3.52垂径定理—知识讲解(提高).doc

3.52垂径定理—知识讲解（提高）
【学习目标】
1． 理解圆的对称性；
2． 掌握垂径定理及其推论；
3．学会运用垂径定理及其推论解决有关的计算、证明和作图问题．

【要点梳理】
知识点一、垂径定理
1.垂径定理
　　垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.
2.推论
　　平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.

要点诠释：
　(1)垂径定理是由两个条件推出两个结论，即

　(2)这里的直径也可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段.
知识点二、垂径定理的拓展
根据圆的对称性及垂径定理还有如下结论：
（1） 平分弦（该弦不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
（2） 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；
（3） 平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.
（4） 圆的两条平行弦所夹的弧相等.
要点诠释：
在垂径定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径）

【典型例题】
类型一、应用垂径定理进行计算与证明
　　1. 如图，⊙O的两条弦AB、CD互相垂直，垂足为E，且AB=CD，已知CE=1，ED=3，则⊙O的半径是 ．

【答案】.
【解析】作OM⊥AB于M、ON⊥CD于N，连结OA，
∵AB=CD，CE=1，ED=3，
∴OM=EN=1，AM=2，
∴OA=.
【点评】对于垂径定理的使用，一般多用于解决有关半径、弦长、弦心距之间的运算(配合勾股定理)问题.
举一反三：
【变式1】如图所示，⊙O两弦AB、CD垂直相交于H，AH＝4，BH＝6，CH＝3，DH＝8，求⊙O半径．

【答案】如图所示，过点O分别作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，则四边形MONH为矩形，连结OB，
∴
，
，
∴ 在Rt△BOM中，．
【变式2】如图，AB为⊙O的弦，M是AB上一点，若AB＝20cm，MB＝8cm，OM＝10cm，求⊙O的半径.

【答案】14cm.
　2. 已知：⊙O的半径为10cm，弦AB∥CD，AB=12cm，CD=16cm，求AB、CD间的距离.
【思路点拨】
在⊙O中，两平行弦AB、CD间的距离就是它们的公垂线段的长度，若分别作弦AB、CD的弦心距，则可用弦心距的长表示这两条平行弦AB、CD间的距离.
【答案与解析】
(1)如图1，当⊙O的圆心O位于AB、CD之间时，作OM⊥AB于点M，
并延长MO，交CD于N点.分别连结AO、CO.
　　　　 ∵AB∥CD
　　　　 ∴ON⊥CD，即ON为弦CD的弦心距.
　　　　 ∵AB=12cm，CD=16cm，AO=OC=10cm，

　　　　 　 =8+6
　　　　 　 =14(cm)

图1 图2
(2)如图2所示，当⊙O的圆心O不在两平行弦AB、CD之间(即弦AB、CD在圆心O的同侧)时，
　　　　 　同理可得：MN=OM-ON=8-6=2(cm)
　　　　 　∴⊙O中，平行弦AB、CD间的距离是14cm或2cm.
【点评】解这类问题时，要按平行线与圆心间的位置关系，分类讨论，千万别丢解.
举一反三：
【变式】在⊙O中，直径MN⊥AB，垂足为C，MN=10，AB=8，则MC=_________．
【答案】2或8．

类型二、垂径定理的综合应用
3. 要测量一个钢板上小孔的直径，通常采用间接的测量方法．如果用一个直径为10mm的标准钢珠放在小孔上，测得钢珠顶端与小孔平面的距离h＝8mm(如图所示)，求此小孔的直径d．

【思路点拨】
此小孔的直径d就是⊙O中的弦AB．根据垂径定理构造直角三角形来解决．
【答案与解析】
过O作MN⊥AB，交⊙O于M、N，垂足为C，
则，OC＝MC－OM＝8－5＝3mm．
在Rt△ACO中，AC＝，
∴ AB＝2AC＝2×4＝8mm．
答：此小孔的直径d为8mm．
【点评】应用垂径定理解题，一般转化为有关半径、弦、弦心距之间的关系与勾股定理的运算问题.
4. 不过圆心的直线l交⊙O于C、D两点，AB是⊙O的直径，AE⊥l于E，BF⊥l于F．
(1)在下面三个圆中分别画出满足上述条件的具有不同位置关系的图形；
(2)请你观察(1)中所画图形，写出一个各图都具有的两条线段相等的结论(OA＝OB除外)(不再标注其他字母，找结论的过程中所连辅助线不能出现在结论中，不写推理过程)；
(3)请你选择(1)中的一个图形，证明(2)所得出的结论．

【答案与解析】
(1)如图所示，
在图①中AB、CD延长线交于⊙O外一点；
在图②中AB、CD交于⊙O内一点；
在图③中AB∥CD．

(2)在三个图形中均有结论：线段EC＝DF．
(3)证明：过O作OG⊥l于G．由垂径定理知CG＝GD．
∵ AE⊥l于E，BF⊥l于F，
∴ AE∥OG∥BF．
∵ AB为直径，
∴ AO＝OB，
∴ EG＝GF，
∴ EC＝EG－CG＝GF－GD＝DF．
【点评】在运用垂径定理解题时，常用的辅助线是过圆心作弦的垂线，构造出垂径定理的基本图形.
【巩固练习】
一、选择题
1.如图所示，三角形ABC的各顶点都在⊙O上，AC=BC，CD平分∠ACB，交圆O于点D， 下列结论：
①CD是⊙O的直径；②CD平分弦AB；③；④；⑤CD⊥AB．
其中正确的有（　　）
A．2个 B．3个 　 C．4个 　 　D．5个 　
2．下面四个命题中正确的是( )．
A．平分一条直径的弦必垂直于这条直径
B．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦
C．弦的垂线必过这条弦所在圆的圆心
D．在一个圆内平分一条弧和它所对弦的直线必过这个圆的圆心
3．如图，弦CD垂直于⊙O的直径AB，垂足为H，且CD=，BD=，则AB的长为（ ）
A．2 B.3 C.4 D.5

