2015年全国自学考试试题及其答案.doc

2015年4月18日全国自学考试试题及答案（9时56分）一、选择题1.设 ，则 【D】A.-5 B.5 C.-10 D.102.函数在点处连续的充要条件是在点处 【C】A.可导 B. 存在 C. D.解析3.函数在点处解析的条件是在点的某个邻域内 【A】A.处处可导 B.连续 C. 只有点处可导 D.不是处处可导4.幂级数的收敛半径是 【 D】A.1 B.3 C. D.5.函数在点处的泰勒级数是 【 A】A. B. C. D. 6.是函数的 【 C 】A.本性奇点 B.一级极点 C.可去奇点 D.以上都不正确7.若是函数的孤立奇点，则使的充分条件是：是的（B）A可去奇点 B.本性奇点 C.解析点 D一级极点8.的傅氏变换为 【 C】A B. C. D. 9.常数2的傅氏变换为 【 C 】10.函数在平面上 【D】A.连续未必可导 B.可导但不解析 C. 有奇点 D.处处解析11.已知函数，在单连通区域内解析，为内的任意闭曲线，则 【D】A.1 B.2 C. D.012.设函数在单连通区域内解析，为内的任意闭曲线，则 【A】A. B. C.0 D. 13.设，则 【 B 】A.12 B.16 C.-16 D.-1214. .函数在点处连续，则 【 C 】 A. 在点处可导 B. 在点处可微C. D. 在点处解析15.函数在点处解析的充要条件是 【 C】A. ,在处可微B.在点处，C. ,在处可微，且D. 在点处解析16.函数在平面上 【 D 】A.连续未必可导 B.可导但不解析 C. 有奇点 D.处处解析17.已知函数，在单连通区域内解析，为内的任意闭曲线，则 【B 】A. B.0 C. D.118.已知函数，在单连通区域内解析，为内的任意闭曲线，则 【A】A.0 B.1 C. D. 19.设在区域G内解析，C为G内任意一条正向简单闭曲线, 是C内的一点，则积分 【B】A. B. 0 C. D. 20.设函数在平面上解析，则 【 B 】A.0 B. C. D.以上都不正确A.2 B. C. D.21. 的拉氏变换为 【A 】A. B. C. D. 22. 的拉氏变换为 【 B】A. B.1 C. D23. 【C】A.1 B.0 C. D. A. B. C. D. 24.常数9的拉氏变换为 【A】A. B. C. D.25. 【A】A.1 B.-1 C.0 D.226. 幂级数的收敛半径是 【B】A.1 B.3 C. D.27.函数在点处的泰勒级数是 【B】A. B. C. D. 28. 函数的 【D】A.本性奇点 B.一级极点 C.二级极点 D三级极点29.若是函数的孤立奇点，则使的充分条件是：是的【A】A可去奇点 B.本性奇点 C.解析点 D一级极点30. 的傅氏变换为 【C】A B. C. D. 31.常数3的傅氏变换为 【C】A.3 B. C. D.32. 的拉氏变换为 【C】33. 设，则 【B】A.12 B.16 C.-16 D.-1234.若函数在不连续，则 【C】A. B. C. D. 35. 函数在点处解析，则在点处 【C】A.连续未必可导 B.可导未必连续 C. 可导并且连续 D.仅连续36.函数在平面上 【D】A.连续未必可导 B.可导但不解析 C. 有奇点 D.处处解析37. 幂级数的收敛半径是 【A】A.1 B.2 C. D.38.函数在点处的泰勒级数是 【C】A. B. C. D. 39. 函数的 【C】 A.本性奇点 B.一级极点 C.二级极点 D三级极点40.若是函数的孤立奇点，则使的充分条件是：是的 【D】A可去奇点 B.本性奇点 C.解析点 D一级极点41. 的傅氏变换为 【C】A.1 B. C. D. 42.常数4的傅氏变换为 【C】A.4 B. C. D.43. 的拉氏变换为 【D】A. B. C. D. 44. 的拉氏变换为 【A】A. B. C. D. 二、填空题11. 则是的 二级 极点.2.设，则 .3. 级数的收敛半径是 4.函数点处的导数为1，则 2 .5设，则 1 .6. 的傅氏变换为 . 7.常数C的拉氏变换为 . 8.是单位阶跃函数，则的傅氏变换为 .9.的拉氏变换为 .10. 0 .11.在复数域内，断言是 错误 12.函数点处的导数为2，则 1 .13. 0 .14 连续函数的和、差、积仍然是 连续 函数 15.,则是的 本性奇点 .16. 级数的收敛半径为 4 。17.的辅角为 . 18.设，则收敛的必要条件是 19.