据两直线平行的充要条件、斜率与倾斜角的关系判断即可；【详解】解：因为1l与2l为两条不重合的直线，且它们的倾斜角分别为1a，2a，斜率分别为1k，2k.由于斜率都存在，若12/ll，则12kk=，此命题正确；因为两直线的斜率相等即斜率12kk=，得到倾斜角的正切值相等即12tantanaa=，即可得到12aa=，所以12/ll，此命题正确；因为12/ll，根据两直线平行，得到12aa=，此命题正确；因为两直线的倾斜角12aa=，根据同位角相等，得到12/ll，此命题正确；所以正确的命题个数是 4故答案为：4四、解答题四、解答题18（2024 高一下全国课后作业）根据下列给定的条件，判断直线1l与直线2l是否平行.（1）直线1l经过点(2,1),(3,5)AB-，直线2l经过点(3,2),(8,7)CD-；（2）直线1l平行于 y 轴，直线2l经过点(0,2)P-，(0,5)Q；（3）直线1l经过点(0,1),(2,1)EF-，直线2l经过点(3,4),(2,3)GH.【答案】（1）不平行；（2）平行；（3）不平行.【分析】（1）12kk，所以直线1l与2l不平行；（2）直线2l与 y 轴重合，所以直线1l与2l平行；（3）E，F，G，H 四点共线，直线1l与2l重合.故直线1l与2l不平行.【详解】解：（1）直线1l的斜率15 14325k-=-，直线2l的斜率27(2)183k-=-，显然12kk，所以直线1l与2l不平行.（2）直线2l与 y 轴重合，所以直线1l与2l平行.（3）直线1l的斜率111120k-=-，直线2l的斜率234123k-=-，所以12kk=，又41130GEk-=-，所以 E，F，G，H 四点共线，直线1l与2l重合.故直线1l与2l不平行.19（2024 高二全国课后作业）判断(1,3),(3,7),(4,9)ABC三点是否共线，并说明理由【答案】共线，理由见解析.【分析】根据直线斜率公式进行求解即可.【详解】这三点共线，理由如下：由直线斜率公式可得：73932,23 14 1ABACkk-=-，直线,AB AC的斜率相同，所以这两直线平行，但这两直线都通过同一点(1,3)A，所以这三点共线.20（2024 高二上四川成都阶段练习）如图所示，一个矩形花园里需要铺两条笔直的小路，已知矩形花园长5mAD=，宽=3mAB，其中一条小路为AC，另一条小路过点D.请建立合适的平面直角坐标系，在BC上找到一点M，使得两条小路AC与DM互相垂直，并求BM.【答案】建系见解析，16m5BM=【分析】建立平面直角坐标系，利用1ACDMkk=-求得BM.【详解】以B为原点建立如图所示平面直角坐标系，则0,3,5,3,5,0ADC，设,0,05M xx且12t.试判断四边形OPQR的形状.【答案】矩形【分析】可借助斜率验证四边形OPQR对边平行，邻边垂直，对角线不垂直即得解【详解】由斜率公式，得01 0OPtkt-=-，2221 21QRttkttt-+-=-，20120ORktt-=-，2211 212PQttkttt+-=-，21 2OQtkt+=-，212PRtkt-=+.OPQRkk=，ORPQkk=，/OP QR，/OR PQ，四边形OPQR为平行四边形.又1OPORkk=-，OPQR.又1OQPRkk-，OQ与PR不垂直，四边形OPQR为矩形.23（2024 高二全国课后作业）已知4,3A-，2,5B，6,3C，3,0D-四点，若顺次连接ABCD四点，试判断图形ABCD的形状【答案】直角梯形【分析】计算四条边所在直线的斜率，判断边之间的位置关系，即可判断图形ABCD的形状.【详解】由斜率公式，得531243ABk-=-，031363CDk-=-，03334ADk-=-，351622BCk-=-,所以ABCDkk=，又因为3306(4)ACABkk-=-,说明AB与CD不重合，所以/ABCD因为ADBCkk，所以AD与BC不平行又因为1313ABADkk=-=-，所以ABAD故四边形ABCD为直角梯形24（2024 高二江苏课后作业）已知点4,2A-，1,1B-，5,5C，1 7,3 2D-，求证：四边形 ABCD是梯形【答案】证明见解析【分析】根据题意，只要证明四边形一组对边平行，且不相等，即可证明四边形为梯形.【详解】由点(4,2)A-，(1,1)B-，(5,5)C，1 7(,)3 2D-，可得7235 132,125 1243ADBCkk+=-+,而221711|(4)(2)13326AD=-+=,22|(5 1)(5 1)2 13BC=-+=,故ADBC,但|ADBC,所以四边形 ABCD 是梯形
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