【课堂新坐标】(广东专用)2014高考数学一轮复习-课后作业(二十三)正弦定理和余弦定理-文.doc

课后作业(二十三)　正弦定理和余弦定理

一、选择题
1．(2013·韶关模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若acos A＝bsin B，则sin Acos A＋cos2B＝(　　)
A．－ B. C．－1 D．1
2．若△ABC中，6sin A＝4sin B＝3sin C，则cos B＝(　　)
A. B. C. D.
3．在△ABC中，sin2A≤sin2B＋sin2C－sin Bsin C，则A的取值范围是(　　)
A．(0，] B．[，π] C．(0，] D．[，π)
4．(2013·梅州调研)已知△ABC的面积为，AC＝2，∠BAC＝60°，则∠ACB＝(　　)
A．30° B．60° C．90° D．150°
5．(2012·湖北高考)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若三边的长为连续的三个正整数，且A>B>C，3b＝20acos A，则sin A∶sin B∶sin C为(　　)
A．4∶3∶2 B．5∶6∶7
C．5∶4∶3 D．6∶5∶4
二、填空题
6．(2012·北京高考)在△ABC中，若a＝3，b＝，∠A＝，则∠C的大小为________．
7(2012·湖北高考)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab，则角C＝________．
8．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，若a2－c2＝b，且b＝3ccos A，则b＝________．
三、解答题
9．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且b2＋c2＝a2＋bc.
(1)求角A的大小；
(2)若sin B·sin C＝sin2A，试判断△ABC的形状．
10．(2012·江西高考)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知3cos(B－C)－1＝6cos Bcos C.
(1)求cos A；
(2)若a＝3，△ABC的面积为2，求b，c.
11．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知sin C＋cos C＝1－sin .
(1)求sin C的值；
(2)若a2＋b2＝4(a＋b)－8，求边c的值．

解析及答案

一、选择题
1．【解析】　由acos A＝bsin B得sin Acos A＝sin2B，
∴sin Acos A＋cos2B＝sin2B＋cos2B＝1.
【答案】　D
2．【解析】　由正弦定理得6a＝4b＝3c，所以b＝a，c＝2a.
所以cos B＝＝＝.
【答案】　D
3．【解析】　由正弦定理得a2≤b2＋c2－bc，
由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A，则cos A≥.
因为0＜A＜π，所以0＜A≤.
【答案】　C
4．【解析】　由S△＝AB·ACsin∠BAC＝ABsin 60°＝
得AB＝1，
∴BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos∠BAC＝3，∴BC＝.
由正弦定理得＝，
∴sin∠ACB＝＝＝，
又AB＜BC，∴∠ACB＜60°，∴∠ACB＝30°.
【答案】　A
5．【解析】　∵A>B>C，∴a>b>c.设a＝b＋1，c＝b－1，由3b＝20acos A，得3b＝20(b＋1)×.化简，得7b2－27b－40＝0.解得b＝5或b＝－(舍去)，
∴a＝6，c＝4.
∴sin A∶sin B∶sin C＝6∶5∶4.
【答案】　D
二、填空题
6．【解析】　在△ABC中，由正弦定理可知＝，
即sin B＝＝＝.
又∵a>b，∴∠B＝.∴∠C＝π－∠A－∠B＝.
【答案】　
7．【解析】　由(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab，
得a2＋b2－c2＝－ab，则cos C＝＝－.
又因为角C为△ABC的内角，所以C＝.
【答案】　
8．【解析】　由余弦定理知b＝3ccos A＝3c×，
∴b2＝3(a2－c2)，
又a2－c2＝b，∴b2＝3b，∴b＝3.
【答案】　3
三、解答题
9．【解】　(1)由已知得cos A＝＝＝，
又∠A是△ABC的内角，∴A＝.
(2)由正弦定理，得bc＝a2，
又b2＋c2＝a2＋bc，∴b2＋c2＝2bc.
∴(b－c)2＝0，即b＝c.
又A＝，∴△ABC是等边三角形．
10．【解】　(1)由3cos(B－C)－1＝6cos Bcos C，
得3(cos Bcos C－sin Bsin C)＝－1，
∴cos(B＋C)＝－，从而cos A＝－cos (B＋C)＝.
(2)由于0<A<π，cos A＝，所以sin A＝.
又S△ABC＝2，即bcsin A＝2，解得bc＝6.
由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，得b2＋c2＝13，
解方程组得或
11．【解】　(1)由已知得sin C＋sin ＝1－cos C，
∴sin (2cos ＋1)＝2sin2.
由sin ≠0，得2cos ＋1＝2sin ，
∴sin －cos ＝.
两边平方，得1－sin C＝，∴sin C＝.
(2)由sin －cos ＝＞0，得＜＜，
∴＜C＜π，
则由sin C＝得cos C＝－.
由a2＋b2＝4(a＋b)－8，得(a－2)2＋(b－2)2＝0，
则a＝2，b＝2.
由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcos C＝8＋2，
所以c＝＋1.
4