第3题 第5题 第6题
4．⊙O的半径OA＝1，弦AB、AC的长分别是、，则∠BAC的度数为( )．
A．15° B．45° C．75° D．15°或75°
5．“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的一个问题，“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何?”用现在的数学语言表述是：如图所示，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为E，CE为1寸，AB为10寸，求直径CD的长.依题意，CD长为( )．
A．寸 B．13寸 C．25寸 D．26寸
6．如图，EF是⊙O的直径，AB是弦，EF=10cm，AB=8cm，则E、F两点到直线AB的距离之和为（ ）．
A．3cm B．4cm C．8cm D．6cm
二、填空题
7．如图，⊙O的弦AB垂直于CD，E为垂足，AE=3，BE=7，则圆心O到CD的距离是______．
8．如图，P为⊙O的弦AB上的点，PA=6，PB=2，⊙O的半径为5，则OP=______．

7题图 8题图 9题图
9．如图，⊙O的弦AB垂直于AC，AB=6cm，AC=4cm，则⊙O的半径等于______cm．
10．圆心都在y轴上的两圆相交于A、B两点，如果A点的坐标为，那么B点的坐标为____________．
11．在图11中，半圆的直径AB=4cm，O为圆心，半径OE⊥AB，F为OE的中点，CD∥AB，则弦CD的长为 ．
A
E
O
F
B
P

(第12题)
12．如图，点A、B是⊙O上两点，AB=10，点P是⊙O上的动点（P与A，B不重合）连结AP，
PB，过点O分别作OE⊥AP于点E，OF⊥PB于点F，则EF= .
三、解答题
13.如图，在⊙O中，CD是直径，弦AB⊥CD，垂足为E，CD=15，，求弦AB和AC的长．

14．如图所示，C为的中点，CD为直径，弦AB交CD于P点，PE⊥BC于E，若BC=10cm，
且CE：BE=3：2，求弦AB的长．

15．如图所示，已知O是∠MPN的平分线上的一点，以O为圆心的圆与角的两边分别交于点A、B和C、D.
⑴求证：PB=PD.
⑵若角的顶点P在圆上或圆内，⑴中的结论还成立吗？若不成立，请说明理由；若成立，请加以证明.

16.如图，点M，N分别是、的中点，且MN交AB于D，交AC于E，
求证：△ADE是等腰三角形.

【答案与解析】
一、选择题
1．【答案】D．
【解析】由圆的对称性、等腰三角形的三线合一的性质可得到5个结论都是正确的.
2．【答案】D．
【解析】根据垂径定理及其推论来判断.
3．【答案】B．
【解析】由垂径定理得HD=，由勾股定理得HB=1，设圆O的半径为R，在Rt△ODH中，
则，由此得R=，
所以AB=3.故选 B.
4.【答案】D．
【解析】分弦AB、AC在圆心的同侧和异侧讨论.
5．【答案】D．
【解析】连结AO，
∵ CD为直径，CD⊥AB，
∴ ．
设⊙O半径为R，则OE＝R－1．
Rt△AOE中，OA2＝AE2+OE2，
∴ R2＝52+(R-1)2，
∴ R＝13，
∴ CD＝2R＝26(寸)．
故选D．
6．【答案】D．
【解析】E、F两点到直线AB的距离之和为圆心O到AB距离的2倍.
二、填空题
7．【答案】2．
8．【答案】
9．【答案】
10．【答案】．
【解析】因为y轴是两圆的对称轴，所以两圆的交点关于y轴对称，则B.
11．【答案】.
【解析】连接OC,易求CF= CD=.
12.【答案】5.
【解析】易证EF是△APB的中位线，EF=

三、解答题
13.【答案与解析】
连结OA，
∵CD=15，，
∴OA=OC=7.5，OE=4.5，CE=3，
∴　

14.【答案与解析】
因为C为的中点，CD为直径，弦AB交CD于P点，所以 CD⊥AB.
由BC=10cm，且CE：BE=3：2，得CE=6cm，BE=4cm，
设则解得，.
15.【答案与解析】
（1）证明：过O作OE⊥PB于E，OF⊥PD于F.

∵ PO平分∠MPN
∴ OE=OF，PE=PF
∴ AB=CD，BE=DF
∴ PE+BE=PF+DF
∴ PB=PD
（2）上述结论仍成立.如下图所示.证明略.

16.【答案与解析】
连结OM、ON，分别交AB、AC于F、G点．
∵ M、N分别为、中点，
∴ ∠MFD＝90°＝∠EGN．
∵ OM＝ON，有∠M＝∠N，知∠MDB＝∠NEC，
而∠MDB＝∠1，∠NEC＝∠2，于是∠l＝∠2，故AD＝AE．
所以△ADE是等腰三角形.