河北省献县宏志中学高三数学理科仿真模拟卷-32.doc

河北省献县宏志中学2012届高三数学理科仿真模拟卷32
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的．
1．已知集合，若，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．已知向量，则向量的夹角的余弦值为 （ ）
A． B． C． D．
第4题图
3．在等差数列中，首项公差，若，则（ ）
A． B．
C． D．
4．若一个圆台的的正视图如图所示，则其侧面积等于（ ）
A．6 B．
C． D．
5．已知为虚数单位，为实数，复数在复平面内对应的点为，则“”是“点在第四象限”的 （ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．函数的最小正周期为 （ ）
A． B． C． D．
7．若展开式中第四项与第六项的系数相等，则展开式中的常数项的值等于（ ）
A．8 B．16 C．80 D．70
8．已知直线与轴，轴分别交于两点，若动点在线段上，则的最大值为 （ ）
A． B．2 C．3 D．
9．某校高中年级开设了丰富多彩的校本课程，甲、乙两班各随机抽取了5名学生的学分，用茎叶图表示（如右图）．，分别表示甲、乙两班抽取的5名学生学分的标准差，则 ．（填“”、“”或“＝”）．
A． B． C．＝ D．不能确定
10、若函数上的图象关于直线对称，则函数在区间上的图象可能是 （ ）

A．① B．② C．③ D．③④

11．已知函数，则对任意，若，下列不等式成立的是 （ ）
A． B．
C． D．
12．已知双曲线与抛物线有一个公共的焦点，且两曲线的一个交点为，若，则双曲线的渐近线方程为 （ ）
A．　 B．
C． D．
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上。
13．抛物线与直线所围成的图形面积是 ；
14．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的的值是 。
15．若点在直线上，过点的直线与曲线只有一个公共点，则的最小值为__________。
16．以下是面点师一个工作环节的数学模型：如图，在数轴上截取与闭区间对应的线段，对折后（坐标4所对应的点与原点重合）再均匀地拉成4个单位长度的线段，这一过程称为一次操作（例如在第一次操作完成后，原来的坐标1、3变成2，原来的坐标2变成4，等等）。那么原闭区间上（除两个端点外）的点，在第次操作完成后（），恰好被拉到与4重合的点所对应的坐标为___________________________。

2

4

三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分12分） 在中，已知，。
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若为的中点，求的长。

18．（本小题满分12分） 某班同学利用国庆节进行社会实践，对岁的人群随机抽取人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图：

（Ⅰ）补全频率分布直方图并求、、的值；
（Ⅱ）从岁年龄段的“低碳族”中采用分层抽样法抽取人参加户外低碳体验活动，其中选取人作为领队，记选取的名领队中年龄在岁的人数为，求的分布列和期望。

19．（本小题满分12分） 设数列是首项为，公差为的等差数列，其前项和为，且成等差数列。
（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）记的前项和为，求．

20．（本小题满分12分）如图，已知，分别是正方形边、的中点，与交于点，、都垂直于平面，且， ，是线段上一动点．
（Ⅰ）求证：平面平面；
（Ⅱ）若平面，试求的值；
第20题图
（Ⅲ）当是中点时，求二面角的余弦值．

21．（本小题满分12分）已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆与直线相切，分别是椭圆的左右两个顶点， 为椭圆上的动点．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）若与均不重合，设直线与的斜率分别为，证明：为定值；
（Ⅲ）为过且垂直于轴的直线上的点，若，求点的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．

请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．
做答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．
22．选修4－1：几何证明选讲（本小题满分10分）
在中，AB=AC，过点A的直线与其外接圆
交于点P，交BC延长线于点D。
（1）求证： ；
（2）若AC=3，求的值。

23．选修4—4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）
已知曲线Ｃ１的极坐标方程为,曲线C2的极坐标方程为（，曲线C1，C2相交于点A，B。
（1）将曲线C1，C2的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）求弦AB的长。
24. 选修4－5：不等式选讲（本小题满分10分）
已知，．
（I）求证：，；
（II）若，求证：

