泰勒公式(泰勒中值定理).ppt

*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,二、几个初等函数的麦克劳林公式,一、泰勒公式的建立,三、泰勒公式的应用,应用,目的用多项式近似表示函数,.,理论分析,近似计算,泰勒公式,特点,:,一、泰勒公式的建立,以直代曲,在微分应用中已知近似公式,:,需要解决的问题,如何提高精度,?,如何估计误差,?,x,的一次多项式,1.,求,n,次近似多项式,要求,:,故,令,则,2.,余项估计,令,(,称为余项,),则有,公式,称为 的,n,+1,阶泰勒公式,.,公式,称为,n,+1,阶泰勒公式的,拉格朗日余项,.,泰勒,(Taylor),中值定理,:,阶的导数,时,有,其中,则当,泰勒,公式,称为,n,+1,阶泰勒公式的,佩亚诺,(Peano),余项,.,在不需要余项的精确表达式时,泰勒公式可写为,注意到,特例,:,(1),当,n,=0,时,泰勒公式变为,(2),当,n,=1,时,泰勒公式变为,给,出拉格朗日中值定理,可见,误差,称为,麦克劳林,(,Maclaurin,),公式,.,则有,在泰勒公式中若取,则有误差估计式,若在公式成立的区间上,麦克劳林,由此得近似公式,二、几个初等函数的麦克劳林公式,其中,麦克劳林公式,其中,麦克劳林公式,麦克劳林公式,类似可得,其中,其中,麦克劳林公式,已知,其中,因此可得,麦克劳林公式,三、泰勒公式的应用,1.,在近似计算中的应用,误差,M,为,在包含,0,x,的某区间上的上界,.,例,1.,计算无理数,e,的近似值,使误差不超过,解,:,已知,令,x,=1,得,由于,欲使,由计算可知当,n,=9,时上式成立,因此,的麦克劳林公式为,2.,利用泰勒公式求极限,例,2.,求,解,:,由于,用洛必达法则不方便,!,用泰勒公式将分子展到,项,3.,利用泰勒公式证明不等式,例,3,.,证明,证,:,+,内容小结,1.,泰勒公式,其中余项,当,时为,麦克劳林公式,.,2.,常用函数的麦克劳林公式,3.,泰勒公式的应用,(1),近似计算,(3),其他应用,求极限,证明不等式 等,.,(2),利用多项式逼近函数,例如,泰勒多项式逼近,6,4,2,2,4,6,4,2,2,4,O,泰勒多项式逼近,6,4,2,2,4,6,O,4,2,2,4,思考与练习,计算,解,:,原式,第四节,泰勒,(1685 1731),英国数学家,他早期是牛顿学派最,优秀的代表人物之一,重要著作有,:,正的和反的增量方法,(1715),线性透视论,(1719),他在,1712,年就得到了现代形式的泰勒公式,.,他是有限差分理论的奠基人,.,麦克劳林,(1698 1746),英国数学家,著作有,:,流数论,(1742),有机几何学,(1720),代数论,(1742),在第一本著作中给出了后人以他的名字命名的,麦克劳林级数,.,