函数点处的导数为1，则在点1处的导数为 0 .20. 0 .21. 解析函数的和、差、积仍然是 连续函数 22 的辅角为 . 23. 设，若收敛，则 收敛 . 24.则是 一级 极点，是 二级极点 25. 1 .26.的傅氏变换为 . 27. 是单位阶跃函数，则的拉氏变换为 .28. 级数的收敛半径 5 .29.的辅角的主值为 . 30. 设，若收敛，则 收敛 . 三、名词解释1.级极点：如果为的孤立奇点，且的洛朗级数中只有有限个的负幂项，且关于的最高幂为，则称孤立奇点是函数的级极点。2.拉氏变换：设函数 当时有定义，且积分 (s为复参量)在s的某个域内收敛，则由此积分所确定的函数称为函数的拉氏变换.3.单连通区域:设是平面上的一个区域，如果中的任意一条简单闭曲线的内部总是完全属于，则称为单连通区域。4. 调和函数:如果二元实函数在区域内具有二阶连续的偏导数，并且满足拉普拉斯方程，则称为区域内的调和函数。5.柯西积分定理：若函数在单连域内解析，则沿内任意一条闭曲线有 6.留数定理：若函数在正向简单闭曲线上处处解析，在的内部除有限个奇点外处处解析，则有。7.柯西积分公式: 若在正向简单闭曲线上及其内部解析，则对内部任一点有 8.洛朗级数：把含有的正负整数次幂的级数叫洛朗级数。9.孤立奇点：如果函数在点不解析，但在的某个去心邻域内处处解析，则称为的孤立奇点。10.可去奇点:如果函数在点的洛朗级数中，不含有的负幂项，则称孤立奇点是函数的可去奇点。11 拉氏变换卷积:设函数满足条件，当时，则称积分为函数与的卷积。12.解析函数：若函数在点的某个邻域内（包含点）处处可导，则称在点解析，当在区域内每一点都解析，称是区域上的解析函数。13. 解析函数高阶导数公式：若函数在正向简单闭曲线上及其内部解析，则对于内的任意一点有 。14 指数函数：对任意的复数，规定函数为复数的指数函数15.傅氏变换卷积定义：已知函数，称积分为函数的卷积.四、计算题1. (1)已知，将其化为三角表达式和指数表达式.（1） 解：， 由此得的三角式和指数式，。 (2) 计算 = 2（1）求及其相应的主值。（1）解： 3分 其相应的主值为. (2)判别函数在哪些点可导，在哪些点解析.（2）解：令，,显然有，若使得，即，故仅在曲线上可导，在整个复平面上不解析。 3.计算下列积分（1）（1）解：函数在圆周内有奇点，而函数在上及其内部解析， 于是由解析函数的高阶导数计算公式有（2）利用留数定理计算解：被积函数在圆周内有一级极点和二级极点， 由留数的计算规则：， ， 于是由留数定理得=34.函数在圆环域内是处处解析，试把在该域内展开成洛朗级数。 4.解：由于，所以 于是= 5.(1)已知，将其化为三角表达式和指数表达式.（1）解：， 。 2) 计算原式= =6.（1）求及其相应的主值。（1）解： 其相应的主值为。 (2)判别函数在哪些点可导，在哪些点解析.解：令，,，显然有，若使得，即，故仅在圆周上可导，在整个复平面上不解析。 7.(1)已知，将其化为三角表达式和指数表达式.（1）解：， 由此得的三角式和指数式，。 (2) 计算原式= = 8. （1）求及其相应的主值。 （1）解： 其相应的主值为： (2)判别函数在哪些点可导，在哪些点解析.解：令，,显然有，若使得，即，故仅在曲线上可导，在整个复平面上不解析。 9.计算下列积分（1）（1）解：函数在圆周内有奇点，而函数在上及其内部解析。于是由解析函数的高阶导数计算公式有：= （2）利用留数定理计算解：被积函数在圆周内有一级极点和二级极点，由留数的计算规则：， ， 于是由留数定理得= 10.函数在圆环域内是处处解析，试把在该域内展开成洛朗级数。11. 解:由于，所以 于是= 12.计算积分解：令，则，于是， 被积函数在圆周内有一个一级极点，其留数为， . 13.利用拉氏变换计算解：， 取得 14.计算积分解：令，则，于是，被积函数在圆周内有一个一级极点，其留数为， 所以 15.利用拉氏变换计算解：，取，得 16.计算下列积分（1）（1）解：函数在圆周内有奇点，而函数在上及其内部解析，于是由解析函数的高阶导数计算公式有：= （2）利用留数定理计算（2）解：被积函数在圆周内有一级极点和二级极点， ， ， 于是由留数定理得= 17. 函数在圆环域内是处处解析，试把在该域内展开成洛朗级数。解：由于，所以 ， = 于是 18.计算积分解：令，则，于是，被积函数在圆周内有一个一级极点，其留数为，所以 19.利用拉氏变换计算解：， 取，得 15