垂径定理教学设计.doc

课 题
垂径定理

教学目标
知识目标
1．利用圆的轴对称性研究垂径定理；
2．运用垂径定理解决问题．
能力目标
让学生经历运用圆的轴对称性探索圆的相关性质的过程，探究出垂径定理，进一步体会和理解研究几何图形的各种方法
情感态度及价值观
通过学习垂径定理的证明，使学生领会数学的严谨性和探索精神，培养学生学习实事求是的科学态度和积极参与的主动精神．
教学重点
教学难点
重点：利用圆的轴对称性研究垂径定理及其应用
难点：垂径定理及其逆定理的证明，以及应用时如何添加辅助线
教学准备
教师活动
教学设计
学生
活动
预习
教学过程
（导入新课、教学新课、复习小结）
教学环节
学生活动
设计意图
一 、情景引入
复习圆的对称性
提问：圆是不是轴对称图形？如果是，它的对称轴在哪？有多少条？
学生回顾圆的轴对称性，回答问题
以圆的轴对称性为突破口，引发学生的思考，让学生意识到本节课要用对称来解决一些问题
教学环节
学生活动
设计意图
二、活动探究
1、垂径定理探索
活动猜想： AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为M．
（1）你能根据给出的条件画出图形吗？试一试。
（2）该图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？
（3）观察并猜想图中有哪些等量关系？
验证猜想：学生通过折纸直观的验证自己猜想出的结论。
证明猜想：
条件：① CD是直径；② CD⊥AB
结论（等量关系）：③AM=BM；
④=；⑤=.

证明：连接OA,OB,则OA=OB.
在Rt△OAM和Rt△OBM中,
∵OA=OB，OM=OM，
∴Rt△OAM≌Rt△OBM.
∴AM=BM.
∴点A和点B关于CD对称.
∵⊙O关于直径CD对称,
∴当圆沿着直径CD对折时, 点A与点B重合,
和重合, 和重合.
∴ =，=.
归纳：
垂径定理——垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
议一议：判断下列图形，能否使用垂径定理？

注意：定理中的两个条件缺一不可——直径（半径），垂直于弦
几何语言描述：
∵CD是直径，CD⊥AB
∴AM=BM
=
=
2、应用
例：如图，已知在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径．
解：连结OA，作OE⊥AB，垂足为E．
∵OE⊥AB，∴AE=EB．
∵AB=8cm，∴AE=4cm．
又∵OE=3cm，在Rt△AOE中，

所以⊙O的半径为5cm．

三 、巩固练习
（1）半径为6cm的圆中，有一条长 的弦，则圆心到此弦的距离为_____cm。
（2）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，如果，则AE的长为（    ）

（3）在半径为４的圆中，垂直平分半径的弦长为（　　 ）
（4）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（即图中,点0是所在圆的圆心），其中CD=600m，E为上的一点，且OE⊥CD，垂足为F，EF=90m.求这段弯路的半径．
四、归纳小结
（1）本节课探索垂径定理的思路是什么？
（2）垂径定理的文字描述与几何语言表述分别是什么？
（3）什么情况下能用垂径定理？说一说它的用法.

学生根据对称性猜想图中的等量关系：
=，=
AM=BM

学生思考、小组合作讨论证明思路，分清条件与所要证明的结论

证明完毕后，学生自行用文字语言表述这一结论，最后提炼出垂径定理的内容——垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧，并根据图示用几何语言描述定理。

学生先思考、交流讨论解题思路，教师进行板书，并对学生的思路进行补充、强调

学生思考、讨论解题思路，由其他学生进行补充

学生交流总结

先让学生根据给出的条件自己画出图形，目的是让学生熟悉垂径定理运用的一般图形模式，然后根据图形及所给条件猜想图中的等量关系，此处给学生足够的猜想时间，让学生小组交流自己的猜想结果，而我则是通过提处问题对学生进行适当的引导在猜想出等量关系后，怎样验证猜想呢？此时鼓励学生用自己的方法进行验证，并给学生足够的时间进行交流讨论，如学生会想到折纸的方法、证明的方法等

给学生时间进行定理的归纳，教师帮助引导学生精炼语言，最终归纳出垂径定理的文字描述，让学生整体体会：猜想----验证----归纳的数学思想。

为了让学生更清楚的理解定理，我设计了以下三个图形让学生加以区别理解，从而明确定理两个关键点
例题的设计意图是让学生进一步理解定理，明确如何应用垂径定理解决问题，利用垂径定理能解决什么问题。先给学生留有时间去思考、交流解题思路，我适时进行引导，最终让学生明确垂径定理在具体应用中的用法：要和弦心距，弦的一半及半径构造出一个直角三角形，用勾股定理进行计算

练习的主要目的是让学生应用新知识构造直角三角形，并通过勾股定理、方程的方法去解决几何问题，熟悉垂径定理的应用方法

采用问题的形式引导学生自己对本节课的知识进行小结，目的是让学生从本节课的学习中体会学习几何知识的思想、方法，最后掌握知识，进行应用。鼓励学生交流自己在思想、方法上的收获，加深对本节课知识和探索方法的理解掌握，培养学生养成归纳反思的学习习惯
布置作业
习题3.3:1,2小题，3小题（选做）
板书设计
垂径定理
一、定理探究 二、例题讲解 学习目标：探索研究垂径
猜想：条件 定理，运用垂径定理解决 结论 问题。
验证：
归纳：
垂径定理：垂直于弦 引入：
的直径平分这条弦，并且
平分弦所对的两条弧
几何语言：
∵CD是直径，CD⊥AB
∴AM=BM
=
=

教师反思
1．要从培养学生学习方法的角度使用教材
教材为教师提供了基本的教学素材，但如何使用这些素材，教师完全可以根据学生的实际情况进行适当调整．学生在探索垂径定理的时候，其中一个难点在于证明垂径定理时如何添加辅助线，这时通过引导学生联想线段相等的证明方法——三角形全等，可以使学生对证明的思考得到突破，从而寻找出合理的证明方向．教材在本节课安排了垂径定理与其逆定理的推理证明，内容含量比较大，我针对学生特点在本节课只进行了垂径定理及应用的教学。
2．要鼓励学生敢于表述和善于纠错
垂径定理的文字表述是一个难点，教师如果直接给出，则学生就少了一个锻炼表述能力和严谨地分析的机会．因此，让学生大胆表述，并对各人的表述严谨分析，找出漏洞，反复提炼，直至得出正确的说法，使学生得到更好的锻炼．
3．注意改进的方面
总结本节课的知识内容时应该要有足够的时间让学生交流讨论，但是限于本节课的时间，这是一个客观限制，不应该勉强在课堂上完成，应该留作课后作业，让学生能通过更充分的讨论才得出知识与方法体系，这样才能起到更好地交流和反思的作用．

检查签名

年 月 日

《垂 径 定 理》
教 学 设 计

东华九年制学校
陈 少 军