高中数学空间角专题.doc

空间角专题
求空间角的步骤：(1)找出或作出有关的图形；(2)证明它符合定义；(3)计算
一、线线角：异面直线所成的角.
(1)范围是(0º，90º]；
(2)求解的一般方法有：
①平移法：在异面直线中的一条直线上选择一“特殊点”，作另一直线的平行线（单移法）；或平移两直线至同一图形中（双移法）。
②补形法.把空间图形补成熟悉的可完整的几何体，如正方体、平行六面体、长方体等，其目的在于容易发现两条异面直线间的关系。
二、线面角：直线与平面所成的角.
(1)范围是[0º，90º]；
（2）常用结论：
①最小值定理：平面的斜线和平面所成的角是斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角.　
即平面外的一条直线与平面内所有直线所成的角中，与其射影所成的角最小。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
②“三余弦”定理：如图所示，AB和平面 M所成的角是α， B
AC在平面M内，AC和AB在平面M内的射影AB1所成的角是β， 　A　　　　　　 B1
设∠BAC=θ，则α，β，θ满足关系cosθ=cosα·cosβ.　　　　M　 　D　C
③从一个角的顶点引这个角所在平面的斜射线，使斜射线和这个角两边的夹角相等，则斜线在平面内的射影是这个角的平分线所在的直线。(数学第二册下第29页)
④如果一个角所在平面外一点到角的两边距离相等，那么这一点在平面内的射影在这个角的平分线所在的直线上。(同上26页)
（3）求解的方法：
①作出射影线段，在直角三角形中求解；
②先利用等体积法求出斜线段上某一点P到平面的距离，在直角三解形中利用三角函数（为P到斜足的距离）可求。
三、二面角.二面角的大小是用它的平面角θ来度量的.当两个半平面相交时.
当二面角的两个面重合时，规定二面角的大小为，当二面角的两个面合成一个平面时，规定二面角的大小为。
二面角的平面角的常见作法
(1)定义法：二面角α--β，O是上任一点， β B
在面α、β内作：OA⊥，OB⊥，则∠AOB是二面 图1 O
角α--β的平面角.且有⊥平面AOB。(图1所示 ) α A
(2)垂面法：自二面角一点分别向这个二面角的两个面引垂线，则它们所成的角与这个二面角的平面角互补。(数学第二册下第39页)(图2所示)
(3)三垂线法：
(4)对称法：二面角的两个平面是由两个有公共底的等腰三角形组成的，或有公共底的等腰梯形；或者一个是等腰三角形，另一个是等腰梯形且有公共底。在作二面角的平面角时，通常是取底边的中点，连结顶点，利用等腰三角形(或梯形)的对称性可以得出垂直。
(5)全等三角形(全等图形)法：在正棱锥或特殊的斜三棱柱中，研究相邻两侧面所组成
的二面角的大小时，经常在一个侧面上过一个顶点作侧棱的垂线，连结相关顶点则可以利用全等三角形的方法证明所连结的线也垂直该棱。
(6)利用射影面积求二面角：在缺棱的前提下，研究一个平面图形γ在另一个平面内的射影的平面图形γ¹，设γ的面积为S，γ¹的面积为,所成的二面角大小为θ，则。注意：一定要指出线面垂直，然后设角写公式。
1、（2007湖北部分重点中学联考）二面角的平面角为，直线平面，直线平面，则直线与直线所成的角的范围为（C）
A、 B、 C、 D、
解析：当与平行或重合时，，与所成的角为，故D错；当与相交时，则时，与所成的角最小，为，故选C。（最小角定理）
2、（2007武汉四月调研）若一条直线和平面所成的角为，则此直线与该平面内任意一条直线所成的角的取值范围是（A）
A、 B、 C、 D、
解析：直线与平面所成的角是直线与该平面内任意一条直线所成的角中最小的角，而最大角为，故选A。
3、（2007湖北八校第一次联考）已知二面角的大小为，、是两条异面直线，则下面的四条件中，一定能使和所成的角为的是（C）
A、 B、 C、 D、
解析：若B对，则D也对，故排除B、D。由A不一定推出和所成的角为。事实上，在二面角内任取一点O，过O点作，则，垂足为A，，垂足为B，设过、的平面与棱交于点P，易证就是二面角的平面角，，在平面四边形OAPB中，，∴与的夹角为，即和所成的角为，故选C。
4、在一个的二面角的一平面内有一条直线与二面角的棱成角，则此直线与二面角的另一个面所成的角为（A）
A、 B、 C、 D、
解析：法一：由于的二面角内的一平面内一条直线与二面角的棱成，根据最小角定理，则此直线与二面角的另一个面所成的角小于，故选A。
法二：设二面角为，直线AB在内，A为AB与的交点，为二面角的平面角，，设，则，。，故选A。
5、（2007商丘一模）已知二面角大小为，、为异面直线，平面，平面，则、所成的角为（A）
A、 B、 C、 D、
解析：平面，平面，∴、所成的角与二面角所成的角相等或互补。∵二面角大小为，∴、所成的角为，故选A。
6、、是所成角为的异面直线，过空间一点P作直线。
（1）使与、所成的角均为，这样的直线一共有 4 条。
（2）使与、所成的角均为，这样的直线一共有 3 条。
7、（2007浙江理16）已知点在二面角的棱上，点在内，且．若对于内异于的任意一点，都有，则二面角的大小是 ．
解析：考查线、面位置关系及最小角定理。
由最小角定理是PO和面所成的角，即直线BO是直线PO在内的射影，过P作于点M，则，故，即二面角的大小为。
8、在三棱锥P-ABC中，平面ABC，，D、E分别是BC、AB的中点，，设PC与DE所成的角为，PD与平面ABC所成的角为，二面角P—BC—A的平面角为，则、、的大小关系是（A）
A、 B、 C、 D、
解析：本题考查三种角的概念与计算。过A作AFBC于F，连PF，则为二面角P—BC—A的平面角，即，为异面直线PC与DE的夹角，即，连AD，PD与平面ABC的夹角为，即，∵∴，又，又为锐角，∴，故选A。