参考答案

一、选择题
1．B；2．C；3．A；4．C；5．A；6．C；7．D；8．A；9．B；10．D；11．D；12．B；
二、填空题
13．18；14．；15．；16．（这里为中的所有奇数）；
三、解答题
17．解析：（Ⅰ）且，∴．---------2分
---------------- 3分
．--------------6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得．--------------8分
由正弦定理得，即，解得．------------10分
在中，， ，
所以．-------------------------12分
18．解析：（Ⅰ）第二组的频率为，所以高为．频率直方图如下：
-------------------------------2分
第一组的人数为，频率为，所以．
由题可知，第二组的频率为0．3，所以第二组的人数为，所以．
第四组的频率为，所以第四组的人数为，所以．-------------------------------5分
（Ⅱ）因为岁年龄段的“低碳族”与岁年龄段的“低碳族”的比值为，所以采用分层抽样法抽取18人，岁中有12人，岁中有6人．-------------------------------6分
随机变量服从超几何分布．
，，
，． -------------------------------10分

所以随机变量的分布列为

0
1
2
3

------------------------------12分
∴数学期望．-------------12分
19．（Ⅰ）∵，，，-------------2分
由成等差数列得，，即，
解得，故；-------------------------------------4分
（Ⅱ）， ---------------------------------------5分
法1：， ①
①得，， ②
①②得，
， -----------------------10分
∴．------------------------------12分
法2：，
设，记，
则，
∴， ---------------------------------------10分
故．---------------12分
20．解析：法1：（Ⅰ）连结，
∵平面，平面，
∴，
又∵，，
∴平面，
又∵，分别是、的中点，
∴，
∴平面，又平面，
∴平面平面；---------------------------------------4分
（Ⅱ）连结，
∵平面，平面平面，
∴，
∴，故 ----------------------------6分
（Ⅲ）∵平面，平面，∴，
在等腰三角形中，点为的中点，∴，
∴为所求二面角的平面角， ---------------------------------8分
∵点是的中点，∴，
所以在矩形中，可求得，，，
--------------------10分
在中，由余弦定理可求得，
∴二面角的余弦值为．------------------------------12分
法2：（Ⅰ）同法1；
（Ⅱ）建立如图所示的直角坐标系，则，，，，
∴，，
设点的坐标为，平面的法向量为，则，
所以，即，令，则，，
故，
∵平面，∴，即，解得，
故，即点为线段上靠近的四等分点；故 --------------------------8分
（Ⅲ），则，设平面的法向量为，
则，即，令，
则，，即，
当是中点时，，则
，
∴，
∴二面角的余弦值为．-------12分
21．解析：（Ⅰ）由题意可得圆的方程为，
∵直线与圆相切，∴，即，----------------1分
又，即，，解得，，
所以椭圆方程为．-----------------------------3分
（Ⅱ）设， ，，则，即，
则，， --------------------------------------4分
即，
∴为定值．-------------------------------6分
（Ⅲ）设，其中．
由已知及点在椭圆上可得，
整理得，其中．-------------------------7分
①当时，化简得，
所以点的轨迹方程为，轨迹是两条平行于轴的线段；
------------------8分
②当时，方程变形为，其中，
------------------------------------10分
当时，点的轨迹为中心在原点、实轴在轴上的双曲线满足
的部分；
当时，点的轨迹为中心在原点、长轴在轴上的椭圆满足
的部分；
当时，点的轨迹为中心在原点、长轴在轴上的椭圆． ---------------------------------------12分
22.解：（1），
～，
又（5分）
（2）
～， (10分)
23．解：(1)以极点为原点以极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系则曲线Ｃ１的直角坐标方程为
曲线的直角坐标方程为y=x _____________5分
(2)圆
圆的半径为3，所以|AB|=_________10分
24.
（1）
……………………5分
（2）
…………10分

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